2015-2016学年辽宁省锦州市凌海市石山中学九年级上第一次月考数学试卷.doc

2015-2016 学年辽宁省锦州市凌海市石山中学九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( ) Aax 2+bx+c=0 B +x=2 Cx 2+2x=x21 D3x 2+1=2x+2 2如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3 ，ABC、 BCD 的平分线分别交 AD 于 点 E、F ，则 EF 的长是( ) A3 B 2 C1.5 D1 3用配方法解方程 2x2x1=0，变形结果正确的是( ) A （x ） 2= B （x ） 2= C （x ） 2= D （x ） 2= 4下列命题正确的是( ) A一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B对角线相等的四边形一定是矩形 C两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 5若 a 为方程 x2+2x5=0 的解，则 3a2+6a+1 的值为( ) A12 B 16 C9 D6 6如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为( ) A cm B cm C cm D cm 7已知 x1、x 2 是方程 x2=2x+1 的两个根，则 的值为( ) A B 2 C D 2 8如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为( ) A6 B 8 C12 D10 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9已知：一元二次方程 x26x+c=0 有一个根为 2，则另一根为 _ 10三角形的两边分别为 2 和 6，第三边是方程 x210x+21=0 的解，则第三边的长为 _ 11已知 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边上的中点且 AC=BD，则四边形 EFGH 的形状 是_ 12根据下列表格的对应值，判断 ax2+bx+c=0 （a0 ，a，b，c 为常数）的一个解 x 的取 值范围是_ x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 0.02 0.03 0.09 13一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 一根为 0，则 a=_ 14如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 AD 上的动点，PEAC，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值为_ 15一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，这个小组共有多少人？如 果设这个小组有 x 个人，根据题意，可列方程_ 16将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1、A 2An 分别是各正方 形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为_cm 2 三计算题（每小题 20 分，共 20 分， ） 17用适当的方法解下列一元二次方程 （1）4（x1） 236=0（直接开平方法） （2）x 2+2x3=0（配方法） （3）x（x4） =82x（因式分解法） （4） （x+1） （x 2）=4 （公式法） 四解答题（每小题 10 分，共 40 分） 18已知关于 x 的方程 x2（ 2m+1）x+m2+m=0 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根 19某企业 2012 年盈利 1500 万元，2014 年克服不利影响，仍实现盈利 2160 万元从 2012 年到 2014 年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业 20122014 年盈利的年增长率是多少？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2015 年盈利多少万元？ 20百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元， 为了迎接“六一” 国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，尽 快减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件要想平均每天销售这种童装赢利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？ 21如图所示，已知在ABC 中，B=90 ，AB=6cm ，BC=12cm，点 Q 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 （1）如果 Q、P 分别从 A、B 两点出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 8cm2？ （2）在（1）中，PBQ 的面积能否等于 10cm2？试说明理由 五证明题（22.23，24 每小题 10 分，25 题 12 分共 42 分） 22如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE=OD，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 23已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 中点，连结 OE过点 C 作 CFBD 交线段 OE 的延长线于点 F，连结 DF求证： （1）ODE FCE； （2）四边形 ODFC 是菱形 24如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC ，点 E、F 、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的 中点 求证：四边形 EGFH 是菱形 25已知：正方形 ABCD 中，MAN=45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC （或它们的延长线）于点 M、N当 MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时（如图 1） ， 易证 BM+DN=MN （1）当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN时（如图 2） ，线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的 数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM、DN 和 MN 之间又有怎样的数 量关系？