2015-2016学年辽宁省葫芦岛市海滨九年一贯制学校九年级上期中数学试卷.doc

2015-2016 学年辽宁省葫芦岛市海滨九年一贯制学校九年级 （上）期中数学试卷 一、选择题（每题 3 分共 30 分） 1下列汽车标志图案中属于中心对称图形的是（ ） A B C D 2用配方法解方程 x2+2x5=0 时，原方程应变形为（ ） A （x+1） 2=6 B （x1） 2=6 C （x+2） 2=9 D （x2） 2=9 3若关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 B k1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 4如果二次函数 y=ax2+bx+c（其中 a、b、c 为常数，a0）的部分图象如图所示，它的对 称轴过点（1，0） ，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个正根可能是（ ） A0.5 B 1.5 C2.5 D3.5 5如图，在方格纸上DEF 是由 ABC 绕定点 P 顺时针旋转得到的如果用（2，1）表示 方格纸上 A 点的位置， （1， 2）表示 B 点的位置，那么点 P 的位置为（ ） A （5，2） B （2，5） C （2，1） D （1，2） 6如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中， 能够与该圆弧相切的是（ ） A点（0，3） B点（ 2，3） C点（5，1） D点（6，1） 7 O 是等边ABC 的外接圆，O 的半径为 2，则等边ABC 的边长为（ ） A B C D 8如图，已知 PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，AC 是O 的直径， P=40，则 BAC 的度数是（ ） A10 B 20 C30 D40 9已知 y=ax+b 的图象如图所示，则 y=ax2+bx 的图象有可能是（ ） A B C D 10如图，AB 是 O 的直径，O 交 BC 的中点于 D，DEAC 于点 E，连接 AD，则下 列结论正确的个数是（ ） ADBC；EDA= B；OA= AC；DE 是 O 的切线 A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本题共 8 个小题，每题 3 分共 24 分） 11一元二次方程 2x2=3x 的根是 12已知：一元二次方程 x26x+c=0 有一个根为 2，则另一根为 13溱湖风景区绿化管理处，为绿化环境，计划经过两年时间，使风景区绿地面积增加 44%， 这两年平均每年绿地面积的增长率是 % 14如图，AOB=100 ，点 C 在O 上，且点 C 不与 A、B 重合，则 ACB 的度数为 15一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与O 等高，如图放置， O 与 BC 相切于点 C，O 与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为 cm 16如图，在 RtABC 中， ACB=90， B=60，BC=2，ABC 可以由ABC 绕点 C 顺 时针旋转得到，其中点 A与点 A 是对应点，点 B与点 B 是对应点，连接 AB，且 A、B、A在同一条直线上，则 AA的长为 17如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b 24ac0；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0你认为其中错误的有 个 18如图，在 RtAOB 中，OA=OB=3 ， O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过 点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点） ，则切线 PQ 的最小值为 三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分共 22 分） 19用适当的方法解下列方程 （1）4（x+3） 2=（x1） 2 （2）x 22x8=0 20如图，在正方形网格上有一个ABC （1）作出ABC 关于点 O 的中心对称图形ABC（不写作法，但要标出字母） ； （2）若网格上的最小正方形边长为 1，求出ABC的面积 四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分共 24 分） 21已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 22如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 顺时针旋转ABF 的位置 （1）旋转中心是点 ，旋转角度是 度； （2）若连结 EF，则AEF 是 三角形；并证明； （3）若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2，求 AE 的长 五、解答题（满分 12 分） 23为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入 大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调 查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系： y=2x+80设这种产品每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 六、解答题（满分 12 分） 24如图，已知O 的弦 AB 等于半径，连接 OB 并延长使 BC=OB （1）ABC= （2）AC 与 O 有什么关系？请证明你的结论； （3）在O 上，是否存在点 D，使得 AD=AC？