2014物理高考三轮复习解题策略专练：解答题专攻 带电粒子在磁场中的运动

带电粒子在磁场中的运动 常考的 3 种题型 纵观近两年各省市的物理高考试题，所谓的“压轴题”多聚焦于“磁” 。主要考查带电 粒子在匀强磁场中的圆周运动，尤其是带电粒子在电场、磁场中的运动，情景复杂、综合性 强，对考生的空间想象能力、物理过程和运动规律的综合分析能力以及用数学方法解决物理 问题的能力要求较高。而且，本部分知识与现代科技密切相关，在近代物理实验中有重大意 义。所以，近两年的高考试题中，涉及本考点的命题常以构思新颖、高难度的压轴题形式出 现也就不足为奇了。如果掌握了做这类题目的规律，解题还是相对比较容易的。 带电粒子在有界磁场中的运动 带电粒子沿垂直于磁场方向射入分界线两侧空间不同的两种匀强磁场，往往先后受到大 小不同的洛伦兹力作用，使带电粒子的运动轨迹也不同。由于磁场的方向、磁场区域的大小 以及带电粒子速度的大小和方向等多种条件的不同而使这类题目富有探究性和开放性。同时 这类问题能很好地考查考生的空间想象、推理分析、综合判断能力。 粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，会出现涉及临界状态的临界问题。 例 1 中心均开有小孔的金属板 C、D 与边长为 d 的正方形单匝金属线圈连接，正方形 框内有垂直纸面的匀强磁场，大小随时间变化的关系为 Bkt(k 未知，且 k0)，E、F 为磁场 边界，且与 C、D 板平行。D 板正下方分布磁场大小均为 B0，方向如图 1 所示的匀强磁场。 区域的磁场宽度为 d，区域的磁场宽度足够大。在 C 板小孔附近有质量为 m、电量为 q 的正离子由静止开始加速后，经 D 板小孔垂直进入磁场区域 ，不计离子重力。 图 1 (1)判断金属板 CD 之间的电场强度的方向和正方形线框内的磁场方向； (2)若离子从 C 板出发，运动一段时间后又恰能回到 C 板出发点，求离子在磁场中运动 的总时间； (3)若改变正方形框内的磁感应强度变化率 k，离子可从距 D 板小孔为 2d 的点穿过 E 边 界离开磁场，求正方形框内磁感应强度的变化率 k 是多少？ 解析 (1)金属板 CD 之间的电场强度方向由 C 垂直指向 D，正方形线框内的磁场方向 垂直纸面向里。 (2)由题意，离子在磁场中运动的轨迹如图甲所示。 T 2Rv 2mqB0 由图示几何关系知离子在磁场中运动的总时间 t T T 13 56 7m3qB0 (3)设离子进入磁场的速度为 v U kd 2 t 由 qU mv2 12 解得 v 2qkd2m 在磁场中运动时有 qvB0 mv2R 离子进入磁场并从 E 边界射出的运动轨迹有两种可能情况，如图乙所示。 如果离子从小孔右侧离开磁场，运动轨迹与 F 相切 由几何关系得 Rd 解得 k qB022m 如果离子从小孔左侧离开磁场，有几何关系 (Rd) 24d 2 4R2 由得对应磁感强度的变化率 k 25qB0218m 答案 (1)电场强度的方向为 CD 线框内磁场方向为垂直纸面向里 (2) (3) 7m3qB0 或 qB022m 25qB0218m 例 2 如图 2 甲所示，间距为 d 的平行金属板 MN 与一对光滑的平行导轨相连，平行导 轨间距 L ，一根导体棒 ab 以一定的初速度向右匀速运动，棒的右端存在一个垂直纸面向 d2 里，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场。棒进入磁场的同时，粒子源 P 释放一个初速度为零的 带电粒子，已知带电粒子质量为 m，电荷量为 q，粒子能从 N 板加速到 M 板，并从 M 板上 的一个小孔穿出。在板的上方，有一个环形区域内存在磁感应强度大小也为 B，垂直纸面向 外的匀强磁场。已知外圆半径为 2d，内圆半径为 d，两圆的圆心与小孔重合(粒子重力不计) 。 (1)判断带电粒子的正负，并求当 ab 棒的速度为 v0 时，粒子到达 M 板的速度 v； (2)若要求粒子不能从外圆边界飞出，则 ab 棒运动速度 v0 的取值范围是多少？ (3)若棒 ab 的速度 v0 ，为使粒子不从外圆飞出，可通过控制导轨区域磁场的宽度 qBdm s(如图乙) ，则该磁场宽度 s 应控制在多少范围内？ 图 2 解析 (1)根据右手定则知，a 端为正极，故带电粒子必须带负电。 