请直接写出你的猜想 2015-2016 学年辽宁省锦州市凌海市石山中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( ) Aax 2+bx+c=0 B +x=2 Cx 2+2x=x21 D3x 2+1=2x+2 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方 程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答 案 【解答】解：A、a=0 时是一元一次方程，故 A 错误； B、是分式方程，故 B 错误； C、是一元一次方程，故 C 错误； D、是一元二次方程，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看 是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 2如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3 ，ABC、 BCD 的平分线分别交 AD 于 点 E、F ，则 EF 的长是( ) A3 B 2 C1.5 D1 【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质 【专题】数形结合 【分析】根据平行四边形的性质可知DFC= FCB，又因为 CF 平分BCD，所以 DCF=FCB，则DFC= DCF，则 DF=DC，同理可证 AE=AB，那么 EF 就可表示为 AE+FDBC=2ABBC，继而可得出答案 【解答】解：平行四边形 ABCD， DFC=FCB， 又 CF 平分 BCD， DCF=FCB， DFC=DCF， DF=DC， 同理可证：AE=AB， 2ABBC=AE+FDBC=EF=1cm 故选 D 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般 可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌 握 3用配方法解方程 2x2x1=0，变形结果正确的是( ) A （x ） 2= B （x ） 2= C （x ） 2= D （x ） 2= 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法 【分析】首先把二次项系数化为 1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上 一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式 【解答】解：2x 2x1=0 2x2x=1 x2 x= x2 x+ = + （ x ） 2= 故选 D 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的 倍数 4下列命题正确的是( ) A一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B对角线相等的四边形一定是矩形 C两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理 【专题】计算题 【分析】A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯 形满足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形； B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改 为对角线相等的平行四边形为矩形； C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC 与 BD 垂直， 但是显然 ABCD 不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图 所示，根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等， 得到平行四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形 【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形， 例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形， 故本选项为假命题； B、对角线相等的四边形不一定是矩形， 例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形， 故本选项为假命题； C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 如图所示：ACBD ，但四边形 ABCD 不是菱形，本选项为假命题； D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形， 已知：四边形 ABCD，AC=BD ，AC BD，OA=OC，OB=OD， 求证：四边形 ABCD 为正方形， 证明：OA=OC，OB=OD ， 四边形为平行四边形，又 AC=BD， 四边形 ABCD 为矩形， ACBD， 四边形 ABCD 为正方形，则本选项为真命题， 故选 D 【点评】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定， 判断一个命题为假命题，只需举一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的 证明熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定是解本题的关键 5若 a 为方程 x2+2x5=0 的解，则 3a2+6a+1 的值为( ) A12 B 16 C9 D6 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=a 代入已知方程，求得（a 2+2a）的值，然后将其代入所求的代数式求值即 可 【解答】解：根据题意，得 a2+2a5=0，即 a2+2a=5， 则 3a2+6a+1=3（a 2+2a）+1=35+1=16 故选 B 【点评】本题考查的是一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知 数的值是一元二次方程的解也考查了代数式求值 6如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为( ) A cm B cm C cm D cm 【考点】菱形的性质 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出 OA、OB，再根据勾股定理列式求出 AB， 然后根据菱形的面积等于底边乘以高，也等于对角线乘积的一半列式计算即可得解 【解答】解：菱形 ABCD 的对角线 AC=8cm，BD=6cm， ACBD，且 OA= AC=4cm，OB= BD=3cm， 根据勾股定理，AB= = =5cm， 设菱形的高为 h， 则菱形的面积=ABh= ACBD， 即 5h= 86， 解得 h= ， 即菱形的高为 cm 故选 B 【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱 形的面积的两种求解方法 7已知 x1、x 2 是方程 x2=2x+1 的两个根，则 的值为( ) A B 2 C D 2 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】先把方程化为一般式得 x22x1=0，根据根与系数的关系得到 x1+x2=2，x 1x2=1， 再把原式通分得 ，然后利用整体思想进行计算 【解答】解：方程化为一般式得 x22x1=0， 根据题意得 x1+x2=2，x 1x2=1， 原式 = = =2 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 8如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为( ) A6 B 8 C12 D10 【考点】轴对称-最短路线问题 【分析】要求 DN+MN 的最小值，DN，MN 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 DN，MN 的值，从而找出其最小值求解 【解答】解：如图，连接 BM， 点 B 和点 D 关于直线 AC 对称， NB=ND， 则 BM 就是 DN+MN 的最小值， 正方形 ABCD 的边长是 8， DM=2， CM=6， BM= =10， DN+MN 的最小值是 10 故选 D 【点评】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于 确定满足条件的点 N 的位置：利用轴对称的方法然后熟练运用勾股定理 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9已知：一元二次方程 x26x+c=0 有一个根为 2，则另一根为 4 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】设方程另一根为 t，根据根与系数的关系得到 2+t=6，然后解一次方程即可 【解答】解：设方程另一根为 t， 根据题意得 2+t=6， 解得 t=4 故答案为 4 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的根与系数的关系：若方程的两根 为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 