2015-2016学年辽宁省鞍山市台安县九年级上期中数学试卷.doc

2015-2016 学年辽宁省鞍山市台安县九年级（上）期中数学 试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1一元二次方程 x（x1）=0 的根为（ ） Ax 1=0，x 2=1 B x1=0，x 2=1 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=1，x 2=2 2一元二次方程（1k）x 22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 B k2 Ck2 且 k1 Dk2 且 k1 3如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为（ ） A2 B 4 C6 D8 4如图，AB 是 O 的直径，若 BAC=35，则ADC=（ ） A35 B 55 C70 D110 5点 A（2，y 1） ，B（3，y 2）是二次函数 y=x22x+1 的图象上两点，则 y1 与 y2 大大小关系 为（ ） Ay 1y 2 B y1=y2 Cy 1y 2 D无法判断 6如图，在ABC 中， CAB=70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到 ABC的位 置，使得 CCAB，则 BAB=（ ） A30 B 35 C40 D50 7如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，图象经过（3，0） ， 下列结论中，正确的一项是（ ） Aabc0 B 2a+b0 Ca b+c0 D4acb 20 8如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A 2，A n 分别是正方形的 中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） An B n1 C （ ） n1 D n 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9已知关于 x 的方程 x2+mx6=0 的一个根为 2，则这个方程的另一个根是 10已知关于 x 的方程 x2+bx+a=0 有一个根是 a（a0） ，则 ab 的值为 11如图，DEF 是由ABC 绕某点旋转得到的，则这点的坐标是 12已知点 A（2a+2，3）与点 B（0，3b+6）关于坐标原点对称，则 a+b 的值是 13如图，已知圆周角ACB 的度数为 100，则圆周角D 的度数等于 14如图，AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，AOC=40，D 是 BC 弧的中点，则 ACD= 15已知点（3，2） ， （ 1，2 ）在二次函数 y=x24x1 的图象上，则此二次函数图象的顶点 坐标为 16已知二次函数 y=x23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 的两实数根是 三、解答题（共 10 小题，满分 102 分） 17用配方法解方程：2x 24x+1=0 18已知 x1、x 2 是方程 x22（ k+1）x+k 2+2=0 的另个实数根，且（x 1+1） （x 2+1）=8求 k 的值 19如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，4） ， 请解答下列各问题： （1）画出ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1，并写出 A1 的坐标； （2）画出A 1B1C1 绕原点 O 旋转 180后得到的A 2B2C2，并写出点 A2 的坐标； （3）画出的A 1B1C1 和 A2B2C2 有什么样的位置关系？ 20如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA=3，PB=4，PC=5 ，若将 APB 绕着点 B 逆时针旋转后得到CQB （1）求点 P 与点 Q 之间的距离 （2）求APB 的度数 21如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接 AC、OC、BC （1）求证：ACO=BCD ； （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径 22如图，平行四边形 ABCD 中，AB=4，点 D 的坐标是（0，8） ，以点 C 为顶点的抛物 线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴上的点 A，B （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点 D，求平移后抛物线的解析式 23某超市去年 12 月份的销售额为 100 万元，今年 2 月份的销售额比今年 1 月份的销售额 多 24 万元，若去年 12 月份到今年 2 月份每个月销售额增长的百分数相同 求：（1）这个相同的百分数； （2）2 月份的销售额 24某公司销售一种进价为每个 20 元的计算器，其销售量 y（万个）与销售价格 x（元） 的变化如表： 价格 x/元 30 40 50 60 销售量 y/万 个 5 4 3 2 同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计 40 万元 （1）观察并分析表中的 x 与 y 之间对应关系，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识 写出 y（万个）与 x（元）的函数表达式 （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万元）与销售价格 x（元）的函数表达式， 并说明销售价格定为多少元时，净利润最大？最大值是多少？ 