ab 棒切割磁感线，产生的电动势 UB v0 d2 对于粒子，由动能定理得 qU mv20 12 解得粒子到达 M 板时的速度为 v qBdv0m (2)要使粒子不从外圆边界飞出，则粒子做圆周运动最大半径时的轨迹与外圆相切，如图 所示，由几何关系有(2dr) 2r 2d 2 解得 r d 34 洛伦兹力等于向心力，有 qvBm v2r 联立得 v0 9qBd16m 故 ab 棒的速度范围：v 0 9qBd16m (3)因为 v0 v0，故如果让粒子在 MN 间一直加速，则必然会从外圆飞出，所以只 qBdm 能让粒子在 MN 间最多加速至速度为 v ，再从 M 板的小孔匀速射出即可。 qBdv0m 3qBd4m 而 a qUmd qBv0 d2md q2B2d2m2 由 v at t，得 t 3qBd4m q2B2d2m2 3m2qB 对于棒 ab：sv 0t d 32 故磁场的宽度 s d 32 答案 (1) 带负电 (2)v 0 qBdv0m 9qBd16m (3)s d 32 解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的 临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，然后 应用数学工具和相应物理规律分析求解。 具体的分析方法： 带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下在磁场中做匀速圆周运动，由于运动的周期性或条件的周期 性等因素的存在，使问题往往出现多解性，此类问题能很好地考查学生多元性思维和空间想 象力，渗透物理世界的对称与和谐，因此将可能成为今后高考的热点。 例 1 如图 4 所示，在半径为 a(大小未知) 的圆柱空间中( 图中圆为其横截面)，固定放 置一绝缘材料制成的边长为 L 的弹性等边三角形框架 DEF，其中心 O 位于圆柱的轴线上。在 三角形框架 DEF 与圆柱之间的空间中，充满磁感应强度大小为 B 的均匀磁场，其方向平行 于圆柱轴线垂直纸面向里。在 EF 边上的中点 S 处有一发射带电粒子的粒子加速器，粒子发 射的方向均在截面内且垂直于 EF 边并指向磁场区域。发射粒子的电量均为 q(q0)，质量均 为 m，速度大小均为 v ，若粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，且粒子在碰撞 qBL6m 过程中所带的电量不变。(不计带电粒子的重力，不计带电粒子之间的相互作用) 求： 图 4 (1)为使初速度为零的粒子速度增加到 v ，在粒子加速器中，需要的加速电压为多 qBL6m 大； (2)带电粒子在匀强磁场区域内做匀速圆周运动的半径； (3)若满足：从 S 点发射出的粒子都能再次返回 S 点，则匀强磁场区域的横截面圆周半径 a 至少为多大； (4)若匀强磁场区域的横截面圆周半径 a 满足第(3)问的条件，则从 S 点发射出的某带电粒 子从 S 点发射到第一次返回 S 点的时间是多少。 解析 (1)在粒子加速器中，带电粒子在电场中被加速，根据动能定 理 qU mv2， 12 解得 U 。 qB2L272m (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 qvBm ， v2r 解得 rmv/qBL/ 6。 (3)设想某个带电粒子从 S 发射后又能回到 S，则带电粒子运动轨迹如图所示。 当带电粒子的运动轨迹同磁场区域内切时，磁场区域半径有最小值 amin，由几何关系 aminOGOFFG L/3r( )L。3 16 33 (4)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由 T 。 2rv 2mqB 由轨迹图可知，带电粒子从 S 点发射到第一次返回 S 点的时间是 t T 。 112 11mqB 答案 (1) (2)L/6 (3)( )L (4) qB2L272m 16 33 11mqB 例 2 如图 5 甲所示的坐标系中，第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场， x 方向的宽度 OA20 cm，y 方向无限制，磁感应强度 B0110 4 T。现有一比荷为3 210 11 C/kg 的正离子以某一速度从 O 点射入磁场， 60，离子通过磁场后刚好从 A qm 点射出。 (1)求离子进入磁场 B0 的速度的大小； (2)离子进入磁场 B0 后，某时刻再加一个同方向的匀强磁场，使离子做完整的圆周运动， 求所加磁场磁感应强度的最小值； (3)离子进入磁场 B0 后，再加一个如图乙所示的变化磁场 (正方向与 B0 方向相同，不考虑 磁场变化所产生的电场)，求离子从 O 点到 A 点的总时间。 图 5 解析 (1)如图所示，由几何关系得离子在磁场中运动时的轨道 半径 r10.2 m 离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 Bqv mv2r1 求得 v410 6 m/s (2)由 Bqv 知，B 越小， r 越大。设离子在叠加磁场中最大半径为 R，由几何关系得 mv2r R0.05 m 由牛顿运动定律得 B1qv ，求得 B1410 4 T mv2R 则外加磁场 B1310 4 T (3)如图所示，离子在原磁场中运动周期 T1 107 s 2mB0q 离子在磁场中运动第一次遇到外加磁场的过程中轨迹对应的圆 心角 1 2 1210 7 10 7 6 此时施加附加磁场，离子在磁场中能做的圆周运动的最大半径为 r2 由几何关系知 r2(3 5)0.2 m 0.039 m3 离子在有附加磁场时运动半径为 r3 则 B2qv ，求得 r3 m0.017 m mv2r3 160 因 r3r2，所以离子能做完整的圆周运动 离子在外加磁场后做圆周运动的周期 T2 107 s 2mB2q 12 对照外加磁场的规律可知，每隔 107 s 离子在周期性外加磁场时，离子恰可做一次 12 完整的匀速圆周运动，共做三次，最后在 A 点离开磁场。 离子从 O 点进入到 A 点射出的总时间为 t 107 s 2m3B0q 6mB2q 712 答案 (1)410 6 m/s (2)310 4 T (3) 107 s 712 带电粒子在复合场中的运动问题 带电粒子在复合场中的运动的命题，集中融合力学、电磁学等知识，其特点为构思新颖、 综合性强，突出考查考生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问 题的能力及空间想象能力。 近几年的高考试题，常常以加速器、示波管、质谱仪、速度选择器为背景，结合最新的 现代科技知识与情景，考查带电粒子在电场中的加速、偏转和在磁场中的偏转。 例 1 如图 6 甲所示的控制电子运动装置由偏转电场、偏转磁场组成。偏转电场处在加 有电压 U、 相距为 d 的两块水平平行放置的导体板之间，匀强磁场水平宽度一定，竖直长度 足够长，其紧靠偏转电场的右边。大量电子以相同初速度连续不断地沿两板正中间虚线的方 向向右射入导体板之间。当两板间没有加电压时，这些电子通过两板之间的时间为 2t0；当两 板间加上图乙所示的电压 U 时，所有电子均能通过电场、穿过磁场，最后打在竖直放置的荧 光屏上。已知电子的质量为 m、电荷量为 e，不计电子的重力及电子间的相互作用，电压 U 的最大值为 U0，磁场的磁感应强度大小为 B、方向水平且垂直纸面向里。 图 6 (1)如果电子在 tt 0 时刻进入两板间，求它离开偏转电场时竖直分位移的大小； (2)要使电子在 t0 时刻进入电场并能最终垂直打在荧光屏上，匀强磁场的水平宽度 l 为 多少？ (3)证明：在满足(2) 问磁场宽度 l 的条件下，所有电子自进入板间到最终打在荧光屏上的 总时间相同。 解析 (1)电子在 tt 0时刻进入两板间，在 t02t 0时间内做匀速运动，在 2t03t 0时间 内做类平抛运动，发生偏转，则 a ，y at02 eEm eU0md 12 eU0t022md (2)设电子从电场中射出的偏向角为 ，速度为 v，则 sin vyv eU0t0mdv 电子通过匀强磁场并能垂直打在荧光屏上，设其圆周运动的半径为 R，根据牛顿第二定 律有 evBm ，由几何关系得：sin v2R lR 得水平宽度 l U0t0Bd (3)证明：无论何时进入两板间的电子，在两板间运动的时间均为 t12t 0 射出电场时的竖直分速度 vy均相同， vyat 0 eU0t0md 射出电场时速度方向与初速度 v0方向的夹角 均相同，满足 tan vyv0 eU0t0mv0d 因进入偏转磁场时电子速度大小 v 相同，方向平行，所以电子在磁场中的轨v02 vy2 道半径相同，都垂直打在荧光屏上。 