2014年中考数学模拟试卷

2014 年中考数学模拟试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相对应的位置上 1 的倒数是（ ） A B C D 考点： 倒数 分析： 乘积是 1 的两数互为倒数，结合选项进行判断即可 解答： 解： 的倒数为 故选 D 点评： 本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是 1 的两数互为倒数 2下列计算正确的是（ ） A a2+a2=a4 B （a 2） 3=a5 C a5a2=a7 D 2a2a 2=2 考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 分析： 根据合并同类项的法则，幂的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求 解 解答： 解：A、应为 a2+a2=2a2，故本选项错误，正确； B、应为（a 2） 3=a6，故本选项错误； C、a 5a2=a7，故本选项正确； D、应为 2a2a 2=a2，故本选项错误 故选 C 点评： 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键 3已知一组数据 10，8，9，2，5，那么这组数据的极差是（ ） A 1 B 2 C 5 D 8 考点： 极差 分析： 根据极差的定义解答，即用 10 减去 2 即可 解答： 解：数据 10，8，9，2，5 的极差是 102=8 故选 D 点评： 本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值 减去最小值 4下面与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 2 1 考点： 同类二次根式 专题： 常规题型 分析： 根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可 解答： 解：A、 与 被开方数相同，是同类二次根式； B、 =2 ，与 被开方数相同，是同类二次根式； C、 = 与 不是同类二次根式； D、2 1 不是最简二次根式，故本选项错误 故选 A 和 B 点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同这样的二次根式叫做同类 二次根式 5化简 的结果是（ ） A B C D 考点： 分式的加减法 分析： 先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了 解答： 解：原式= ， = ， = A 答案正确 故选 A 点评： 本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平 方差公式的运用 6如果相切两圆的半径分别为 2cm 和 3cm，那么两圆的圆心距是（ ） A 1cm B 5cm C 3cm D 1cm 或 5cm 考点： 圆与圆的位置关系 分析： 已知两圆的半径，分两种情况：当两圆外切时；当两圆内切时；即可求得两圆的圆心距 解答： 解：两圆半径分别为 2cm 和 3cm 当两圆外切时，圆心距为 2+3=5cm； 当两圆内切时，圆心距为 32=1cm 故选 D 点评： 本题考查了两圆相切的性质，以及两圆的半径与圆心距的关系，注意有两种情况 7二次函数 y=x 2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 考点： 二次函数图象与系数的关系 分析： 分析解析式与方程可知：x=1 时可得到 b+c 的形式，再根据 x=1 时 y 的值进行求解 解答： 解：当 x=1 时， y=x 2+bx+c =1+b+c 即 b+c=y+1， 又b+c=0 ， x=1 时 y=1， 故它的图象一定过点（1，1） 故选 B 点评： 解决此题的关键是根据 b+c=0 的形式巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率 8某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到吴江儿童福利院看望孤儿如果分给每位儿童 4 盒牛奶，那么剩下 28 盒牛奶；如果分给每位儿童 5 盒牛奶，那么最后一位儿童分不到 5 盒，但至少能有 2 盒则这个儿童福利院的儿童最少有（ ） A 28 人 B 29 人 C 30 人 D 31 人 考点： 一元一次不等式组的应用 专题： 应用题 分析： 首先设这个儿童福利院的儿童有 x 人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给每位儿童 5 盒牛 奶，那么最后一位儿童分得的牛奶不足 5 盒，但至少 2 盒”可得不等式组，解出不等式组后再找出符合条 件的整数 解答： 解：设这个儿童福利院的儿童有 x 人，则有牛奶（4x+28）盒， 依题意得： ， 解得：28x31 ， x 为整数， x 最少为 29， 即这个儿童福利院的儿童最少有 29 人 故选 B 点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式 组，难度一般 9古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于 这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形 数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A 15 B 25 C 55 D 1225 考点： 规律型：图形的变化类 专题： 压轴题 分析： 图 1 中求出 1、3、6、10，第 n 个图中点的个数是 1+2+3+n，即 ；图 2 中 1、4、9、16，第 n 个图中点的个数是 n2然后把下列数分别代入，若解出的 n 是正整数，则说明符 合条件就是所求 解答： 