2015-2016学年辽宁省大连市普兰店十中九年级上期中数学试卷.doc

2015-2016 学年辽宁省大连市普兰店十中九年级（上）期中 数学试卷 一、精心选一选（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分每小题给出四个答案，其中 只有一个正确） 1下列命题中，是真命题的为（ ） A锐角三角形都相似 B直角三角形都相似 C等腰三角形都相似 D等边三角形都相似 2如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A当 AB=BC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形 C当ABC=90时，它是矩形 D当 AC=BD 时，它是正方形 3根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+ c 0.06 0.08 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的一个解为 x 的取值范围是（ ） A3x3.23 B 3.23x3.24 C3.24x3.25 D3.25x3.26 4如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，菱形 ABCD 的周长为 36，则 OH 的长等于（ ） A4.5 B 5 C6 D9 5一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的 个数，小刚向其中放入 8 个黑球，黑球和白球除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一 个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球 400 次，其中 80 次摸到黑球，估计盒 中大约有白球（ ） A32 个 B 36 个 C38 个 D40 个 6如图，已知直线 abc，直线 m、n 与直线 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F ，AC=4，CE=6 ，BD=3 ，则 BF=（ ） A7 B 7.5 C8 D8.5 7目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系某校去年上半年发放给每个经济困 难学生 389 元，今年上半年发放了 438 元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x， 则下面列出的方程中正确的是（ ） A438（1+x） 2=389 B 389（1+x ） 2=438C389（1+2x） 2=438D438（1+2x） 2=389 8顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形 9如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 ，则 SADE：S 四边形 BCED 的值为（ ） A1： B 1：2 C1：3 D1：4 10如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，请你把答案填在横线的上方） 11若 （abc0） ，则 = 12学校决定从两名男生和一名女生中选出两名同学作为茂名市的志愿者，则选出一男一 女的概率是 13如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹 竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点距离相距 6m，与树相距 15m，则树的高度为 m 14一元二次方程（a1）x 2ax+a21=0 的一个根为 0，则 a= 15已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2，A 1B1C1=60，对角线 A1C1，B 1D1 相较于点 O，以点 O 为坐标原点，分别以 OA1，OB 1 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系， 以 B1D1 为对角线作菱形 B1C2D1A2菱形 A1B1C1D1，再以 A2C2 为对角线作菱形 A2B2C2D2 菱形 B1C2D1A2，再以 B2D2 为对角线作菱形 B2C3D2A3菱形 A2B2C2D2，按此规律继续 作下去，在 x 轴的正半轴上得到点 A1，A 2，A 3，A n，则点 An 的坐标为 三、解答题（共 3 小题，满分 21 分） 16解方程：x 2+8x20=0 17如图，在 86 的网格图中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和ABC 的顶点均为小 正方形的顶点 （1）以点 O 为位似中心，在网格图中作与 ABC 位似的ABC，使ABC与ABC 的 相似比为 1：2 （2）求四边形 AACC的周长 18小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有 3 张背面完全相同，牌面标有数字 1、2、3 的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放 回后洗匀再随机抽出一张 （1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种） ，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现 的所有结果； （2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为 偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 四、沉着冷静，缜密思考（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 19已知方程 x26x+c=0 （1）当此方程有两个不相等的实数根时，求 c 的取值范围； （2）若 3+ 是方程的一个根，求方程的另一个根及 c 的值 20如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在 E 点位置， AE=60cm如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位 置 （1）求证：BEF CDF； （2）求 CF 的长 五、满怀信心，再接再厉（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 2 分） 21写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程 命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形 已知：如图， 求证： 证明： 22如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC，AF 与 CE 的延长线相交于点 F，连接 BF （1）求证：四边形 AFBD 是平行四边形； （2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）： 当ABC 满足条件 AB=AC 时，四边形 AFBD 是 形； 当ABC 满足条件 时，四边形 AFBD 是正方形 23一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买 树苗不超过 60 棵，每棵售价 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这 批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公 司支付树苗款 8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 六、灵动智慧，超越自我（本大题共 2 小题，每小题分，共 16 分） 24如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成 矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上 （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？ 