2013年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学试卷(深圳一模)

高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选 项 中，只有一项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，则 （ 1 i2 A 2i B 2i C 2 D 2 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 试卷 第 1 页 共 6 页 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2已知集合 A x R | x 7 ， B 1234 ，则 （ A） B 2 B 234 D 4A 1234 C 34 3下列函数中，最小正周期为 的是 y tan x y cos x y sin 2x y cos 4x 4设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x log 3 1 x ，则 f 2 A 1 5下列命题为真命题的是 3 1 3 A若 p q 为真命题，则 p q 为真命题 B“ x 5 ”是 “ x2 4x 5 0 ”的充分不必要条件 C 命题 “若 x 1 ， 则 x2 2x 3 0 ” 的否命题为 “若 x 1 ， 则 x2 2x 3 0 ” D已知命题 p ： x R ，使得 x2 x 1 0 ，则 p ： x R ，使得 x2 x 1 0 6沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 A （第 6 题图） 7 某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n( n 1)个小矩形 ， 若第一个小矩形的面积 等于其余 n 1 个小矩形的面积之和的 5 ，则第一个小矩形对应的频数是 A 20 B 25 C 30 D 35 8等差数列 an 中，已知 a5 0 ， a4 a7 0 ，则 an 的前 n 项和 Sn 的最大值 为 A S 7 B S6 C S5 D S4 9 已 知 抛 物 线 y2 2 px（ p 0）与 双 曲 线 x y 1（ a 0, b 0）的 一 条 渐 近 线 交 于 一 点a b M（ 1, m），点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于 1C 1DA 3 B 4 10已知 x 0 ， y 0 ，且 4xy x 2 y 4 ，则 xy 的最小值 为 B 2 2 C 2 D 2A 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 试卷 第 2 页 共 6 页 二、 填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 满分 20 分 本大题分为必做题和选做 题 两部分 （一）必做题： 第 11、 12、 13 题为必做题，每道试题考生都必须做 答 11运行如图所示的程序框图，输出的结果是 开始 否 输出 S 结束 （第 11 题图） x y 2 0, 12已知变量 x， y 满足约束条件 x 1, 则 的取值范围是 2x y 8 0. 13在平面直角坐标系 xOy 中，定点 A（ 4, 3）且动点 B（ m, 0）在 x 轴的正半轴上移动，则 m 的最大值为 AB （二 ） 选做题 ： 第 14、 15 题为选做题， 考生只能选做一题， 两题全答的， 只计算第 一 题的得分 14 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程为 x 1 t, （参数 t R， 若 以 O y 4 2t. 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 曲线 C 的极坐标方程为 4sin ， 则直线 l 被 曲 线 C 所截得的弦长为 15 如图 ， PA 是 O 的切线， A 为切点， 直线 PB 交 O 于 D、 B 两点， 交弦 AC 于 E 点， 且 AE 4 ， EC 3 ， BE 6 ， PE 6 ，则 AP = O D C (第 15 题图 ) 第 3 页 共 6 页2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 试卷 A 5 是 A=A+1 S= 2S+1 A=1， S=1 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 三、 解答题： 本大题 6 小题， 满分 80 分 解答须写出文字说明 、 证明过程和演算步骤 16（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， M（ sin 2 , 1）， N（ 1, 2 cos2 （ R ， 且 O M O N . （ 1）求点 M , N 的坐标； （ 2） 若 角 , 的 顶 点 都 为 坐 标 原 点 且 始 边 都 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合 ， 终 边 分 别 经 过 点 M , N ，求 tan( )的值 . 