2015年中考数学复习第七讲 一元一次方程(组)及应用

第二章 方程与不等式 第七讲 一次方程（组） 【基础知识回顾】 一、 等式的概念及性质： 1、等式：用“=”连接表示两个数或两个代数式关系的式子叫做等式 2、等式的性质： 、性质 1：等式两边都加（减）相同的数或式子所得结果仍是等式， 即：若 a=b,那么 ac=bc 、性质 2：等式两边都乘以或除以相同的数或等式（除数不为 0）所得结果仍是等式 即：若 a=b,那么 a c=bc，若 a=b（co）那么 =acb 【名师提醒：用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项 等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值不为零】 二、方程的有关概念： 1、含有未知数的等式叫做方程 2、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 3、求未知数的值叫做解方程 4、一个方程两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程 三、一元一次方程： 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是一次的整式方程叫做一元一次方 程，一元一次方程一般可以化成 ax+b=0 的形式。 2、解一元一次方程的一般步骤： 1。 去分母 2。 去括号 3。 移项 4 合并同类项 5。 化系数为 1 【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则， 要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意变号】 四、二元一次方程组及解法： 1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c 是常数，a0,b0) ； 2、由几个含有相同未知数的整式合在一起，叫做二元一次方程组； 3、 二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解； 4、 解二元一次方程组的基本思路是：消元 ； 5、 二元一次方程组的解法：代入消元法 加减消元法 【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有无数组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 2、二元一次方程组的解应写成 五、列方程（组）解应用题： 一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量 2、设：直接或间接设未知数 3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组） 4、解：解这个方程（组） ，求出未知数的值 5、验：检验方程（组）的解是否符合题意 x=a y=b 的形式 6：答：写出答案（包括单位名称） 【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是找出等量关系： 2、几个常用的等量关系： 路程=速度 时间 工作效率=工作总量时间】 【重点考点例析】 考点一：二元一次方程组的解法 例 1 （2013黄冈）解方程组： 2()1342()3xy 思路分析：把方程组整理成一般形式，然后利用代入消元法其求即可 解：方程组可化为 ，513xy 由得，x=5y-3， 代入得，5（5y-3）-11y=-1， 解得 y=1， 把 y=1 代入得，x=5-3=2 ， 所以，原方程组的解是 21xy 点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法， 当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单 对应训练 1（2014 湘西州）解方程组： 213xy 考点二：一（二）元一次方程的应用 例 2 （2014齐齐哈尔）假期到了，17 名女教师去外地培训，住宿时有 2 人间和 3 人间可 供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ） A5 种 B4 种 C3 种 D2 种 解：设住 3 人间的需要有 x 间，住 2 人间的需要有 y 间，3x+2y=17， 因为，2y 是偶数，17 是奇数，所以，3x 只能是奇数，即 x 必须是奇数， 当 x=1 时，y=7， 当 x=3 时，y=4， 当 x=5 时，y=1， 综合以上得知，第一种是：1 间住 3 人的，7 间住 2 人的， 第二种是：3 间住 3 人的，4 间住 2 人的， 第三种是：5 间住 3 人的，1 间住 2 人的， 答：有 3 种不同的安排 故选：C 点评：此题主要考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题意，设出未知数， 列出不定方程，再根据不定方程的未知数的特点解答即可 例 3 （2014 张家界）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每 3 户每月不超过月用水标准部分的水价为 1.5 元/吨，超过月用水标准量部分的水价为 2.5 元/ 吨该市小明家 5 月份用水 12 吨，交水费 20 元请问：该市规定的每户月用水标准量是 多少吨？ 思路分析：设该市规定的每户每月标准用水量为 x 吨，根据小明家所交的电费判断出 x 的 范围，然后可得出方程，解出即可 解：设该市规定的每户每月标准用水量为 x 吨， 121.5=1820， x12， 从而可得方程：1.5x+2.5（12-x ）=20， 解得：x=10 答：该市规定的每户每月标准用水量为 10 吨 点评：本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出 x 的范围，根据 等量关系得出方程 对应训练 2 （2014 黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置 60 名地震灾民，需要搭建可容纳 6 人 或 4 人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这 60 名灾民，则不同的搭建 方案有（ ） A1 种 B11 种 C6 种 D9 种 2C 3 （2014 永州）中国现行的个人所得税法自 2011 年 9 月 1 日起施行，其中规定个人所得 税纳税办法如下： 一以个人每月工资收入额减去 3500 元后的余额作为其每月应纳税所得额； 二个人所得税纳税税率如下表所示： 纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率 1 不超过 1500 元的部分 3% 2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10% 3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20% 4 超过 9000 元至 35000 元的部分 25% 5 超过 35000 元至 55000 元的部分 30% 6 超过 55000 元至 80000 元的部分 35% 7 超过 80000 元的部分 45% （1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为 4000 元和 6000 元，请分别求出甲、乙两人的 每月应缴纳的个人所得税； （2）若丙每月缴纳的个人所得税为 95 元，则丙每月的工资收入额应为多少？ 3解：（1） （4000-3500）3%=5003%=15（元） ， 15003%+（6000-3500-1500 ） 10%=45+100010%=45+100=145（元） 答：甲每月应缴纳的个人所得税为 15 元；乙每月应缴纳的个人所得税 145 元 （2）设丙每月的工资收入额应为 x 元，则 15003%+（x-3500-1500）10%=95， 解得 x=5500 答：丙每月的工资收入额应为 5500 元 考点三：一元一次方程组的应用 例 4 （2014宜宾）2013 年 4 月 20 日，我省芦山县发生 7.0 级强烈地震，造成大量的房 屋损毁，急需大量帐篷某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷如果按原来的 生产速度，每天生产 120 顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的 90%为按时完成任 务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产 160 顶帐篷，刚好提前一天 完成任务问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？ 