25已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A，将正方形 AEFG 绕点 A 旋转 （1）发现：当 E 点旋转到 DA 的延长线上时（如图 1） ， ABE 与ADG 的面积关系是： （2）引申：当正方形 AEFG 旋转任意一个角度时（如图 2） ，ABE 与ADG 的面积关系 是： 并证明你的结论 （3）运用：已知ABC，AB=5cm ，BC=3cm ，分别以 AB、BC 、CA 为边向外作正方形 （如图 3） ，则图中阴影部分的面积和的最大值是 cm 2 26如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，B，C，已知点 A（1，0） ，点 C（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 D，当 BDC 的面积最 大时，求点 P 的坐标； （3）设 E 是抛物线上的一点，在 x 轴上是否存在点 F，使得 A，C，E，F 为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，求点 E，F 的坐标；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年辽宁省鞍山市台安县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1一元二次方程 x（x1）=0 的根为（ ） Ax 1=0，x 2=1 B x1=0，x 2=1 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=1，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求 解 【解答】解：x（x1）=0 ， 可得 x=0 或 x1=0， 解得：x 1=0，x 2=1 故选 B 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边 化为 0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两 个一元一次方程来求解 2一元二次方程（1k）x 22x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 B k2 Ck2 且 k1 Dk2 且 k1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于 0，建立关于 k 的不等 式组，求出 k 的取值范围 【解答】解：a=1 k，b=2， c=1，方程有两个不相等的实数根 =b24ac=4+4（1k）=8 4k0 k 2 又 一元二次方程的二次项系数不为 0，即 k1 k 2 且 k1 故选 C 【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 2、一元二次方程的二次项系数不为 0 3如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为（ ） A2 B 4 C6 D8 【考点】垂径定理；勾股定理 【专题】计算题 【分析】根据 CE=2，DE=8 ，得出半径为 5，在直角三角形 OBE 中，由勾股定理得 BE， 根据垂径定理得出 AB 的长 【解答】解：CE=2，DE=8， OB=5， OE=3， ABCD， 在 OBE 中，得 BE=4， AB=2BE=8 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握 4如图，AB 是 O 的直径，若 BAC=35，则ADC=（ ） A35 B 55 C70 D110 【考点】圆周角定理 【分析】先根据圆周角定理求出ACB=90，再由三角形内角和定理得出ABC 的度数， 根据圆周角定理即可得出结论 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB=90， BAC=35， ABC=1809035=55， ADC=ABC=55 故选 B 【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是 180这 一隐含条件 5点 A（2，y 1） ，B（3，y 2）是二次函数 y=x22x+1 的图象上两点，则 y1 与 y2 大大小关系 为（ ） Ay 1y 2 B y1=y2 Cy 1y 2 D无法判断 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点 A、B 的横坐标 的大小即可判断出 y1 与 y2 的大小关系 【解答】解：二次函数 y=x22x+1 的图象的对称轴是 x=1， 在对称轴的右面 y 随 x 的增大而增大， 点 A（ 2，y 1） 、B （3，y 2）是二次函数 y=x22x+1 的图象上两点， 23， y1 y2 故选 C 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数 的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键 6如图，在ABC 中， CAB=70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到 ABC的位 置，使得 CCAB，则 BAB=（ ） A30 B 35 C40 D50 【考点】旋转的性质 【分析】旋转中心为点 A，B 与 B，C 与 C分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角 BAB=CAC，AC=AC，再利用平行线的性质得CCA= CAB，把问题转化到等腰 ACC中，根据内角和定理求CAC 【解答】解：CCAB，CAB=70， CCA=CAB=70， 又 C、C为对应点，点 A 为旋转中心， AC=AC，即ACC 为等腰三角形， BAB=CAC=1802CCA=40 故选：C 【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心 的连线的夹角为旋转角同时考查了平行线的性质 7如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，图象经过（3，0） ， 下列结论中，正确的一项是（ ） Aabc0 B 2a+b0 Ca b+c0 D4acb 20 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关 系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则 a0 抛物线的对称轴 x= =10，则 b0 抛物线与 y 轴交与负半轴，则 c0， 所以 abc0 故 A 选项错误； B、x= =1， b=2a， 2a+b=0 故 B 选项错误； C、对称轴为直线 x=1，图象经过（3，0） ， 该抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是（1，0） ， 当 x=1 时，y=0，即 ab+c=0 故 C 选项错误； D、根据图示知，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则=b 24ac0，则 4acb20 故 D 选项正确； 故选 D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线 开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 