解：根据题意得：三角形数的第 n 个图中点的个数为 ； 正方形数第 n 个图中点的个数为 n2， A、令 =15，解得 n1=5，n 2=6（不合题意，舍去） ；再令 n2=15，n= （不合题意，都舍 去） ；不符合条件，错误； B、令 =25，解得 n1= （都不合题意，舍去） ；再令 n2=25，n=5；不符合条件， 错误； C、显然 55 不是平方数，不符合条件，错误； D、令 =1225，解得 n1=49，n 2=50（不合题意，舍去） ；再令 n2=1225，n 1=35，n2=35（不 合题意，舍去） ，符合条件，正确 故选 D 点评： 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力 10如图，已知直线 l1l 2l 3l 4l 5，相邻两条平行直线间的距离相等且为 1，如果四边形 ABCD 的四个顶点 在平行直线上，BAD=90且 AB=3AD，DCl 4，则四边形 ABCD 的面积是（ ） A 9 B 14 C D 考点： 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理 分析： 首先延长 DC 交 l5 于点 F，延长 CD 交 l1 于点 E，作点 B 作 BHl 1 于点 H，连接 BD，易证得 BAHADE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 AH，AE 的长，由勾股定理求得 AD 与 AB 的 长，然后由 S 四边形 ABCD=SABD +SBCD ，即可求得答案 解答： 解：延长 DC 交 l5 于点 F，延长 CD 交 l1 于点 E，作点 B 作 BHl 1 于点 H，连接 BD， DCl 4，l 1l 2l 3l 4l 5， DCl 1，DCl 5， BHA=DEA=90 ， ABH+BAH=90， BAD=90， BAH+DAE=90 ， ABH=DAE， BAHADE， = = ， AB=3AD，BH=4，DE=1， AE= ，AH=3， BF=HE=AH+AE=3+ = ， 在 Rt ADE 中，AD= = = ， AB=3AD=5， S 四边形 ABCD=SABD +SBCD = ABAD+ CDBF= 5 + 2 = 故选 D 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积问题此题难度适中，注意掌握辅 助线的作法，注意数形结合思想的应用 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，把答案填在答题卡相对应的位置上 11函数 中，自变量 x 的取值范围是 x3 考点： 函数自变量的取值范围 分析： 根据二次根式 有意义的条件是 a0，即可求解 解答： 解：根据题意得：x3 0， 解得：x3 故答案是：x3 点评： 本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 12 的平方根是 2 考点： 算术平方根；平方根 分析： 首先根据算术平方根的定义求出 的值，再根据平方根的定义即可求解 解答： 解： =4，4 的平方根是 2， 的平方根是2 故答案为：2 点评： 此题主要考查了算术平方根和平方根的定义本题容易出现的错误是把 的平方根认为是 16 的平方 根而得出4 的错误结果 13因式分解：x 22xy+y 2= （xy） 2 考点： 因式分解-运用公式法 专题： 计算题 分析： 根据完全平方公式直接解答即可 解答： 解：原式=（xy） 2 故答案为（xy） 2 点评： 本题考查了因式分解运用公式法，熟悉因式分解是解题的关键 14一个扇形半径 30cm，圆心角 120，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为 10cm 考点： 圆锥的计算 专题： 计算题 分析： 求出扇形的弧长，此弧长即为圆锥底面圆的周长，据此即可求出圆锥底面半径 解答： 解：扇形弧长为 =20cm； 设圆锥的底面圆半径为 r，则 r= =10cm 故答案为：10cm 点评： 本题考查了圆锥的计算，要明确，扇形的弧长即为其围成圆锥的底面圆周长 15 3+ 的整数部分是 a，3 的小数部分是 b，则 a+b 等于 6 考点： 估算无理数的大小 分析： 先对 估算出大小，从而求出 3+ 的整数部分 a，设 3 的整数部分为 m，则 3 的小数部分 b=3 m，再将 a、b 的值代入，计算即可 解答： 解：1 2， 43+ 5， 3+ 的整数部分 a=4； 1 2， 2 1， 13 2， 设 3 的整数部分为 m，则 m=1， 3 的小数部分 b=3 m=2 ， a+b=4+2 =6 故答案为 6 点评： 本题主要考查了无理数大小的估算，能够正确估算出 3 的大小是解决此题的关键 16如图，已知二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+m 的图象相交于 A（1，2） 、B （4，1）两点，则关 于 x 的不等式 ax2+bx+ckx+m 的解集是 x1 或 x4 考点： 二次函数与不等式（组） 分析： 根据图象写出抛物线在直线上方部分的 x 的取值范围即可 解答： 解：两函数图象相交于 A（ 1，2） 、B（4，1）两点， 不等式 ax2+bx+ckx+m 的解集是 x1 或 x4 故答案为：x1 或 x4 点评： 本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想 17如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距 离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 4 km/h 考点： 一次函数的应用 专题： 压轴题 分析： 根据图中信息找出甲，乙两人行驶的路程和时间，进而求出速度即可 解答： 解：根据图象可得： 甲行驶距离为 100 千米时，行驶时间为 5 小时，乙行驶距离为 80 