25已知：如图，在 RtACB 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s） （0t2） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQBC； （2）设AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时 t 的值；若不存在，说明理由； （4）如图 ，连接 PC，并把PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一 时刻 t，使四边形 PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 2015-2016 学年辽宁省大连市普兰店十中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分每小题给出四个答案，其中 只有一个正确） 1下列命题中，是真命题的为（ ） A锐角三角形都相似 B直角三角形都相似 C等腰三角形都相似 D等边三角形都相似 【考点】相似三角形的判定 【专题】常规题型 【分析】可根据相似三角形的判定方法进行解答 【解答】解：A、锐角三角形的三个内角都小于 90，但不一定都对应相等，故 A 选项错 误； B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故 B 选项错误； C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故 C 选项错误； D、所有的等边三角形三个内角都对应相等（都是 60） ，所以它们都相似，故 D 选项正确； 故选：D 【点评】此题考查的是相似三角形的判定方法需注意的是绝对相似的三角形大致有三种： 全等三角形； 等腰直角三角形； 等边三角形 2如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A当 AB=BC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形 C当ABC=90时，它是矩形 D当 AC=BD 时，它是正方形 【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定 【专题】证明题 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一 个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形 【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 ABCD 是平行四边形， 当 AB=BC 时，它是菱形，故 A 选项正确； B、四边形 ABCD 是平行四边形， BO=OD， ACBD，AB 2=BO2+AO2，AD 2=DO2+AO2， AB=AD，四边形 ABCD 是菱 形，故 B 选项正确； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 AC=BD 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误； 综上所述，符合题意是 D 选项； 故选：D 【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判 定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错 3根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+ c 0.06 0.08 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的一个解为 x 的取值范围是（ ） A3x3.23 B 3.23x3.24 C3.24x3.25 D3.25x3.26 【考点】图象法求一元二次方程的近似根 【分析】根据函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点就是方程 ax2+bx+c=0 的根，再根据函 数的增减性即可判断方程 ax2+bx+c=0 一个解的范围 【解答】解：函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根， 函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点的纵坐标为 0； 由表中数据可知：y=0 在 y=0.03 与 y=0.09 之间， 对应的 x 的值在 3.25 与 3.26 之间，即 3.25x3.26 故选：D 【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一掌 握函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点与方程 ax2+bx+c=0 的根的关系是解决此题的关 键 4如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，菱形 ABCD 的周长为 36，则 OH 的长等于（ ） A4.5 B 5 C6 D9 【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理 【分析】可先求得 AB 的长，再根据三角形中位线定理可求得 OH 的长 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，且周长为 36， AB=BC=CD=AD=9， 又 O 为 BD 中点，H 为 AD 的中点， OH 为 ABD 的中位线， OH= AB=4.5， 故选 A 【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直平分是解题的 关键 5一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的 个数，小刚向其中放入 8 个黑球，黑球和白球除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一 个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球 400 