8如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A 2，A n 分别是正方形的 中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） An B n1 C （ ） n1 D n 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】规律型 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一 个阴影部分，则 n 个这样的正方形重叠部分即为（n1）个阴影部分的和 【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 4=1， 5 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：14， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1（n1）=n 1 故选：B 【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到 n 个这样的正方形重叠部分 （阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9已知关于 x 的方程 x2+mx6=0 的一个根为 2，则这个方程的另一个根是 3 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】设方程的另一根为 a，由一个根为 2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关 于 a 的方程，求出方程的解得到 a 的值，即为方程的另一根 【解答】解：方程 x2+mx6=0 的一个根为 2，设另一个为 a， 2a=6， 解得：a= 3， 则方程的另一根是3 故答案为：3 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） ，当 b24ac0 时方程有解，此时设方程的解为 x1，x 2，则有 x1+x2= ，x 1x2= 10已知关于 x 的方程 x2+bx+a=0 有一个根是 a（a0） ，则 ab 的值为 1 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】把 x=a 代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以 a，即可得出答案 【解答】解：把 x=a 代入方程得：（ a） 2ab+a=0， a2ab+a=0， a0， 两边都除以 a 得：a b+1=0， 即 ab=1， 故答案为：1 【点评】本题考查了解一元二次方程的解的应用，解此题的关键是理解一元二次方程的解 的定义，题型较好，难度适中 11如图，DEF 是由ABC 绕某点旋转得到的，则这点的坐标是 （0，1） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【专题】压轴题 【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点， 作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心 【解答】解：如图， 连接 AD、BE，作线段 AD、BE 的垂直平分线， 两线的交点即为旋转中心 O其坐标是（0，1） 故答案为（0，1） 【点评】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，关键是对旋转 性质的把握 12已知点 A（2a+2，3）与点 B（0，3b+6）关于坐标原点对称，则 a+b 的值是 2 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得 2a+2=0，3b+6=3，解出 a、b 的值，然后可得 a+b 的结果 【解答】解：由题意得：2a+2=0，3b+6=3， 解得：a= 1b= 1， a+b=2， 故答案为：2 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规 律 13如图，已知圆周角ACB 的度数为 100，则圆周角D 的度数等于 80 【考点】圆内接四边形的性质 【分析】根据圆内接四边形的性质进行解答即可 【解答】解：四边形 ABCD 内接O ， D+BCA=180， D=180ACB=180100=80 故答案为：80 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，属于基础题， 直接利用定理即可求解 14如图，AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，AOC=40，D 是 BC 弧的中点，则 ACD= 125 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【专题】计算题 【分析】连接 OD，由AOC=40，可得出BOC，再由 D 是 BC 弧的中点，可得出 COD，从而得出 ACD 即可 【解答】解：连接 OD， AB 是O 的直径， AOC=40， BOC=140，ACO=70， D 是 BC 弧的中点， COD=70， OCD=55， ACD=ACO+OCD=70+55=125， 故答案为 125 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等 15已知点（3，2） ， （ 1，2 ）在二次函数 y=x24x1 的图象上，则此二次函数图象的顶点 坐标为 （2， 3） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的顶点坐标公式，可得答案 【解答】解：y= x24x1 的顶点横坐标为 = =2， 纵坐标为 = =3， y=x24x1 的顶点坐标为（ 2，3） 故答案为：（2，3） 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用了二次函数的顶点坐标公式：y=ax 2+bx+c 的顶 点横坐标为 ，纵坐标为 16已知二次函数 y=x23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 的两实数根是 x 1=1，x 2=2 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 的两实数根就是二次函数 y=x23x+m（m 为常 数）的图象与 x 轴的两个交点的横坐标 【解答】解：二次函数的解析式是 y=x23x+m（m 为常数） ， 该抛物线的对称轴是：x= 又 二次函数 y=x23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 