17（本小题满分 12 分） 一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示： （ 1） 要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动， 求选中的学生中至少有一人的物理 绩高于 90 分的概率； （ 2） 请 在 所 给 的 直 角 坐 标 系 中 画 出 它 们 的 散 点 图 ， 并 求 这 些 数 据 的 线 性 回 归 方程 y bx a y(物 理 成 绩 ) 94 92 90 88 89 91 93 95 97 x(数学成绩 ) （第 17 题图） 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 试卷 第 4 页 共 6 页 O 学生 A1 A2 A 3 A4 A5 数学（ x 分） 89 91 93 95 97 物理（ y 分） 87 89 89 92 93 18（本小题满分 14 分） 如 图 甲 ， O 的 直 径 AB 2 ， 圆 上 两 点 C、 D 在 直 径 AB 的 两 侧 ， 使 CAB 4 ，DAB 沿 直 径 AB 折起，使两个半 圆所在的平面互相垂直（如图乙， F 为 BC 的 中 点， E 为 AO 的中点根据图乙解答下列各题： （1）求 棱锥 C BOD 的体积； （ 2）求证： CB DE ； （ 3） 在 BD 上 是 否 存 在 一 点 G ， 使 得 FG / 平 面 ACD ？ 若 存 在 ， 试 确 定 点 G 的 位 置 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 C C O O D （第 18 题图甲） D （第 18 题图乙） 19（本题满分 14 分） 设 an 是公比大于 1 的等比数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和已知 S3 7 ，且 3a2 是 a1 3 和 a3 4 的等差中项 （ 1）求数列 an 的通项公式； ，数列 b 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn 2 （ 2）设 bn ( a n 1)( an 1 1 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 试卷 第 5 页 共 6 页 F 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 20（本题满分 14 分） 已 知 椭 圆 C 的 中 心 为 原 点 O ， 焦 点 在 x 轴 上 ， 离 心 率 为 ， 且 点 （ 1, ）在 该 椭 圆 上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2） 如图 ， 椭圆 C 的长轴为 AB ， 设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH x 轴， H 为 垂 足 ， 点 Q 满 足 PQ HP ， 直 线 AQ 与 过 点 B 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 交 于 点 M ，B M 4 B N 求证： OQN 为锐 角 MQ O H （第 20 题图） 21（本小题满分 14 分） 已知函数 f x） ax x2 x ln a b （ a, b R, a 1）， e 是自然对数的底 数 （1）试判断函数 f x）在区间 （ 0, ）上的单调性； （ 2）当 a e ， b 4 时，求整数 k 的值，使得函数 f x）在区间 （ k , k 1）上存在零点； （ 3）若存在 x1 , x2 1, 1 ，使得 | f x1） f x2）| e 1 ，试求 a 的取值范围 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 试卷 第 6 页 共 6 页 7 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较 严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数 一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 50 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D A B B C C A D 二、填空题：本大题每小题 5 分；第 14、15 两小题中选做一题，如果两题都做，以第 14 题的得分 为最后得分)，满分 20 分 11 63. 12 2， . 13 3 14 45 15 43. 三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤 16 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy中， 2 sin,1M（ ） ， 2 ,cosN（ ） （ R） ，且 32OMN. （1）求点 ,MN的坐标； （2）若角 的顶点都为坐标原点且始边都与 x轴的非负半轴重合，终边分别经过点 ,，求tan() 的值. 解：(1) 3,2 22sicos .2 分n(1i), 解得 2si6， 25cs 所以 (,)M， (,)3N .6 分 （2）由（1）可知 1， (,) 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 tan6， 5ta3 .10 分ntt()1 563()1 .12 分 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向 量的有关知识.