若存在，请画出图形，并给出证明；若不 存在，请说明理由 七、解答题（满分 12 分） 25把一副三角板如下图甲放置，其中ACB=DEC=90 ， A=45，D=30，斜边 AB=6cm，DC=7cm把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D 1CE1（如图乙） 这时 AB 与 CD1 相交于点 O，与 D1E1 相交于点 F （1）求OFE 1 的度数； （2）求线段 AD1 的长 八、解答题（满分 14 分） 26如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴 的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直 线 AC 交抛物线于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D ，M，N 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年辽宁省葫芦岛市海滨九年一贯制学校九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 3 分共 30 分） 1下列汽车标志图案中属于中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解 【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转 180后能和原来的图形重合， A、B、C 都不符合； 是中心对称图形的只有 D 故选 D 【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 2用配方法解方程 x2+2x5=0 时，原方程应变形为（ ） A （x+1） 2=6 B （x1） 2=6 C （x+2） 2=9 D （x2） 2=9 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】把常数项5 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 【解答】解：由原方程，得 x2+2x=5， x2+2x+1=5+1， （x+1） 2=6 故选：A 【点评】本题考查了配方法解方程配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的 倍数 3若关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 B k1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于 k 的不等式组，求出 k 的取值范 围即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根， ，即 ， 解得 k1 且 k0 故选 B 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的 关键 4如果二次函数 y=ax2+bx+c（其中 a、b、c 为常数，a0）的部分图象如图所示，它的对 称轴过点（1，0） ，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个正根可能是（ ） A0.5 B 1.5 C2.5 D3.5 【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系 【分析】已知抛物线与 x 轴的负半轴的交点位置，根据抛物线的对称性得出抛物线与 x 轴 正半轴的交点位置，要求会估算 【解答】解：抛物线的对称轴为 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（ 3.5，0） ， 抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（1.5，0） ， 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个正根可能是 1.5 故选 B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题充分利用抛物线的对称性是解题的关键 5如图，在方格纸上DEF 是由 ABC 绕定点 P 顺时针旋转得到的如果用（2，1）表示 方格纸上 A 点的位置， （1， 2）表示 B 点的位置，那么点 P 的位置为（ ） A （5，2） B （2，5） C （2，1） D （1，2） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【专题】压轴题 【分析】如图，分别连接 AD、CF，然后作它们的垂直平分线即可得到它们的旋转中心 P，然后利用已知坐标即可求出 P 的坐标 【解答】解：如图，分别连接 AD、CF，然后作它们的垂直平分线，它们交于 P 点，则它 们旋转中心为 P， 根据图形知道ABC 绕 P 点顺时针旋转 90得到 DEF， P 的坐标为（5，2） 故选 A 【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心 P，旋 转方向顺时针，旋转角度 90，通过画图即可得 P 点坐标 6如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中， 能够与该圆弧相切的是（ ） A点（0，3） B点（ 2，3） C点（5，1） D点（6，1） 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理 【专题】压轴题；网格型 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出， OBD+EBF=90时 F 点的位置即可 【解答】解：连接 AC，作 AC，AB 的垂直平分线，交格点于点 O，则点 O就是 所在 圆的圆心， 三点组成的圆的圆心为：O（2，0） ， 只有 OBD+EBF=90时， BF 与圆相切， 当 BODFBE 时， EF=BD=2， F 点的坐标为：（5，1） ， 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1） 故选：C 【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出BOD FBE 时，EF=BD=2，即得出 F 点的坐标是解决问题的关键 7 O 是等边ABC 的外接圆，O 的半径为 2，则等边ABC 的边长为（ ） A B C D 【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质 【分析】首先连接 OB，OC，过点 O 作 ODBC 于 D，由 O 是等边ABC 的外接圆，即 可求得OBC 的度数，然后由三角函数的性质即可求得 OD 的长，又由垂径定理即可求得 等边ABC 的边长 【解答】解：连接 OB，OC，过点 O 作 ODBC 于 D， BC=2BD， O 是等边 ABC 的外接圆， BOC= 360=120， OB=OC， OBC=OCB= = =30， O 的半径为 2， OB=2， BD=OBcosOBD=2cos30=2 = ， BC=2BD=2 等边 ABC 的边长为 2 故选 C 【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识此题 难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法 8如图，已知 PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，AC 是O 的直径， P=40，则 BAC 