千米时，行驶时间为 5 小时， 甲的速度是：100 5=20（千米/ 时） ；乙的速度是：805=16（千米/时） ； 故这两人骑自行车的速度相差：2016=4（千米/时） ； 故答案为：4 点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关键 18如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 B（3，0） ，C （1，0） ，与 y 轴相交于点 4（0，3） ，O 为坐 标原点点 M 为 y 轴上的动点，当点 M 运动到使OMC+OAC=ABC 时，AM 的长度为 1 或 5 考点： 二次函数综合题 专题： 综合题 分析： 在 OA 上截取 ON=OC=1，分类讨论，M 在 y 轴上半轴上，M 在 y 轴下半轴上，利用外角的知识及 OMC+OAC=ABC ，证明CANM 1AC，CNAM 2AC，继而可分别求出 AM 的长度 解答： 解： 连接 AB，AC ， OB=OA=3， ABO=BAO=45， 在 OA 上截取 ON=OC=1，则ONC=OCN=45 ， 在 Rt OAC 中，AC= = ，在 RtONC 中， NC= = ， 当 M 在 y 轴上半轴上时，ONC=OAC+NAC=45 ， ABC=OMC+OAC=45， OMC=NAC， 又CAN=M 1AC（同一个角） ， CANM 1AC， = ，即 = ， 解得：AM 1=5 当 M 在 y 轴下半轴上时，ONC=OM 2C+NCM 2=45， ABC=OM 2C+OAC=45， OAC=NCM 2， 又CNA=M 2NC（同一个角） ， CNAM 2AC， = ，即 = ， 解得：NM 2=1， 故 AM2=OAONNM 2=1 综上可得 AM 的长度为 1 或 5 故答案为：1 或 5 点评： 本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是分类讨论点 M 的位置，利用相似三角形的性质：对应边 成比例求出有关线段的长度，有一定难度 三、解答题：本大题共 11 小题，共 76 分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算 过程、推演步骤或文字说明作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔 19计算：| 2|（2） 2 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 专题： 计算题 分析： 预案技能书第一项利用负数的绝对值等于它的相反数计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项利 用零指数幂法则计算，即可得到结果 解答： 解：原式=2 1= 点评： 此题考查了实数的运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，零指数、负指数幂法则，熟练掌握法则是 解本题的关键 20解方程： 3=0 考点： 换元法解分式方程 专题： 计算题 分析： 将 看做一个整体，左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个方 程，求出方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 解答： 解：分解因式得：（ +1） （ +3）=0 ， 可得： +1=0 或 +3=0， 解得：x=1 或 x=3， 经检验都是分式方程的解 点评： 此题考查了换元法解分式方程，解题的关键是将 看做一个整体 21先化简，再求值：（a+b） （ab）（a b） 2，其中 a= ，b= 考点： 整式的混合运算化简求值 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值 解答： 解：原式=a 2b 2a 2+2abb 2=2ab2b 2， 当 a= ，b= 时，原式=2 2（ ） 2=2 4 点评： 此题考查了整式的混合运算化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以 及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 22关于 x 的一元二次方程（k2）x 22（k1）x+k+1=0 有两个不同的实数根是 xl 和 x2 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k=2 时，求 4x12+6x2 的值 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义；根与系数的关系 专题： 计算题 分析： （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 k20 且=4（k1） 24（k2） （k+1） 0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可； （2）先把 k=2 代入原方程得到 4x26x+1=0，根据根与系数的关系得 xl+x2= ，x lx2= ，由于 xl 是 原方程的解，则 4x126x 1+1=0，即 4x12=6x11，所以 4x12+6x2=6x11+6x 2=6（x 1+x2）1，然后利用 整体思想计算即可 解答： 解：（1）根据题意得 k20 且=4（k1） 24（k2） （k+1）0， 解得 k3 且 k0； （2）当 k=2 时，方程变形为 4x26x+1=0，则 xl+x2= ，x lx2= ， x l 是原方程的解， 4x 126x 1+1=0， 4x 12=6x11， 4x 12+6x2=6x11+6x 2=6（x 1+x2）1=6 1=8 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当0，方程有两个不相等的 