2014年普通高校招生全国统一考试数学试题及答案解析(江苏卷)_整卷(题面+答案)

2014 年江苏高考数学试题 数学试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱 =cl, 其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱 =Sh,其中 S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1已知集合 ， ，则 2134A， ， ， 123B， ， AB 【答案】 ， 2已知复数 (i 为虚数单位)，则 z 的实部为 25z 【答案】21 3右图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 【答案】5 4从 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的126， ， ， 概率是 【答案】 3 5已知函数 与 ，它们的图象有一个横坐标为cosyxin(2)0)yx 的交点，则 的值是 3 【答案】 6 6为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的 底部周长（单位：cm） ，所得数据均在区间 上，其频率分8013， 布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 株 树木的底部周长小于 100 cm 【答案】24 7在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，na218642a 则 的值是 6a 【答案】4 8设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 ，体积分别为 ，若它们的侧面积相等，且 ，12S， 12V， 1294S 则 的值是 12V 【答案】 3 9在平面直角坐标系 xOy 中，直线 被圆 截得的弦长为 230xy22()(1)4xy 【答案】 25 10已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实数 m 的取值范围2()1fxm1xm， ()0fx 是 【答案】 02， 11在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ( 为常数)过点 ，且该曲线在点 P 处的2byax， (25)P， 切线与直线 平行，则 的值是 7230xy 【答案】 12如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， ， ，则 的85ABD， 32CPABP， AD 值是 【答案】22 13已知 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 时， 若函数()fx 03)x， 21()fx 在区间 上有 10 个零点( 互不相同)，则实数 a 的取值范围是 ya34， 【答案】 102， 14若 的内角满足 ，则 的最小值是 ABCsin2siinABCcos 【答案】 64 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15(本小题满分 14 分)已知 ， 2， 5sin （1）求 的值；sin4 （2）求 的值co26 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分 14 分. （1） ，5sin2， ， 2cos1i ；210insincosin(cosin)44 （2） 223s255， 143cocos2sin66610 16(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 中， 分别为棱 的中点已知PABCDEF， ， PCAB， ， PAC， ， 8B， 5DF （1）求证：直线 PA平面 DEF； （2）平面 BDE平面 ABC 【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分. （1） 为 中点 DEPADE， PCA， 平面 DEF，DE 平面 DEF PA平面 DEFA （2） 为 中点 ， ， 132DEPA 为 中点 EF， CB， 4FBC ，DE EF222D90 ，/PA， DEA DE平面 ABCEF DE 平面 BDE， 平面 BDE平面 ABC 17(本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 分别是椭圆 的12F， 21(0)yxab 左、右焦点，顶点 B 的坐标为 ，连结 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆(0)b， 2B 于另一点 C，连结 1F （1）若点 C 的坐标为 ，且 ，求椭圆的方程；43， 2F （2）若 ，求椭圆离心率 e 的值1AB 【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分 14 分. （1） ，413C， 2619ab ， ，2BFbc22()21b 椭圆方程为 21xy （2）设焦点 12(0)()()cCxy， ， ， ， ， 关于 x 轴对称，AC， A， 三点共线， ，即 2BF， ， bcx0cyb ， ，即 11yx2 联立方程组，解得 22caby22acbC， C 在椭圆上， ， 22221accbb 化简得 ， , 故离心率为25c5a5 18(本小题满分 16 分)如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护 区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆， 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸)， 4tan3B （1）求新桥 BC 的长； （2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形 等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的 能力.满分 16 分. 解法一： (1) 如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直 角坐标系 xOy. 由条件知 A(0, 60)，C (170, 0)， 直线 BC 的斜率 k BC=tanBCO= .43 又因为 ABBC ，所以直线 AB 的斜率 k AB= . 设点 B 的坐标为(a,b)，则 k BC= 0,17ba k AB= 603,4ba 解得 a=80，b=120. 所以 BC= .22(1708)(10)5 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0d60). 由条件知，直线 BC 的方程为 ，即4()3yx43680xy 由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r， 即 .|3680|5dr 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m, 所以 即 解得(60)8rd 603805()d 1035d 故当 d=10 时, 最大，即圆面积最大. 35r 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长 OA, CB 交于点 F. 因为 tanBCO= .