的度数是（ ） A10 B 20 C30 D40 【考点】切线的性质；圆周角定理 【专题】压轴题 【分析】连接 BC，OB，根据圆周角定理先求出C，再求 BAC 【解答】解：连接 BC，OB， AC 是直径，则ABC=90， PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，则 OAP=OBP=90， AOB=180 P=140， 由圆周角定理知，C= AOB=70， BAC=90C=20 故选 B 【点评】本题利用了直径对的圆周角是直角，切线的概念，圆周角定理，四边形内角和定 理求解 9已知 y=ax+b 的图象如图所示，则 y=ax2+bx 的图象有可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系 【专题】压轴题；数形结合 【分析】根据一次函数的性质得到 a0，b0，再根据二次函数的性质得到抛物线开口向 上，抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，抛物线过原点，由此可得到正确答案 【解答】解：y=ax+b 的图象过第一、三、四象限， a0，b0， 对于 y=ax2+bx 的图象， a0， 抛物线开口向上， x= 0， 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， c=0， 抛物线过原点 故选 D 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象 为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x= ；抛物线与 y 轴的交点坐标 为（0，c） 也考查了一次函数的性质 10如图，AB 是 O 的直径，O 交 BC 的中点于 D，DEAC 于点 E，连接 AD，则下 列结论正确的个数是（ ） ADBC；EDA= B；OA= AC；DE 是 O 的切线 A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；弦切角定理 【专题】压轴题 【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断 【解答】解：AB 是直径， ADB=90， ADBC，故正确； 连接 DO， 点 D 是 BC 的中点， CD=BD， ACDABD（SAS ） ， AC=AB，C=B， OD=OB， B=ODB， ODB=C，ODAC， ODE=CED， ED 是圆 O 的切线，故正确； 由弦切角定理知，EDA= B，故正确； 点 O 是 AB 的中点，故 正确， 故选 D 【点评】本题利用了平行线的判定，弦切角定理，全等三角形的判定和性质，切线的概念， 中点的性质求解 二、填空题（本题共 8 个小题，每题 3 分共 24 分） 11一元二次方程 2x2=3x 的根是 x 1=0，或 x2= 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】移项得 2x23x=0，把方程的左边分解因式得 2x23x=0，使每个因式等于 0，就 得到两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：2x 2=3x， 2x23x=0， x（2x3）=0， 2x23x=0x=0 或 2x3=0， x1=0 或 x2= ， 故答案为：x 1=0 或 x2= 【点评】本题主要考查对解一元二次方程因式分解法的理解和掌握，能把一元二次方程 转化成一元一次方程是解此题的关键 12已知：一元二次方程 x26x+c=0 有一个根为 2，则另一根为 4 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】设方程另一根为 t，根据根与系数的关系得到 2+t=6，然后解一次方程即可 【解答】解：设方程另一根为 t， 根据题意得 2+t=6， 解得 t=4 故答案为 4 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的根与系数的关系：若方程的两根 为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 13溱湖风景区绿化管理处，为绿化环境，计划经过两年时间，使风景区绿地面积增加 44%， 这两年平均每年绿地面积的增长率是 20 % 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】设两年平均每年绿地面积的增长率是 x，原来的景区绿地面积为 1，那么经过第一 年景区绿地面积为（1+x） ，再过一年景区绿地面积为（1+x） （1+x） ，然后根据风景区绿地 面积增加 44%，即可列出方程解决问题 【解答】解：设两年平均每年绿地面积的增长率是 x， 依题意得（1+x） 2=1+44%， 1+x=1.2， x=0.2=20%或 x=2.2（不合题意，舍去） 答：这两年平均每年绿地面积的增长率是 20% 故填空答案：20% 【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量（1x） 2=现在的量，增 长用+，减少用 14如图，AOB=100 ，点 C 在O 上，且点 C 不与 A、B 重合，则 ACB 的度数为 50或 130 【考点】圆周角定理 【专题】分类讨论 【分析】由于点 2C 的位置不能确定，故应分点 C 在优弧 AB 上和在劣弧 AB 上两种情况 讨论 【解答】解：当点 C1 所示时， AC1B 与AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角， AC1B= AOB= 100=50； 当点 C2 所示时， AC1B=50， AC2B=18050=130 故答案为：50或 130 【点评】本题考查的是圆周角定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解 15一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与O 等高，如图放置， O 与 BC 相切于点 C，O 与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为 3 cm 【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理 【专题】几何图形问题 【分析】连接 OC，并过点 O 作 OFCE 于 F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等 于底边的 倍已知边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与O 等高，说明O 的半径为 ， 即 OC= ，又 ACB=60，故有OCF=30，在 RtOFC 中，可得出 