10三角形的两边分别为 2 和 6，第三边是方程 x210x+21=0 的解，则第三边的长为 7 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 【分析】将已知的方程 x210x+21=0 左边分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有 一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为 3 或 7，利用三 角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长 【解答】解：x 210x+21=0， 因式分解得：（x3） （x 7）=0， 解得：x 1=3，x 2=7， 三角形的第三边是 x210x+21=0 的解， 三角形的第三边为 3 或 7， 当三角形第三边为 3 时，2+36，不能构成三角形，舍去； 当三角形第三边为 7 时，三角形三边分别为 2，6，7，能构成三角形， 所以第三边的长为 7 故答案为 7 【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用 因式分解法解方程时，首先将方程右边化为 0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为 0， 两因式中至少有一个为 0 转化两个一次方程来求解 11已知 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边上的中点且 AC=BD，则四边形 EFGH 的形状 是菱形 【考点】中点四边形 【分析】根据三角形中位线的性质，可得 EF 与 GH 的关系，根据平行四边的判定，可得 四边形 EFGH 的形状，根据菱形的判定，可得答案 【解答】解：如图： ， 四边形 ABCD 中，E、F 、G、H 分别是四边的中点， EFAC，HGAC，EF= AC，GH= AC， EFHG，EF=GH ， EFGH 是平行四边形 同理 FG= AC AC=BD， EF=FG， 四边形 EFGH 是菱形 故答案是：菱形 【点评】本题考查了中点四边形，利用了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形 的判定，注意四边形中点的图形是平行四边形，对角线相等的四边形中点的图形是菱形， 对角线互相垂直的四边形中点的图形是矩形 12根据下列表格的对应值，判断 ax2+bx+c=0 （a0 ，a，b，c 为常数）的一个解 x 的取 值范围是 3.24x3.25 x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 0.02 0.03 0.09 【考点】图象法求一元二次方程的近似根 【分析】根据上面的表格，可得二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标即为方程 ax2+bx+c=0 的解，当 x=3.24 时，y=0.02；当 x=3.25 时，y=0.03；则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点的横坐标应在 3.24 和 3.25 之间 【解答】解：当 x=3.24 时， y=0.02； 当 x=3.25 时，y=0.03 ； 方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 的范围是：3.24x3.25 故答案为：3.24x3.25 【点评】此题主要考查了用函数的图象求一元二次方程的近似根，要用到数形结合思想， 应熟练掌握 13一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 一根为 0，则 a=1 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义 【专题】计算题 【分析】把 x=0 代入原方程即可解得 a 值，再根据一元二次方程的特点求出合适的 a 值 【解答】解：把 x=0 代入一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 得到 a21=0， 解得 a=1， a10，a1 即 a=1 所以一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 一根为 0，则 a=1 故答案为：1 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的 值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 14如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 AD 上的动点，PEAC，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值为 【考点】矩形的性质 【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出 SAOD=SDOC=SAOB=SBOC= S 矩形 ABCD= 68=12，根据勾股定理求出 BD，求出 AO、DO、根据三角形面积公式求出即 可 【解答】解：连接 OP， 四边形 ABCD 是矩形， DAB=90，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD， OA=OD=OC=OB， SAOD=SDOC=SAOB=SBOC= S 矩形 ABCD= 68=12， 在 RtBAD 中，由勾股定理得：BD= = =10， AO=OD=5， SAPO+SDPO=SAOD， AOPE+ DOPF=12， 5PE+5PF=24， PE+PF= ， 故答案为： 【点评】本题考查了三角形面积，矩形的性质，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互 相平分且相等，等底等高的三角形面积相等 15一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，这个小组共有多少人？如 果设这个小组有 x 个人，根据题意，可列方程 x（x1）=72 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】设这个小组有 x 个人，则每个人送出去（x1）张贺卡，根据全组共送贺卡 72 张， 列方程即可 【解答】解：设这个小组有 x 个人， 由题意得，x（x1）=72 故答案为：x（x1）=72 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到互送贺卡总张数的等量关系是解 决本题的关键 16将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1、A 2An 分别是各正方 形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2 【考点】正方形的性质 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一 个阴影部分，则 n 个这样的正方形重叠部分即为 n1 阴影部分的和 【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ， 5 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 4， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 （n 1）= cm2 故答案为： 【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到 n 个这样的正方形重叠部分（阴影 部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积 三计算题（每小题 20 分，共 20 分， ） 17用适当的方法解下列一元二次方程 （1）4（x1） 236=0（直接开平方法） （2）x 2+2x3=0（配方法） （3）x（x4） =82x（因式分解法） （4） （x+1） （x 2）=4 （公式法） 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程- 配方法；解一元二次方程-公式法 【专题】计算题 【分析】 （1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可； （3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （4）方程整理为一般形式，找出 a，b，c 的值，代入求根公式即可求出解 【解答】解：（1）方程整理得：（x1） 2=9， 开方得：x1=3 或 x1=3， 解得：x 1=4，x 2=2； （2）方程整理得：x 2+2x=3， 配方得：x 2+2x+1=4，即（x+1） 2=4， 开方得：x+1=2 或 x+1=2， 解得：x 1=1，x 2=3； （3）方程整理得：x（x4） +2（x4）=0， 分解因式得：（x4） （x+2）=0， 解得：x 1=4，x 2=2； （4）方程整理得：x 2x6=0， 这里 a=1，b= 1，c=6， =1+24=25， x= ， 解得：x 1=3，x 2=2 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键 四解答题（每小题 10 分，共 40 分） 18已知关于 x 的方程 x2（ 2m+1）x+m2+m=0 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根 【考点】根的判别式 【分析】 （1）若方程有两个不相等的实数根，则应有=b 24ac0，故计算方程的根的判别 式即可证明方程根的情况； （2）直接代入 x=1，求得 m 的值后，解方程即可求得另一个根 【解答】证明：（1）a=1，b=（2m+1） ，c=m 2+m， =（2m+1） 241（m 2+m）=1， 0， 关于 x 的方程 x2（2m+1 ） x+m2+m=0 恒有两个不相等的实数根 （2）把 x=1 代入原方程得，1（2m+1）+m 2+m=0， 解得 m=0 或 1， 当 m=0 时，原方程化为 x2x=0， 解得：x 1=0，x 2=1，即另一个根为 x=0； 当 m=1 时，原方程化为 x23x+2=0， 解得：x 1=2，x 2=1，即另一个根为 x=2 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（ 3） 0 方程没有实 数根也考查了一元二次方程的解法 19某企业 2012 年盈利 1500 万元，2014 年克服不利影响，仍实现盈利 2160 万元从 2012 年到 2014 年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业 20122014 年盈利的年增长率是多少？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2015 年盈利多少万元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）增长基数为 1500 万元，增长次数 2 次，增长后的值为 2160 万元，根据增长 率公式，列方程求解； （2）根据（1）所求增长率，求 2015 年的盈利即可 【解答】解：（1）设该企业每年盈利的年增长率是 x，依题意，得 1500（1+x） 2=2160， 解得 x1=0.2=20%，x 2=2.2（舍去） ， 答：该企业每年盈利的年增长率是 20%； （2）2015 年总盈利是 2160（1+20%）=2592， 所以，预计 2015 年盈利 2592 万元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 20百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元， 为了迎接“六一” 国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，尽 快减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件要想平均每天销售这种童装赢利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】可设每件童装应降价 x 元，利用童装平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这 种童装利润列出方程解答即可 【解答】解：设每件童装应降价 x 元，根据题意列方程得， （40x） =1200， 解得 x1=20，x 2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去） 答：每件童装应降价 20 元 【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本 数量关系：平均每天售出的件数每件盈利=每天销售的利润的运用 21如图所示，已知在ABC 中，B=90 ，AB=6cm ，BC=12cm，点 Q 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 （1）如果 Q、P 分别从 A、B 两点出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 8cm2？ （2）在（1）中，PBQ 的面积能否等于 10cm2？试说明理由 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）分别表示出线段 PB 和线段 BQ 的长，然后根据面积为 8 列出方程求得时间 即可； （2）根据面积为 8 列出方程，判定方程是否有解即可 【解答】解：（1）设 t 秒后， PBQ 的面积等于 8cm2，根据题意得： 2t（6t）=8， 解得：t=2 或 4 答：2 秒或 4 秒后，PBQ 的面积等于 8cm2 （2）由题意得， 2t（6t）=10， 整理得：t 26t+10=0， b24ac=3640=40， 此方程无解， 所以PBQ 的面积不能等于 10cm2 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，能够表示出线段 PB 和 QB 的 长是解答本题的关键 五证明题（22.23，24 每小题 10 分，25 题 12 分共 42 分） 22如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE=OD，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 【考点】矩形的判定；正方形的判定 【专题】压轴题 【分析】 （1）利用平行四边形的判定首先得出四边形 AEBD 是平行四边形，进而由等腰三 角形的性质得出ADB=90 ，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出 AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可 【解答】 （1）证明：点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE=OD， 四边形 AEBD 是平行四边形， AB=AC，AD 是BAC 的角平分线， ADBC， ADB=90， 平行四边形 AEBD 是矩形； （2）当BAC=90时， 理由：BAC=90，AB=AC ，AD 是 BAC 的角平分线， AD=BD=CD， 由（ 1）得四边形 AEBD 是矩形， 矩形 AEBD 是正方形 【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识， 熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键 23已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 中点，连结 OE过点 C 作 CFBD 交线段 OE 的延长线于点 F，连结 DF求证： （1）ODE FCE； （2）四边形 ODFC 是菱形 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定 【专题】证明题 【分析】 （1）根据两直线平行，内错角相等可得ODE= FCE，根据线段中点的定义可得 CE=DE，然后利用“ 角边角”证明ODE 和 FCE 全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得 OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形判断出四边形 ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形