根据几何关系，电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角必为 ，则在磁场中运动时间 t2 T 2 meB 综上所述，电子运动的总时间 tt 1t 22t 0 ，即总时间相同。 meB 答案 (1) (2) (3)见解析 eU0t022md U0t0Bd 例 2 如图 7 所示，在 xOy 平面直角坐标系的第一象限有射线 OA，OA 与 x 轴正方向 夹角为 30，OA 与 y 轴所夹区域内有沿 y 轴负方向的匀强电场，其他区域存在垂直于坐标平 面向外的匀强磁场。有一质量为 m、电量为 q 的带正电粒子，从 y 轴上的 P 点沿着 x 轴正方 向以初速度 v0 射入电场，运动一段时间后经过 Q 点垂直于射线 OA 进入磁场，经磁场偏转， 过 y 轴正半轴上的 M 点再次垂直进入匀强电场。已知 OPh，不计粒子重力，求： 图 7 (1)粒子经过 Q 点时的速度大小； (2)匀强电场电场强度的大小； (3)粒子从 Q 点运动到 M 点所用的时间。 解析 (1)粒子做类平抛运动到 Q 点时，将速度分解如图所 示。v Q 2v 0。 v0sin 30 (2)vyv Qcos 30 v0。3 粒子从 P 到 Q 做类平抛运动，设 OQL ，则 x 方向，L cos 30v 0t， y 方向，hLsin 30 vyt，v yat，qEma ， 12 联立解得：t ，L 4h/5，E 。 23h5v0 5mv022qh (3)由题得，粒子在磁场中偏转的半径 rL 4h/5， 由 qvBm ，及 T2r/v v2r 得 T ，B 。 2mqB 5mv02qh Q 到 M 点，圆心角 5/3。 则运动时间 t T5T /6。 2 代入磁感应强度 B，得 t 。 2h3v0 答案 (1)2v 0 (2) (3) 5mv022qh 2h3v0 带电粒子在复合场中的运动分析方法和力学问题的分析方法基本相同，不同之处是多了 电场力和洛伦兹力。一般来说，对单个物体，用动能定理或动量定理；对多个物体组成的系 统，用能量守恒定律或动量守恒定律，涉及加速度等力学问题必定用牛顿第二定律和运动学 公式。 带 电 粒 子 在 磁 场 中 的 运 动 1(2013烟台模拟)如图 1 所示， M、N 为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距 为 d，其右侧有一边长为 2a 的正三角形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在极板 M、N 之间加上电压 U 后，M 板电势高于 N 板电势。现有一带正电的粒子，质量为 m，电荷 量为 q，其重力和初速度均忽略不计，粒子从极板 M 的中央小孔 s1 处射入电容器，穿过小孔 s2 后从距三角形 A 点 a 的 P 处垂直 AB 方向进入磁场，试求：3 图 1 (1)粒子到达小孔 s2 时的速度和从小孔 s1 运动到 s2 所用的时间； (2)若粒子从 P 点进入磁场后经时间 t 从 AP 间离开磁场，求粒子的运动半径和磁感应强 度的大小； (3)若粒子能从 AC 间离开磁场，磁感应强度应满足什么条件。 解析：(1)粒子在电场中运动时：qU mv2 12 d vt 12 解得：v 2qUm td 2mqU (2)粒子从进入磁场到从 AP 间离开：qvB mv2R t 甲 Rv 由以上两式解得：R t2qUm B mqt (3)粒子从进入磁场到从 BC 边离开，如图甲所示，做圆周运动 的半径为 R1 a3 qvB1 乙 mv2R1 联立解得 B1 6qUm3qa 粒子进入磁场从 AC 边离开，由图乙可知 R2( aR 2)sin 603 qvB2 mv2R2 联立解得 B2 2 3 2qUm3qa 所以 B 6qUm3qa 2 3 2qUm3qa 答案：(1) d (2) 2qUm 2mqU t2qUm mqt (3) B 6qUm3qa 2 3 2qUm3qa 2(2013济南模拟)如图 2 甲所示，带有小孔的平行极板 A、B 间存在匀强电场，电场强 度为 E0，极板间距离为 L。其右侧有与 A、B 垂直的平行极板 C、D，极板长度为 L，C、D 板加不变的电压。C、D 板的右侧存在宽度为 2L 的有界匀强磁场，磁场边界与 A、B 板平行。 