次，其中 80 次摸到黑球，估计盒 中大约有白球（ ） A32 个 B 36 个 C38 个 D40 个 【考点】利用频率估计概率 【分析】可根据“黑球数量 黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数 =黑球个数+白球个数“， “黑球所占比例=随机摸到的黑球次数总共摸球的次数” 【解答】解：设盒子里有白球 x 个， 根据 得： ， 解得：x=32 经检验得 x=32 是方程的解 故选 A 【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根 6如图，已知直线 abc，直线 m、n 与直线 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F ，AC=4，CE=6 ，BD=3 ，则 BF=（ ） A7 B 7.5 C8 D8.5 【考点】平行线分线段成比例 【分析】由直线 abc，根据平行线分线段成比例定理，即可得 ，又由 AC=4，CE=6，BD=3 ，即可求得 DF 的长，则可求得答案 【解答】解：ab c， ， AC=4，CE=6，BD=3 ， ， 解得：DF= ， BF=BD+DF=3+ =7.5 故选：B 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理题目比较简单，解题的关键是注意数形结 合思想的应用 7目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系某校去年上半年发放给每个经济困 难学生 389 元，今年上半年发放了 438 元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x， 则下面列出的方程中正确的是（ ） A438（1+x） 2=389 B 389（1+x ） 2=438C389（1+2x） 2=438D438（1+2x） 2=389 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】先用含 x 的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今 年上半年发放的钱数，令其等于 438 即可列出方程 【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x，则去年下半年发放给每个经济 困难学生 389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生 389（1+x） 2 元， 由题意，得：389（1+x） 2=438 故选 B 【点评】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化 率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b 8顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形 【考点】中点四边形 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得 EF=GH= AC，FG=EH= BD，再根据 矩形的对角线相等可得 AC=BD，从而得到四边形 EFGH 的四条边都相等，然后根据四条 边都相等的四边形是菱形解答 【解答】解：如图，连接 AC、BD， E、 F、 G、H 分别是矩形 ABCD 的 AB、BC 、CD、AD 边上的中点， EF=GH= AC，FG=EH= BD（三角形的中位线等于第三边的一半） ， 矩形 ABCD 的对角线 AC=BD， EF=GH=FG=EH， 四边形 EFGH 是菱形 故选 C 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三 角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键 9如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 ，则 SADE：S 四边形 BCED 的值为（ ） A1： B 1：2 C1：3 D1：4 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得ADEACB，再由 相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案 【解答】解：在ADE 与ACB 中， ， ADEACB， SADE： SACB=（AE：AB） 2=1：4， SADE： S 四边形 BCED=1：3 故选 C 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质注意相似三角形的面积的比等于相似比的 平方 10如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】先找出图中的相似三角形，再根据相似比计算出各图形面积，然后计算 【解答】解：设 AC 与 DM 的交点为 G， AMGCDG，AM= AB= CD AG= CG AMC 的面积为 SAMG= S 阴影 =SADM+SACM2SAMG S 阴影 = + = 因此图中的阴影部分的面积是 ； 故选：B 【点评】本题较复杂，考查了相似三角形，正方形等相关知识 二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，请你把答案填在横线的上方） 11若 （abc0） ，则 = 【考点】比例的性质 【专题】计算题 【分析】先设 =k，可得 a=2k，b=3k，c=5k，再把 a、b、c 的值都代入所求式子计 算即可 【解答】解：设 =k，那么 a=2k，b=3k，c=5k， = = 故答案是： 【点评】本题考查了比例的性质解题的关键是先假设 =k，得出 a=2k，b=3k，c=5k，降低计算难度 12学校决定从两名男生和一名女生中选出两名同学作为茂名市的志愿者，则选出一男一 女的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女 的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，选出一男一女的有 4 种情况， 选出一男一女的概率是： = 故答案为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总 情况数之比 13如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹 竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点距离相距 6m，与树相距 15m，则树的高度为 7 m 【考点】相似三角形的应用 【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形， 利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度 【解答】解：如图； AD=6m，AB=21m，DE=2m； 由于 DEBC，所以ADEABC，得： ，即 ， 解得：BC=7m， 故答案为：7 【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角 形，并建立适当的数学模型来解决问题 14一元二次方程（a1）x 2ax+a21=0 的一个根为 