FC 的长，利用垂径 定理即可得出 CE 的长 【解答】解：连接 OC，并过点 O 作 OFCE 于 F， 且ABC 为等边三角形，边长为 4， 故高为 2 ，即 OC= ， 又ACB=60，故有 OCF=30， 在 RtOFC 中，可得 FC=OCcos30= ， OF 过圆心，且 OFCE，根据垂径定理易知 CE=2FC=3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识题 目不是太难，属于基础性题目 16如图，在 RtABC 中， ACB=90， B=60，BC=2，ABC 可以由ABC 绕点 C 顺 时针旋转得到，其中点 A与点 A 是对应点，点 B与点 B 是对应点，连接 AB，且 A、B、A在同一条直线上，则 AA的长为 6 【考点】旋转的性质 【分析】利用直角三角形的性质得出 AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得 出 AB=2，进而得出答案 【解答】解：在 RtABC 中， ACB=90， B=60，BC=2， CAB=30，故 AB=4， ABC由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点 A与点 A 是对应点，点 B与点 B 是对 应点，连接 AB，且 A、B 、 A在同一条直线上， AB=AB=4，AC=AC， CAA=A=30， ACB=BAC=30， AB=BC=2， AA=2+4=6， 故答案为 6 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出 AB=BC=1是解 题关键，此题难度不大 17如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b 24ac0；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0你认为其中错误的有 1 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】计算题；压轴题 【分析】由抛物线的图象可得：抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点，与 y 轴的交点在 0 到 1 之间，对称轴在1 到 0 之间，且 x=1 时，对应的函数值小于 0，对四个选项进行判 断，即可得到错误选项的个数 【解答】解：由图象可知：抛物线与 x 轴交于两个点， b2 4ac0，选项（1）正确； 由函数图象可得 0c1，选项（2）错误； 由抛物线的对称轴的位置可得：1 0， 又抛物线开口向下，a0， 不等式1 变形得：2ab，即 2ab0， 选项（3）正确； 由函数图象可得：当 x=1 时对应的函数值小于 0，即 a+b+c0， 选项（4）正确， 其中错误的选项为（2） ，共 1 个 故答案为：1 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，a 由抛物 线的开口方向决定；c 由抛物线与 y 轴交点位置决定；b 的符合由 a 及对称轴的位置共同决 定，抛物线与 x 轴交点的个数由根的判别式 b24ac 来决定，此外可以由抛物线上特殊点 对应的函数值的正负来决定所求式子的正确与否，比如出现判断 a+b+c 的正负，即要找 x=1 时的函数值的正负，判断 ab+c 的正负即要找 x=1 时的函数值的正负 18如图，在 RtAOB 中，OA=OB=3 ， O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过 点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点） ，则切线 PQ 的最小值为 2 【考点】切线的性质；等腰直角三角形 【专题】压轴题 【分析】首先连接 OP、OQ，根据勾股定理知 PQ2=OP2OQ 2，可得当 OPAB 时，即线 段 PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案 【解答】解：连接 OP、OQ PQ 是 O 的切线， OQPQ； 根据勾股定理知 PQ2=OP2OQ 2， 当 POAB 时，线段 PQ 最短， 在 RtAOB 中，OA=OB=3 ， AB= OA=6， OP= =3， PQ= = =2 故答案为：2 【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中， 注意掌握辅助线的作法，注意得到当 POAB 时，线段 PQ 最短是关键 三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分共 22 分） 19用适当的方法解下列方程 （1）4（x+3） 2=（x1） 2 （2）x 22x8=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】 （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：（1）4（x+3） 2=（x1） 2， 开方得：2（x+3）= （x1） ， 2（x+3）=+（x1） ，2（x+3）=（x1） ， x1=7，x 2= ； （2）x 22x8=0， （x4） （x+2）=0 ， x4=0，x+2=0， x1=4，x 2=2 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解 此题的关键 20如图，在正方形网格上有一个ABC （1）作出ABC 关于点 O 的中心对称图形ABC（不写作法，但要标出字母） ； （2）若网格上的最小正方形边长为 1，求出ABC的面积 【考点】作图-旋转变换 【分析】 （1）直接利用关于点对称的性质得出得出 A、B、C 的位置进而得出； （2）直接利用ABC所在矩形面积减去周围三角形的面积进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示：ABC即为所求； （2）如图所示：ABC的面积为： 32 12 13 12 =2.5 【点评】此题主要考查了旋转变换以及三角形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题 关键 四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分共 24 分） 21已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 【考点】一元二次方程的应用 【专题】代数几何综合题 【分析】 （1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断ABC 的 形状； （2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断ABC 