现有一质量为 m，带电量为 e 的电子( 重力不计)，从 A 板处由静止释放，经电场加速后通过 B 板的小孔飞出；经 C、D 板间的电场偏转后恰能从磁场的左侧边界 M 点进入磁场区域，速 度方向与边界夹角为 60，此时磁场开始周期性变化，如图乙所示(磁场从 t0 时刻开始变化， 且以垂直于纸面向外为正方向) ，电子运动一段不少于 的时间后从右侧边界上的 N 点飞出， T2 飞出时速度方向与边界夹角为 60，M、N 连线与磁场边界垂直。求： (1)电子在 A、B 间的运动时间； (2)C、D 间匀强电场的电场强度； (3)写出磁感应强度 B0、变化周期 T 的大小各应满足的表达式。 图 2 解析：(1)电子在 A、B 间直线加速，加速度 a eE0m 电子在 A、B 间的运动时间为 t 则 L at2 12 所以 t 2mLeE0 (2)设电子从 B 板的小孔飞出时的速度为 v0，则电子从平行极板 C、D 间射出时沿电场方向的速度为 vyv 0tan 30 又 vy eEmLv0 所以 C、D 间匀强电场的电场强度 E E0 233 (3)在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为 60(如图所示)，在磁场变化的半个周期内， 粒子在 MN 方向上的位移等于 R，粒子到达 N 点而且速度符合要求的空间条件是： nR 2LMN 电子在磁场做圆周运动的轨道半径 R mvB0e 电子进入磁场时的速度 v v0 v0cos 30 233 得 B0n (n1,2,3) 2mE03eL 电子在磁场中做圆周运动的周期 T0 2mB0e 磁场变化周期 T 与 T0间应满足的关系是 T2 T06 得 T (n1,2,3) n 2mL3eE0 答案：(1) (2) E0 (3)B0n (n1,2,3) T (n1,2,3) 2mLeE0 233 2mE03eL n 2mL3eE0 3(2013保定模拟)如图 3 所示，在 x0 的区域内存在与 xOy 平面垂直的匀强磁场，磁 感应强度的大小为 B，方向垂直于纸面向里。假设一系列质量为 m、电荷量为 q 的正离子初 速度为零，经过加速电场加速后从 O 点沿 Ox 轴正方向进入匀强磁场区域。有一块厚度不计、 高度为 d 的金属板竖直放置在磁场中，截面如图所示，M、N 分别为金属板截面的上、下端 点，M 点的坐标为(d,2d) ，N 点的坐标为(d，d) 。不计正离子的重力。 (1)加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上； (2)求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值。(sin 37 0.6，cos 370.8) 图 3 解析：(1)设加速电压为 U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得： qU mv2 12 正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： qvBm v2R R 2mqUqB 当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板 下端点 N 点时，圆周运动的半径最小为 Rmin，如图甲所示。 根据几何知识可以判断：R mind 故 Umin qB2d22m 当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板 上端点 M 点时，圆周运动的半径最大为 Rmax，如图乙所示。 根据几何知识可以判断：R max2d 2(2dR max)2 解得：R max d 54 故 Umax 25qB2d232m 故离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围为： U qB2d22m 25qB2d232m (2)设离子在磁场中做匀速圆周运动周期为 T，根据圆周运动规律得： T 与 qvBm 联立得：T 2Rv v2R 2mqB 即离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关。 离子在图甲所示的轨迹中运动时间最短： tmin T 14 离子在图乙所示的轨迹中运动时间最长： tmax T 90 360 根据几何知识：cos dRmax 45 则：37 所以 tmintmax 90127 答案：(1) U (