0，则 a= 1 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=0 代入已知方程列出关于 a 的新方程，通过解新方程求得 a 的值注意： a10 【解答】解：把 x=0 代入（a1）x 2ax+a21=0，得 a21=0， 解得 a=1 又 a10，即 a1， a=1 故答案是：1 【点评】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是 能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 15已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2，A 1B1C1=60，对角线 A1C1，B 1D1 相较于点 O，以点 O 为坐标原点，分别以 OA1，OB 1 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系， 以 B1D1 为对角线作菱形 B1C2D1A2菱形 A1B1C1D1，再以 A2C2 为对角线作菱形 A2B2C2D2 菱形 B1C2D1A2，再以 B2D2 为对角线作菱形 B2C3D2A3菱形 A2B2C2D2，按此规律继续 作下去，在 x 轴的正半轴上得到点 A1，A 2，A 3，A n，则点 An 的坐标为 （3 n1，0） 【考点】相似多边形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质 【专题】规律型 【分析】先根据菱形的性质求出 A1 的坐标，根据勾股定理求出 OB1 的长，再由锐角三角 函数的定义求出 OA2 的长，故可得出 A2 的坐标，同理可得出 A3 的坐标，找出规律即可得 出结论 【解答】解：菱形 A1B1C1D1 的边长为 2， A1B1C1=60， OA1=A1B1sin30=2 =1，OB 1=A1B1cos30=2 = ， A1（1 ，0） B1C2D1A2菱形 A1B1C1D1， OA2= = =3， A2（3 ，0） 同理可得 A3（9，0） An（3 n1，0） 故答案为：（3 n1，0） 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关 键 三、解答题（共 3 小题，满分 21 分） 16解方程：x 2+8x20=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】方程利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程分解得：（x2） （x+10）=0， 可得 x2=0 或 x+10=0， 解得：x 1=2，x 2=10 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键 17如图，在 86 的网格图中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和ABC 的顶点均为小 正方形的顶点 （1）以点 O 为位似中心，在网格图中作与 ABC 位似的ABC，使ABC与ABC 的 相似比为 1：2 （2）求四边形 AACC的周长 【考点】作图相似变换 【分析】 （1）利用位似图形的性质得出 A，B ，C的位置，进而得出答案； （2）利用勾股定理求出各边长即可得出答案 【解答】解：（1）如图所示： （2）由题意可得出：AA= AO= ， CC= CO= = ， 四边形 AACC 的周长= + +6 【点评】此题主要考查了作位似图形以及勾股定理的应用，利用位似比得出对应点的位置 是解题关键 18小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有 3 张背面完全相同，牌面标有数字 1、2、3 的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放 回后洗匀再随机抽出一张 （1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种） ，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现 的所有结果； （2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为 偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 （1）根据题意直接列出树形图或列表即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有 50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数 字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论 【解答】解：（1）列表法如下： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 树形图如下： （2）不公平 理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况： 1+1=2； 2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6 共 9 种情况， 其中 5 个偶数，4 个奇数 即小昆获胜的概率为 ，而小明的概率为 ， ， 此游戏不公平 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概 率相等就公平，否则就不公平 四、沉着冷静，缜密思考（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 19已知方程 x26x+c=0 （1）当此方程有两个不相等的实数根时，求 c 的取值范围； （2）若 3+ 是方程的一个根，求方程的另一个根及 c 的值 【考点】根的判别式 【分析】 （1）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解不等式得出即可； （2）将 x=3+ 代入，进而求出 c 的值，进而得出方程的解 【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 x26x+c=0 有两个不相等的实数根， b24ac=364c0， 解得：c9； （2）x=3+ 是此方程的一个根， 代入方程得：16+6 6（3+ ）+c=0， 解得：c=2， 原方程为：x 26x+2=0， 解得：x 1=3+ ，x 2=3 ， 方程的另一个根为 3 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系 得出方程与不等式是解题关键 20如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在 E 点位置， AE=60cm如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位 置 （1）求证：BEF CDF； （2）求 CF 的长 【考点】相似三角形的应用 【专题】几何综合题 【分析】 （1）利用“两角法” 证得这两个三角形相似； （2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段 CF 的长度 【解答】 （1）证明：如图，在矩形 ABCD 