2015高考数学分类汇编-- 复数

专题十五 复数 1.【2015 高考新课标 2，理 2】若 为实数且 ，则 （ ）a(2)4aiia A B C D101 【答案】B 【解析】由已知得 ，所以 ，解得 ，故选 B24()4ai20,4a0a 【考点定位】复数的运算 【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题 2.【2015 高考四川，理 2】设 i 是虚数单位，则复数 ( )32i （A）-i （B ）-3i （C）i. （D ）3i 【答案】C 【解析】 ，选 C.32ii i 【考点定位】复数的基本运算. 【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来 说，掌握复数的基本概念及四则运算即可. 3.【2015 高考广东，理 2】若复数 ( 是虚数单位 )，则 （ ）32ziiz A B C D3i23i2 【答案】 D 【解析】因为 ，所以 ，故选 32ziiz23iD 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题； 复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念， 的共zabi 轭复数为 zabi 4.【2015 高考新课标 1，理 1】设复数 z 满足 = ，则|z|=( )1i （A）1 （B） （C） （D）223 【答案】A - 2 - 【解析】由 得， = = ，故|z|=1，故选 A.1zi1i()1ii 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等. 【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖， 本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数 z，再利用复数的模公式求出|z|, 本题属于基础题，注意运算的准确性. 5.【2015 高考北京，理 1】复数 （ ）i2 A B C D12i112i12i 【答案】A 考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意 .21i 【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点 有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运 算时注意 ，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的21i 模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等. 6.【2015 高考湖北，理 1】 i为虚数单位， 的共轭复数为（ ）607i A i B C1 D 1 【答案】A 【解析】 ii3154607,所以 的共轭复数为 ，选 A . 607ii 【考点定位】共轭复数. 【名师点睛】复数中， i是虚数单位,2414243411()nnnniiiiZ； ， ， ， 7.【2015 高考山东，理 2】若复数 满足 ，其中 为虚数为单位，则 =（ ）ziiz （A） （B） （C） （D） 1i1i11i 【答案】A 【解析】因为 ，所以， ，所以， 故选：A.1ziziizi 【考点定位】复数的概念与运算. 【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性. 8.【2015 高考安徽，理 1】设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ 21i ） （A）第一象限 （B ）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B 【解析】由题意 ，其对应的点坐标为 ，位于第2(1)21iiii (1,) 二象限，故选 B. 【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义. 【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数 分母实数化（分母乘以自己的共轭复数） ，这也历年考查的重点；另外，复数 在复平面内一一对应的点为 .zabi(,)Zab 9.【2015 高考重庆，理 11】设复数 a+bi（a，b R）的模为 ，则（a+bi ） （a -bi）3 =_. 【答案】3 【解析】由 得 ，即 ，所以3abi23ab23ab .2()i 【考点定位】复数的运算. 【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算 支持本题首先根据复数模的定义得 ，复数相乘可根据平方差公式求得2abi()abi2()abi ，也可根据共轭复数的性质得 2()i2ab 10.【2015 高考天津，理 9】 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值i1i a 为 . 【答案】 2 - 4 - 【解析】 是纯虚数，所以 ，即 .1221iaai20a2a 【考点定位】复数相关概念与复数的运算. 【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚 数的概念可求结果，是容易题. 11.【2015 江苏高考，3】设复数 z 满足 （i 是虚数单位） ，则 z 的模为_.234 【答案】 5 【解析】 22|34|5|ziz 【考点定位】复数的模 【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利 用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模 的性质求解就比较简便： 211222|.zzz， ， 12.【 2015 高考湖南，理 1】已知 （ 为虚数单位） ，则复数 =（ ）iizz A. B. C. D.1iii1 【答案】D. 【考点定位】复数的计算. 【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代 数形式四则运 算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行 计算，而复数 的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理. 13.【 2015 高考上海，理 2】若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 z31ziiz 【答案】 142i 【解析】设 ，则(,)zabiR 13()14242abiiabzi且 【考点定位】复数相等，共轭复数 【名师点睛】研究复数问题一般将其设为 形式，利用复数相等充要条件：(,)zibR 实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问 题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如 的共轭复数为(,)zai ，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.(,)zabiR 【2015 高考上海，理 15】设 ， ，则“ 、 中至少有一个数是虚数”是1z2C1z2 “ 是虚数”的（ ）12z A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】若 、 皆是实数，则 一定不是虚数，因此当 是虚数时，则“ 、1z212z12z1z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当 、 中至少有一个数是虚数，2z 12 不一定是虚数，如 ，即充分性