的形状； （3）利用ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 【解答】解：（1）ABC 是等腰三角形； 理由：x=1 是方程的根， （ a+c） （1） 22b+ （ac）=0， a+c2b+a c=0 ， ab=0， a=b， ABC 是等腰三角形； （2）方程有两个相等的实数根， （ 2b） 24（a+c ） （a c ）=0 ， 4b24a 2+4c2=0， a2=b2+c2， ABC 是直角三角形； （3）当ABC 是等边三角形，（a+c）x 2+2bx+（a c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， x2+x=0， 解得：x 1=0，x 2=1 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识， 正确由已知获取等量关系是解题关键 22如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 顺时针旋转ABF 的位置 （1）旋转中心是点 A ，旋转角度是 90 度； （2）若连结 EF，则AEF 是 等腰直角 三角形；并证明； （3）若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2，求 AE 的长 【考点】旋转的性质 【分析】 （1）根据旋转变换的定义，即可解决问题 （2） ）根据旋转变换的定义，即可解决问题 （3）根据旋转变换的定义得到ADEABF，进而得到 S 四边形 AECF=S 正方形 ABCD=25，求 出 AD 的长度，即可解决问题 【解答】解：（1）如图，由题意得： 旋转中心是点 A，旋转角度是 90 度 故答案为 A、90 （2）由题意得：AF=AE，EAF=90， AEF 为等腰直角三角形 故答案为等腰直角 （3）由题意得：ADEABF， S 四边形 AECF=S 正方形 ABCD=25， AD=5，而D=90，DE=2， 【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应 用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识， 这是灵活运用、解题的基础和关键 五、解答题（满分 12 分） 23为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入 大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调 查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系： y=2x+80设这种产品每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】 （1）根据销售额=销售量销售单价，列出函数关系式； （2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； （3）把 y=150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的值 【解答】解：（1）由题意得出： w=（x 20）y =（x20） （2x+80 ） =2x 2+120x1600， 故 w 与 x 的函数关系式为： w=2x 2+120x1600； （2）w= 2x 2+120x1600=2（x30） 2+200， 2 0， 当 x=30 时，w 有最大值w 最大值为 200 答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元 （3）当 w=150 时，可得方程2（x30） 2+200=150 解得 x1=25，x 2=35 3528 ， x2=35 不符合题意，应舍去 答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元 【点评】本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的 性质解决问题 六、解答题（满分 12 分） 24如图，已知O 的弦 AB 等于半径，连接 OB 并延长使 BC=OB （1）ABC= 120 （2）AC 与 O 有什么关系？请证明你的结论； （3）在O 上，是否存在点 D，使得 AD=AC？若存在，请画出图形，并给出证明；若不 存在，请说明理由 【考点】圆的综合题 【分析】 （1）易证ABO 是等边三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）AC 是 O 的切线 OAB 为等边三角形，则 OAB=60，然后根据等腰三角形的性 质：等边对等角，即可求得BAC 的度数，从而求得OAC=90，从而证得 AC 是O 的 切线； （3）延长 BO 交 O 于点 D，即为所求的点，利用 ASA 证明：CAO DAB 即可证得 【解答】解：（1）120； （2）AC 是 O 的切线； 证明：AB=OB=OA， OAB 为等边三角形， OBA=AOB=60OA=OB=BA， BC=BO， BC=BA， C=CAB， 又OBA=C+ CAB=2C， 即 2C=60， C=30 在OAC 中，O+C=60+30=90 ， OAC=90， AC 是O 的切线； （3）存在 如图 2，延长 BO 交 O 于点 D，即为所求的点 证明如下： 连接 AD，BD 为直径， DAB=90 在CAO 和 DAB 中， ， CAODAB（ASA） ， AC=AD 【点评】本题考查了切线的判定以及三角形的全等的判定与性质，切线的判定常用的方法 是转化成证明垂直的问题 七、解答题（满分 12 分） 25把一副三角板如下图甲放置，其中ACB=DEC=90 ， A=45，D=30，斜边 AB=6cm，DC=7cm把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D 1CE1（如图乙） 这时 AB 与 CD1 相交于点 O，与 D1E1 相交于点 F （1）求OFE 1 的度数； （2）求线段 AD1 的长 【考点】旋转的性质；勾股定理 【专题】代数几何综合题 【分析】 （1）如图所示，3=15，E 1=90， 1=2=75，所以，可得OFE 1=B+1=45 +75=120； （2）由OFE 1=120，得D 1FO=60，所以 4=90，由 AC=BC，AB=6cm，得 OA=OB=OC=3cm，所以，OD 1=CD1OC=73=4cm，在 RtAD1O 中， AD1= = =5cm 【解答】解：（1）如图所示， 3=15， E1=90， 1=2=75， 又B=45， OFE1=B+1=45+75=120； （2）OFE 1=120， D1FO=60， C D1E1=30， 4=90， 又 AC=BC，AB=6cm， OA=OB=3cm， ACB=90