根据抛物线的对称性质知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（ 2，0） ， 关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 的两实数根分别是： x1=1，x 2=2 故答案是：x 1=1，x 2=2 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点解答该题时，也可以利用代入法求得 m 的值， 然后来求关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 的两实数根 三、解答题（共 10 小题，满分 102 分） 17用配方法解方程：2x 24x+1=0 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边 配成完全平方式，右边化为常数 【解答】解：原方程化为 配方得 即 开方得 ， 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的 倍数 18已知 x1、x 2 是方程 x22（ k+1）x+k 2+2=0 的另个实数根，且（x 1+1） （x 2+1）=8求 k 的值 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【分析】根据根与系数的关系可得出 x1+x2 和 x1x2 的值，再把（x 1+1） （x 2+1）=8 整理，代 入数据进行计算即可 【解答】解：x 1、x 2 是方程 x22（k+1）x+k 2+2=0 的另个实数根， x1+x2=2（k+1） ，x 1x2=k2+2， （ x1+1） （x 2+1）=8 ， x1x2+（x 1+x2， ）+1=8， 2（ k+1）+k 2+2+1=8， 解得 k1=3，k 2=1， 当 k=3 时，得方程 x2+4x+11=0， =424110，舍去； 当 k=1 时，得方程 x24x+3=0， =（4） 2430， k 的值为 1 【点评】本题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，掌握根与系数的关系是解题的关 键 19如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，4） ， 请解答下列各问题： （1）画出ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1，并写出 A1 的坐标； （2）画出A 1B1C1 绕原点 O 旋转 180后得到的A 2B2C2，并写出点 A2 的坐标； （3）画出的A 1B1C1 和 A2B2C2 有什么样的位置关系？ 【考点】作图-旋转变换；作图 -轴对称变换 【专题】作图题 【分析】 （1）根据关于 x 轴对称的点的坐标特征分别写出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点 A1、B 1、C 1 的坐标，然后描点即可； （2）然后网格特点和旋转的性质画出点 A1、B 1、C 1 的对称点 A2、B 2、C 2，则A 2B2C2 为 所作； （3）根据中心对称的定义进行判断 【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 为所作，点 A1 的坐标的坐标为（ 2， 4） ； （2）如图，A 2B2C2 为所作，点 A2 的坐标为（ 2，4） ； （3）A 1B1C1 和 A2B2C2 关于原点中心对称 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对 应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了轴对称变换 20如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA=3，PB=4，PC=5 ，若将 APB 绕着点 B 逆时针旋转后得到CQB （1）求点 P 与点 Q 之间的距离 （2）求APB 的度数 【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理 【分析】 （1）由已知PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到QAB，可得PAC PAB，PA=QA，旋转角 QAP=BAC=60，所以 APQ 为等边三角形，即可求得 PQ； （2）由APQ 为等边三角形，得 APQ=60，在PQB 中，已知三边，用勾股定理逆定理 证出直角三角形，得出QPB=90，可求APB 的度数 【解答】解：（1）连接 PQ，由题意可知 BQ=PC=10，AQ=AP， PAC=QAB，而PAC+BAP=60 ， 所以PAQ=60 度故APQ 为等边三角形， 所以 PQ=AP=AQ=4； （2）因为 PA=3，PB=4，PC=5，利用勾股定理的逆定理可知： PQ2+BP2=BQ2，所以BPQ 为直角三角形，且 BPQ=90 可求APB=90+60=150 【点评】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对 对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点 旋转中心； 旋转方向； 旋转角度 21如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接 AC、OC、BC （1）求证：ACO=BCD ； （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径 【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理 【专题】几何综合题 【分析】 （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为AOC 是等腰三角形， 即可求证 （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径 【解答】 （1）证明：连接 OC， AB 为O 的直径， ACB=90，BCD 与ACE 互余；又ACE 与CAE 互余 BCD=BAC （3 分） OA=OC，OAC=OCA ACO=BCD （5 分） （2）解：设O 的半径为 Rcm，则 OE=OBEB=（R 8）cm， CE= CD= 24=12cm， （6 分） 在 RtCEO 中，由勾股定理可得 OC2=OE2+CE2，即 R2=（R 8） 2+122（8 分） 解得 R=13，2R=213=26cm 答： O 的直径为 26cm （10 分） 【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力 