中：DFC= EFB，EBF= FCD=90， BEFCDF； （2）解：由（1）知，BEFCDF = ，即 = ， 解得：CF=169 即：CF 的长度是 169cm 【点评】本题考查了相似三角形的应用此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所 求线段 CF 与已知线段间的数量关系的 五、满怀信心，再接再厉（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 2 分） 21写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程 命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形 已知：如图， 在ABCD 中，对角线 AC 平分DAB （或DCB） 求证： ABCD 是菱形 证明： 【考点】菱形的判定 【专题】证明题 【分析】把原命题的题设作为已知，把原命题的结论作为求证即可，再根据根据一条对角 线平分一个内角，则有这两个角相等根据两直线平行内错角相等，得出一个三角形两个 内角相等，即两边相等，根据菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即证 【解答】命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是 菱形 已知：在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 DAB（或DCB） 求证：四边形 ABCD 是菱形， 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC DAC=BCA 对角线 AC 平分 DAB， DAC=BAC BCA=BAC BA=BC 四边形 ABCD 是菱形 【点评】此题主要考查菱形的判定方法，解题的关键是熟记各种菱形的各种判定方法 22如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC，AF 与 CE 的延长线相交于点 F，连接 BF （1）求证：四边形 AFBD 是平行四边形； （2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）： 当ABC 满足条件 AB=AC 时，四边形 AFBD 是 矩 形； 当ABC 满足条件 AB=AC，BAC=90 时，四边形 AFBD 是正方形 【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定 【专题】几何综合题 【分析】 （1）要证明四边形 AFBD 是平行四边形一组对边平行且相等； （2） 矩形的对角线相等， 正方形对角线相等且垂直 【解答】解：（1）E 是 AD 中点AE=DE ， AFBC，AFE= DCE， AEF=DEC， AEFDECAF=DC， D 是 BC 中点，BD=DC，AF=BD ， 又 AFBC，即 AFBD， 四边形 AFBD 是平行四边形； （2） 矩形， AB=AC，BAC=90 【点评】本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心 23一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买 树苗不超过 60 棵，每棵售价 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这 批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公 司支付树苗款 8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】根据设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得：x1200.5（x60）=8800，进而得出即 可 【解答】解：因为 60 棵树苗售价为 120 元60=7200 元 8800 元， 所以该校购买树苗超过 60 棵，设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得： x1200.5（x60 ）=8800 ， 解得：x 1=220，x 2=80 当 x=220 时，120 0.5（22060）=40100， x=220（不合题意，舍去） ； 当 x=80 时，120 0.5（8060）=110100， x=80 答：该校共购买了 80 棵树苗 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过 60 棵，每增 加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元”得出方程是解题关键 六、灵动智慧，超越自我（本大题共 2 小题，每小题分，共 16 分） 24如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成 矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上 （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】 （1）设出边长为 xmm，由正方形的性质得出，PQBC，PNAD ，根据平行线的 性质，可以得出比例关系式， 、 ，代入数据求解即可 （2）设宽为 xmm，则长为 2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况， PQ 可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可 【解答】解：（1）设边长为 xmm， 矩形为正方形， PQBC，PNAD， 根据平行线的性质可以得出： 、 ， 由题意知 PN=x，AD=80，BC=120 ，PQ=x ， 即 ， ， AP+BP=AB， =1， 解得 x=48 答：若这个矩形是正方形，那么边长是 48mm （2）设边宽为 xmm，则长为 2xmm， PNMQ 为矩形， PQBC，PNAD， 根据平行线的性质可以得出： 、 ， PN 为长，PQ 为宽： 由题意知 PN=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=xmm ， 即 ， ， AP+BP=AB， =1， 解得 x=30，2x=60 即长为 60mm，宽为 30mm PN 为宽，PQ 为长： 由题意知 PN=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm ， 即 ， ， AP+BP=AB， =1， 解得 x= ， 2x= 即长为 mm，宽为 mm 答：矩形的长为 60mm，宽是 30mm 或者长为 mm，宽为 mm 【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结 合的运用 25已知：如图，在 RtACB 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s） （0t2） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQBC； （2）设AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时 t 的值；若不存在