考查了运算能力 17 （本小题满分 12 分） 一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示： 学生 1A234A5 数学（ x分） 89997 物理（ y分） 7823 （1）要从 5名学生中选 2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90分的概 率； （2）请 在 所 给 的 直 角 坐 标 系 中 画 出 它 们 的 散 点 图 ， 并 求 这 些 数 据 的 线 性 回 归 方 程 ybxa 解：（1）从 5名学生中任取 2名学生的所有情况为: 45(,)A、 41(,)、 42(,)A、 43(,)、5(,)A 、 2(,)、 53(,)A、 1(,)、 13(,)、 23共种情 0况.3 分 其中至少有一人物理成绩高于 90分的情况有： 45,、 41(,)、 42(,)、 43(,)、51(,) 、 52(,)、 53(,)共 7种情况， 故上 述 抽 取 的 人 中 选 人 ， 选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 90分的概率 7P10. 5 分 （2）散点图如右所示. 6 分 y/物 理 成 绩 x/数 学 成 绩O 89 91 93 95 97 88 92 94 90 9 可求得： x = 5973918= 3，y = 27= 0， 8 分51()3iiixy51i2i)( = 2240)(4=40，30b =0.75， ayx2.5 ， 11 分 故 关于 的线性回归方程是：0.7. . 12 分 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应 用意识 18 （本小题满分 14 分） 如图甲， O 的直径 2AB，圆上两点 CD、 在直径 AB的两侧，使 4CAB，3DAB 沿直径 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙） ， F为 的中点， E为 的中点根据图乙解答下列各题： （1）求三棱锥 CD的体积； （2）求证： E； （3）在 AB上 是 否 存 在 一 点 G， 使 得 /F平 面 ACD？若 存 在 ， 试 确 定 点 G的 位 置 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 A B C O D (第 18 题图甲) A B F O D (第 18 题图乙) E G 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解:（1） C为圆周上一点，且 AB为直径， 90C,4AB, O为 中点， ，2,1 . 两个半圆所在平面 C与平面 ADB互相垂直且其交线为 AB， C平面 AB， O平面 . 就是点 到平面 的距离， 在 RtD中， 113224BABDS，1334CBOBV . 4 分 （2）在 A中， 60,OAD 为正三角形， 又 E为 的中点， E， 两个半圆所在平面 CB与平面 D互相垂直且其交线为 AB， 平面 . CB. 9 分 （3）存在， G为 A的中点.证明如下： 连接 ,OF， D， B为 的直径， A /G， 平面 C， A平面 CD， O平面 . 在 B中， ,F分别为 ,B的中点，/ ， 平面 D， /O平面 ， 11 ,OGF 平面 /平面 ACD， 又 平面 ， /G平面 .14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能 力 19 （本题满分 14 分） 设 na是公比大于 1 的等比数列， nS为数列 na的前 项和已知 37S，且 2a是13 和 4的等差中项 （1）求数列 n的通项公式； （2）设 1ba()，数列 nb的前 项和为 nT，求证： 12n 解：（1）由已知，得 23127(4).aa， 3 分 解得 2a 设数列 n的公比为 q，则1q ， 2131aaq， 由 37S，可知 7， 250q， 解得 12， 由题意，得 q， 5 分 1a 故数列 n的通项为 12na 7 分 (2) 1()nnb1()n12nn， 11 分 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 nS11223112 2nn nn.14 分 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法” ；考查了 学生的运算能力和思维能力 20 （本题满分 14 分） 已知椭圆 C的中心为原点 O，焦点在 x轴上，离心率为 32，且点 31,2（ ） 在该椭圆上 （1）求椭圆 的方程； （2）如图，椭圆 的长轴为 AB，设 P是椭圆上异于 A、 B的任意一点， PHx轴， 为垂足， 点 Q满足 PH，直线 Q与过点 且垂直于 x轴的直线交于点 M， 4BN求证：ON 为锐角 20解：（1）设椭圆 C 的方程为 21,(0)xyab ，由题意可得 32cea , 又 22cba， 24a. 2 分 椭圆 C 经过 3(1,)，代入椭圆方程有 2 314b ， 解得 2b. 5 分 4a， A xyNQPHOB （第 20 题图） 13 故椭圆 C 的方程为 214xy . 6 分 （2）设 0,Py0()， 7 分 ,A， QH， 0,2xy， 直线 A的方程为 02yx 9 分 令 2x，得 08,Mx ,0B， 4BN， 02,yNx 0,QOy， 02(1),yxQNx 20 00 0()4(1)2()2yxxyx 2014y ， 2200x QON 12 分 02x， 0 又 O、 Q、 N不在同一条直线， 为锐角. 14 分 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以 及分析问题、解决问题的能力 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 2ln , 1xfabaR（ ） （ ） ，是自然对数的底数 （1）试判断函数 （ ） 在区间 0,（ ） 上的单调性； （2）当 ea， 4b时，求整数 k的值，使得函数 fx（ ） 在区间 , 1k（ ） 上存在零点； （3）若存在 12, , x，使得 12|efxf（ ） （ ） ，试求 a的取值范围 解：（1） ()lnl()lnx xfaa 1 分 由于 a，故当 0,)时， 0,，所以 ()0f