思路分析：设规定时间为 x 天，生产任务是 y 顶帐篷，根据不提速在规定时间内只能完成 任务的 90%，即提速后刚好提前一天完成任务，可得出方程组，解出即可 解：设规定时间为 x 天，生产任务是 y 顶帐篷， 由题意得， ，解得： 1209%6()680x 答：规定时间是 6 天，生产任务是 800 顶帐篷 点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系， 列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系， 准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键 例 5 （2014嘉兴）某镇水库的可用水量为 12000 立方米，假设年降水量不变，能维持该 镇 16 万人 20 年的用水量实施城市化建设，新迁入 4 万人后，水库只够维持居民 15 年的 用水量 （1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？ （2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到 25 年，则该镇居民人均每年需节 约多少立方米才能实现目标？ 思路分析：（1）设年降水量为 x 万立方米，每人每年平均用水量为 y 立方米，根据储水量 +降水量=总用水量建立方程求出其解就可以了； （2）设该城镇居民年平均用水量为 z 立方米才能实现目标，同样由储水量+25 年降水量 =25 年 20 万人的用水量为等量关系建立方程求出其解即可 解：（1）设年降水量为 x 万立方米，每人每年平均用水量为 y 立方米，由他提议，得 ，0162025y 解得： 。0xy 答：年降水量为 200 万立方米，每人年平均用水量为 50 立方米 （2）设该城镇居民年平均用水量为 z 立方米才能实现目标，由题意，得 12000+25200=2025z， 解得：z=34 则 50-34=16（立方米） 答：该城镇居民人均每年需要节约 16 立方米的水才能实现目标 点评： 本题是一道生活实际问题，考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一 次方程解实际问题的运用，解答时根据储水量+降水量=总用水量建立方程是关键 5 对应训练 4（2014 苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅 游团共有 55 人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的 2 倍少 5 人问甲、乙两个旅游团个 有多少人？ 4解：设甲、乙两个旅游团个有 x 人、y 人，由题意得： ，解得 。25xy3520xy 答：甲、乙两个旅游团个有 35 人、20 人 5（2014 长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南 北、东西的地铁 1、2 号线已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿 元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元 （1）求 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？ （2）除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网据预算， 这 91.8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍，则还需投资 多少亿元？ 5解：（1）设 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是 x 亿元，y 亿元， 由题意得出： ，4650.xy 解得： ，65.y 答：1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是 6 亿元和 5.5 亿元； （2）由（1）得出： 91.861.2=660.96（亿元） ， 答：还需投资 660.96 亿元 【备考真题过关】 一、选择题 1 （2014 株洲）一元一次方程 2x=4 的解是（ ） Ax=1 Bx=2 Cx=3 Dx=4 2 （2014 凉山州）已知方程组 ，则 x+y 的值为（ ）253xy A-1 B0 C2 D3 3 （2014 永州）已知（ x-y+3） 2+ =0，则 x+y 的值为（ ）xy A0 B-1 C1 D5 4 （2014 广安）如果 a3xby 与-a 2ybx+1 是同类项，则（ ）1 A B C D23xy23xy23xy23xy 5 （2014 太原）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是 4.25%若到期后取 出得到本息（本金+利息）33825 元设王先生存入的本金为 x 元，则下面所列方程正确的 是（ ） Ax+34.25%x=33825 Bx+4.25%x=33825 C34.25%x=33825 D3（x+4.25x）=33825 6 （2014 宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种 型号的帐篷共 1500 顶，其中甲种帐篷每顶安置 6 人，乙种帐篷每顶安置 4 人，共安置 8000 人设该企业捐助甲种帐篷 x 顶、乙种帐篷 y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是 （ ） A B41508xy415068 C 460xy D 158 7 （2014 随州）我市围绕 “科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮 仓”每套小粮仓的定价是 350 元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴 部分是农户实际出资的三倍还多 30 元，则购买一套小货仓农户实际出资是（ ） A80 元 B95 元 C135 元 D270 元 8 （2014 黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们， 带了 50 元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品已知甲种笔记本每本 7 元，乙种笔记本每 本 5 元，每种笔记本至少买 3 本，则张老师购买笔记本的方案共有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 9 （2014 南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸 和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买 时以一束（4 个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价 格为（ ） A19 B18 C16 D15 二、填空题 10 （2014 泉州）方程 x+1=0 的解是 11 （2014 安顺） 4xa+2b-5-2y3a-b-3=8 是二元一次方程，那么 a-b= 7 12 （2014泉州）方程组 的解是 31xy 13 （2013鞍山）若方程组 ，则 3（x+y）-（3x-5y ）的值是 735xy 14 （2014 湘潭）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到 敬老院慰问老人，如果送给每位老人 2 盒牛奶，那么剩下 16 盒；如果送给每位老人 3 盒牛 奶，则正好送完设敬老院有 x 位老人，依题意可列方程为 15 （2014 江西）某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人 数是到瑞金的人数的 2 倍多 1 人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x 人， 到瑞金的人数为 y 人，请列出满足题意的方程组 16 （2014 深圳）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利 10%，若该空调的进价 为 2000 元，则标价 元 17 （2014 绥化）某班组织 20 名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有 8 个座位，另一种车每辆有 4 个座位要求租用的车辆不留空座，也不能超载有 种 租车方案 18 （2014 绍兴）我国古代数学名著孙子算经中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只，现在小敏将此题 改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有 只，兔有 只 19 （2014 鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出 水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 两根铁棒长度之和为 220cm，此1315 时木桶中水的深度是