22如图，平行四边形 ABCD 中，AB=4，点 D 的坐标是（0，8） ，以点 C 为顶点的抛物 线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴上的点 A，B （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点 D，求平移后抛物线的解析式 【考点】二次函数综合题 【专题】代数综合题；压轴题 【分析】 （1）在平行四边形 ABCD 中，根据平行四边形的性质，CDAB 且 CD=AB=4，且 C 的纵坐标与 D 相同， 运用平行四边形的性质，结合图形得出； （2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再在次抛物线基础上平移，即抛物线的对称轴 不变根据抛物线的性质特点，可设平移后抛物线的解析式为 y=2（x 4） 2+8+k，平移后 抛物线经过 D 点，将 D（0，8）代入解析式，求出即可 【解答】解：（1）在平行四边形 ABCD 中，CDAB 且 CD=AB=4，点 D 的坐标是 （0，8） ， 点 C 的坐标为（4，8） （1 分） 设抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 H， 则 AH=BH=2， （2 分） 点 A， B 的坐标为 A（2，0） ，B （6，0） ，C（4，8） （2）由抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 C（4，8） ， 可设抛物线的解析式为 y=a（x4） 2+8， （5 分） 把 A（2，0）代入上式， 解得 a=2 （6 分） 设平移后抛物线的解析式为 y=2（x4） 2+8+k， 把（0，8）代入上式得 k=32， （7 分） 平移后抛物线的解析式为 y=2（x4） 2+40， （8 分） 即 y=2x2+16x+8 【点评】考查二次函数顶点，对称轴的性质，以及抛物线上下平移时的特征 23某超市去年 12 月份的销售额为 100 万元，今年 2 月份的销售额比今年 1 月份的销售额 多 24 万元，若去年 12 月份到今年 2 月份每个月销售额增长的百分数相同 求：（1）这个相同的百分数； （2）2 月份的销售额 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题；销售问题 【分析】 （1）题中有一个等量关系：12 月份的销售额（1+每个月销售额的增长率） 2=1 月 份的销售额+24，根据等量关系列方程，求出解 （2）把所求结果代入（1）中方程的任何一边，可以求出答案 【解答】解：设每个月销售额的增长率为 x，由题意得： （1）100（x+1） 2=100（x+1）+24， 解得：x 1=1.2（不合题意舍去） ，x 2=0.2=20% 故所求百分数为 20% （2）2 月份的销售额：1001.2 2=144 万元 【点评】题目根据二月份的销售额不变列方程，找等量关系是解应用题的关键 24某公司销售一种进价为每个 20 元的计算器，其销售量 y（万个）与销售价格 x（元） 的变化如表： 价格 x/元 30 40 50 60 销售量 y/万 个 5 4 3 2 同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计 40 万元 （1）观察并分析表中的 x 与 y 之间对应关系，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识 写出 y（万个）与 x（元）的函数表达式 （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万元）与销售价格 x（元）的函数表达式， 并说明销售价格定为多少元时，净利润最大？最大值是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据数据得出 y 与 x 是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析 式； （2）根据 z=（x20）y 40 得出 z 与 x 的函数关系式，求出即可 【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y 与 x 是一次函数关系， 设解析式为：y=ax+b， 则 ， 解得： ， 故函数解析式为：y= x+8； （2）根据题意得出： z=（x20）y40 =（x20 ） （ x+8）40 = x2+10x200， = （x 2100x） 200 = （x 50） 22500200 = （x50） 2+50， 故销售价格定为 50 元/个时净得利润最大，最大值是 50 万元 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最 值问题等知识，根据已知得出 y 与 x 的函数关系是解题关键 25已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A，将正方形 AEFG 绕点 A 旋转 （1）发现：当 E 点旋转到 DA 的延长线上时（如图 1） ， ABE 与ADG 的面积关系是： 相等 （2）引申：当正方形 AEFG 旋转任意一个角度时（如图 2） ，ABE 与ADG 的面积关系 是： 相等 并证明你的结论 （3）运用：已知ABC，AB=5cm ，BC=3cm ，分别以 AB、BC 、CA 为边向外作正方形 （如图 3） ，则图中阴影部分的面积和的最大值是 22.5 cm 2 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】综合题 【分析】 （1）由于当 E 点旋转到 DA 的延长线上时，根据图形和三角形的面积公式容易得 到ABE 与ADG 的面积关系； （2）相等如图延长 BA 到点 P，过点 E 作 EPBP 于点 P；延长 AD 到点 Q，过点 G 作 GQAQ 于点 Q，由此得到P= Q=90，而四边形 AGFE，ABCD 均为正方形，根据正方 形的性质可以得到 AE=AG，AB=AD，1+ 2=90， 3+2=90，这样得到1= 3，然后 就可以证明APEAQG，接着得到 EP=GQ，然后利用三角形的面积公式即可证明题目 的问题； （3）根据（2）的几个可以得到三个阴影部分的面积都和三角形 ABC 的面积相等，而 AB=5cm，BC=3cm，若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形 ABC 的面积最大，则 其是直角三角形即可求解 【解答】解：（1）相等； （2）相等， 证明：如图，延长 BA 到点 P，过点 E 作 EPBP 于点 P； 延长 AD 到点 Q，过点 G 作 GQAQ 于点 Q P=Q=90 四边形 AGFE，ABCD 均为正方形 A