实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定 义和根与系数的关系 23如图，ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于 D，DEBC 交 AC 于 E，若 AD：DB=4：5，AC=9 （1）求 DE 的长 （2）若ADE=EDC，求 AD 的长 考点： 相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 分析： （1）根据平行线分线段成比例的知识求出 AE，EC，然后判断 ED=EC，即可得出答案； （2）证明AEDADC，利用对应边成比例的知识，可求出 AD 解答： 解：（1）DEBC， = = ， 又AC=9， AE=4，EC=5， CD 平分ACB 交 AB 于 D， ACD=DCB， 又DEBC， EDC=DCB， ACD=EDC， DE=EC=5 （2）ADE=EDC，EDC=ACD ， ADE=ACD， AED ADC， = ，即 AD2=AEAC=49=36， AD=6 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质及相似三角形的性质：对应 边成比例，难度一般 24在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字 1、2、3、 ，现从中任意摸出一个小球， 将其上面的数字作为点 M 的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点 M 的纵坐标 （1）写出点 M 坐标的所有可能的结果； （2）求点 M 在直线 y=x 上的概率 考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征 分析： （1）首先根据题意列出表格，然后根据表格即可求得点 M 坐标的所有可能的结果； （2）由点 M 在直线 y=x 上的有 3 种情况，利用概率公式求解，即可求得答案 解答： 解：（1）列表得： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 则点 M 坐标的所有可能的结果有九个：（1，1） 、 （1，2） 、 （1，3） 、 （2，1） 、 （2，2） 、 （2，3） 、 （3，1） 、 （3，2） 、 （3，3） （2）点 M 在直线 y=x 上的有：（1，1） 、 （2，2） 、 （3，3） ， P（点 M 在直线 y=x 上）= = 点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率的知识此题难度不大，注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注 意概率=所求情况数与总情况数之比 25冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光照 射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机吴江某居民小区有一 朝向为正南方向的居民楼该居民楼的一楼是高为 5 米的小区超市，超市以上是居民住房，现计划在该楼前面 24 米处盖一栋新楼，已知吴江地区冬至正午的阳光与水平线夹角大约为 30 （参考数据在 1.414， 1.732） （1）中午时，若要使得超市采光不受影响，则新楼的高度不能超过多少米？（结果保留整数） （2）若新建的大楼高 18 米，则中午时，超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？ 考点： 解直角三角形的应用 分析： （1）连接 AC，在 RtABC 中，利用锐角三角函数表示出线段 AB 的长，然后保留整数即可求得楼高 的范围 （2）首先过点 E 作 BC 平行线角 AB 与点 F在 RtAFG 中，利用正切函数求得 GF 的长，即为使得超 市采光不受影响，两楼应至少相距的米数 解答： 解：（1）连接 AC，在 RtABC 中， tan30 = AB=24 =8 =81.732=13.856 当楼高 AB 超过 13.856 时，光线照到 C 点的上方，超市采光受影响，又结果需要保留整数，所以楼高不 超过 13 米； （2）设居民楼底与超市顶端交界点为 E，过点 E 作 BC 平行线角 AB 与点 F，设过新楼顶的光线交直线 EF 与点 G，则 AF=1815=13， 在 Rt AFG 中， FG= =22.517， FGFE=24 超市以上的居民住房采光不受影响 点评： 此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算 26如图，已知在ABC 中，AB=AC ，D 是ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与 A，C 重合） ，延长 BD 至 E （1）求证：AD 的延长线平分CDE； （2）若BAC=30，且ABC 底边 BC 边上高为 1，求 ABC 外接圆的周长 考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理 分析： （1）要证明 AD 的延长线平分CDE，即证明EDF=CDF，转化为证明ADB=CDF，再根据 A，B，C ，D 四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到 （2）求ABC 外接圆的面积，只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连 接 OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积 解答： （1）证明：如图，设 F 为 AD 延长线上一点， A，B，C ，D 四点共圆， CDF=ABC， AB=AC， ABC=ACB， ADB=ACB， ADB=CDF， ADB=EDF（对顶角相等） ， EDF=CDF， 