所以 sin FCO= ，cosFCO= .434535 因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tanFCO= .680 CF= ,从而 .850cosOCF3AFO 因为 OAOC，所以 cosAFB=sinFCO= ，45 又因为 ABBC ，所以 BF=AF cosAFB= ，从而 BC=CF BF=150.0 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MDBC，且 MD 是圆 M 的半 径，并设 MD=r m，OM=d m(0 d60). 因为 OAOC，所以 sinCFO =cosFCO， 故由(1)知，sinCFO = 所以 .3,6805rFOd68035dr 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m, 所以 即 解得80(6)rd 68035()80d 135d 故当 d=10 时, 最大，即圆面积最大.35dr 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 19(本小题满分 16 分)已知函数 其中 e 是自然对数的底数()exxf （1）证明： 是 上的偶函数；()fxR （2）若关于 x 的不等式 在 上恒成立，求实数 m 的取值范围；()e1xmf (0)， （3）已知正数 a 满足：存在 ，使得 成立试比较 与 的大小，0)， 3000()fxax1eae1 并证明你的结论 【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分. （1） ， ， 是 上的偶函数xR()e()xff()fxR （2）由题意， ，即1xxm e1)exxm ， ，即 对 恒成立(0)x， e0xxx (0)， 令 ，则 对任意 恒成立e1xt21t (1)t， ，当且仅当 时等号成立2 2()() 3tt t 2t 13m （3） ，当 时 ， 在 上单调增()exxf1()0fx()fx1)， 令 ，3)ha(3ha ， ，即 在 上单调减01x， 0x()()， 存在 ，使得 ， ，即0)， 3000fx1(e2fa1e e-1e11lnlln(e)ln1aa a 设 ，则()lme1 e2am， 当 时， ， 单调增；1ee12a()0a() 当 时， ， 单调减() 因此 至多有两个零点，而()m(1)em 当 时， ， ；ea()0aea 当 时， ， ；12e1a 当 时， ， ea()0mae1a 20(本小题满分 16 分)设数列 的前 n 项和为 若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得n nS ，则称 是“H 数列 ”nmSan （1）若数列 的前 n 项和 ，证明： 是“H 数列” ；n 2()nSNna （2）设 是等差数列，其首项 ，公差 若 是“H 数列” ，求 d 的值；n 1a0dn （3）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H 数列” 和 ，使得n nbnc 成立()nnabcN 【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分 16 分. （1）当 时，2 1112nnnnaS 当 时，n1 时， ，当 时，1 1nSa 是“H 数列”na （2） 1()()22nSdnd 对 ， 使 ，即NmnmSa(1)(1)nmd 取 得 ，2n1()d2d ， ，又 ， ，0N1 （3）设 的公差为 dna 令 ，对 ，111()(2)nbna11nba ，对 ，c1ncad 则 ，且 为等差数列1()n nad， 的前 n 项和 ，令 ，则nb11()2nT1(2)nTm(3)2n 当 时 ；m 当 时 ；2 当 时，由于 n 与 奇偶性不同，即 非负偶数，3n 3(3)nN 因此对 ，都可找到 ，使 成立，即 为“H 数列” NnmTbnb 的前项和 ，令 ，则nc1()2nRad1()n mcadR(1)2n 对 ， 是非负偶数， 即对 ，都可找到 ，使得 成立，即 为“H 数列” nmRnc 因此命题得证. 数学(附加题) 21.【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做， 则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图，AB 是圆 O 的直径， C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 证明:OCB=D. 本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分 10 分. 证明：因为 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC. 故OCB=B. 又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点， 故B，D 为同弧所对的两个圆周角， 所以B=D. 因此OCB=D. B.【选修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分) 已知矩阵 ， ，向量 ， 为实数，若 ，求 的值12xA1B2yx， A=Bxy， 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分. ， ，由 得 解得2yx24yA=24xy， 142xy， C.【选修 4-4:坐标系与参数方程 】( 本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，直线 l 与抛物线 12y， 交于 两点，求线段 AB 的长24yxAB， 【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分. 直线 l： 代入抛物线方程 并整理得3xy24yx2109x 交点 ， ，故(12)A， (96)B， |8AB D.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分) 已知 x0, y0,证明：(1+x +y2)( 1+x2+y)9xy. 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分 10 分. 证明：因为 x0, y0, 所以 1+x+y2 ，1+x 2+y ，230230 所以(1+x+y 2)( 1+x2+y) =9xy.3 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22(本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同 （1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P； （2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 ，随机变量 X 表123x， ， 示 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 123x， ， ()EX 22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力. 满分 10 分. （1）一次取 2 个球共有 种可能情况，2 个球颜色相同共有 种可能情况29C362243C10 取出的 2 个球颜色相同的概率 1058P （2）X 的所有可能取值为 ，则432， ，49C1()26P313145691(2)()(4)PXPX X 的概率分布列为