即 AD 的延长线平分CDE （2）解：设 O 为外接圆圆心，连接 AO 比延长交 BC 于 H，连接 OC， AB=AC， = ， AHBC， OAC=OAB= BAC= 30=15， COH=2OAC=30 ， 设圆半径为 r， 则 OH=OCcos30= r， ABC 中 BC 边上的高为 1， AH=OA+OH=r+ r=1， 解得：r=2（2 ） ， ABC 的外接圆的面积为：4（2 ） 点评： 此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质此题 难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用 27某班级到毕业时共结余经费 1350 元，班委会决定拿出不少于 285 元但不超过 300 元的资金布置毕业晚会会 场，其余资金用于在毕业晚会上给 43 位同学每人购买一件纪念品，纪念品为文化衫或相册已知每件文化衫比 每本相册贵 6 元，用 202 元恰好可以买到 3 件文化衫和 5 本相册 （1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元； （2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于布置毕业晚会会场的资金更充足？ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 分析： （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即每件文化衫比每本相册贵 6 元，用 202 元恰好可以 买到 2 件文件衫和 5 本相册根据这两个等量关系可列出方程组 （2）本题存在两个不等量关系，即设购买文化衫 a 件，购买相册（43a）本，则 105029a+23（ 43a ）1065，根据 a 为正整数，解出不等式再进行比较即可 解答： 解：（1）设每件文化衫和每本相册的价格分别为 x 元和 y 元， 则 ， 解得： 答：每件文化衫和每本相册的价格分别为 29 元和 23 元 （2）设购买文化衫 a 件，购买相册（43a）本，且某班级到毕业时共结余经费 1350 元，班委会决定拿 出不少于 285 元但不超过 300 元的资金布置毕业晚会会场， 则：105029a+23 （43a ）1065， 解得 a ， 因为 t 为正整数，所以 a=11，12，即有 2 种方案： 第一种方案：购买文化衫 11 件，相册 32 本； 第二种方案：购买文化衫 12 件，相册 31 本； 因为文化衫比相册贵， 所以第一种方案布置毕业晚会会场的资金更充足 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，利用不等式解决，另外要注意，同实际相 联系的题目，需考虑字母的实际意义，从而确定具体的取值再进行比较即可知道方案用于布置毕业晚 会会场的资金更充足 28如图所示，点 B 坐标为（ 18，0） ，点 A 坐标为（18，6） ，动点 P 从点 O 开始沿 OB 以每秒 3 个单位长度的 速度向点 B 移动，动点 Q 从点 B 开始沿 BA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 移动如果 P、Q 分别从 O、B 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间（ 0t 6） ，那么， （1）当 t= 3 或 5.4 时，以点 P、B、Q 为顶点的三角形与AOB 相似； （2）若设四边形 OPQA 的面积为 y，试写出 y 与 t 的函数关系式，并求出 t 取何值时，四边形 OPQA 的面积最 小？ （3）在 y 轴上是否存在点 E，使点 P、Q 在移动过程中，以 B、Q、E、P 为顶点的四边形的面积是一个常数， 请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 考点： 相似形综合题 分析： （1）讨论：当BPQ=BOA，即 PQOA，由相似三角形：RtQPBRt AOB ，的对应边成比例求 得 t=3；当BPQ= A，则 RtBPQRtBAO ，由相似三角形的对应边成比例知 = ，即 = ，即可得到 t=5.4； （2）利用 y=SOAB S BPQ = 186 （183t）t，然后利用配方法求得该二次函数的最值，即求 出 t 取何值时，四边形 OPQA 的面积最小； （3）当点 E 在 y 轴正半轴时，利用以 B、Q、E、P 为顶点的四边形的面积=梯形 BQEO 的面积OPE 的面积，用 t 与 m 表示出来为 （t+m）18 3tm=（9 m）t+9m ，当 t 的系数为 0 时即可得到 m 的值； 当点 E 在 y 轴负半轴时，S=S EPB +SPBQ = （183t ） （m ） （183t）t= t2+ mt+9t9m此 时不存在 m 的值，使 S 的值为常数 解答： 解：点 B 坐标为（18，0） ，点 A 坐标为（18，6） ， BO=18，AB=6，AB0B （1）当BPQ=BOA，即 PQOA，Rt QPB Rt AOB， 则 = ，即 = ， 解得 t=3； 当BPQ=A，则 RtBPQRtBAO， = ，即 = ， t=5.4 所以当 t=3 秒或 5.4 秒时，以点 P、Q、B 为顶点的三角形与AOB 相似 （2）y=S OAB S BPQ = 186 （183t）t= （t 3） 2+ ，即 y= （t3） 2+ 则当 t=3，四边形 OPQA 的面积最小； （3）存在理由如下： 设以 B、Q、E、P 为顶点的四边形面积是 S，E（0，m ） 如图 1，当 E 在 y 轴的正半轴上时，则 S=S 梯形 BQEOS OPE = （t+m） 18 3tm=（9 m）t+9m 故当 9 m=0，即 m=6 时，S=54 是一个定值； 如图 2，当点 E 在 y 轴的正半轴上时，则 S=SEPB +SPBQ = （183t） （m ） （18