2016届高三数学一轮总复习：专题16-算法、复数、推理与证明(含解析)

IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF IF 条件 THEN 语句体 END IF 专题十六、算法、复数、推理与证明 抓住 4 个高考重点 重点 1 程序框图与基本算法语句 1程序框图 （1）概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形 （2）基 本的程序框和它们各自表示的功能如下表： （3）程序框图的三种基本结构 (i)顺序结构 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构， 其结构形式如图所示. (ii)条件结构 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这种先根据条件作 出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构，其结构形式如图甲、乙所示： (iii)循环结构 在一些算法中，要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从算法 某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况反复执行的步骤称为 循环体 循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构 其结构形式分别如图所示： 2基本算法语句 （1）输入语句、输出语句和赋值语句 (i)输入语句、输出语句与赋值语句的一般格式 a输入语句的一般格式是 INPUT “提示内容” ；变量 b输出语句的一般格式是 PRINT “提示内容” ；表达式 c赋值语句的一般格式是 变量=表达式 (ii)输入语句、输出语句与赋值语句的功能 aINPUT 语句的功能是对程序中的变量通过键盘赋值 bPRINT 语句的功能是输出表达式的值 （2）条件语句 (i)算法中的条件结构由条件语句来表达，条件语句的一般格式是 当计算机执行 IF 语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合， 就执行 THEN 后的语句体 1，否则执行 ELSE 后的 语句体 2 . (ii)条件语句还有一种比较简单的格式： 当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合， 就执行 THEN 后的语句体，否则执行 END IF 后的语句 （3）循环语句 2 WHILE 条件 循环体 WEND DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 算法中的循环结构是由循环语句来实现的，对应于程序框图中的两种循环结构， 一般程序设计语言中也有当型( WHILE)和直到型(UNTIL)两种语句，即 WHILE 语句和 UNTIL 语句. (i) WHILE 语句的一般格式是 当计算机执行 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体；再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复 执行，直到某一次条件不符合为 止，这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语句 后，接着执行 WEND 之后的语句因此当型循环有时也称为“前测试型”循环 (ii) UNTIL 语句的一般格式是 当计算机执行 UNTIL 语句时，先执行 DO 后面的循环体，接着执行 LOOP UNTIL 语句， 对该语句中的条件进行判断，如果不满足条件，就再去执行循环体，直到条件满足时， 退出循环去执行 LOOP UNTIL 后面的语句 高考常考角度 角度 1 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 i 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 解析：本题主要考查考生对程序框图的识图能力 因为该程序框图执行 4 次后结束，所以输出的 i 的值等于 4故选 B 在求解输出结果的循环结构程序框图试题时，要把变量的变化规律弄清楚，按照其变化规律 逐步进行计算，直到根据 判断条件结束循环. 角度 2 某程序框图如图所示，若输出的 ，则判断框内为（ ）57S A B C D4?k5?k6?k7?k 解析：本题考查程序框图，第一次执行后，k=2，S=2 +2 =4； 第二次执行后，k=3，S=8 +3 =11；第三次执行后，k=4，S=22 +4=26； 第四次执行后，k=5，S=52 +5=57，此时结束循环，故判断框内填“k4?” 故选 A 角度 3 运行如图所示的程序，输出的结果是_. 解析：本题主要考查基本算法语句 a=l， b=2， 把 1 与 2 的和赋给 a，即 a=3，输出的结果是 3 赋 值语句是最重要的一种基本语句，也是一个程序必不可少的重要 组成部分，使用赋值语句时，一定要注意其格式要求， 如：赋值号左边只能是变量而不能是表达式；赋值号左右两边不能对换；不能利用赋值语句进行代数式计算等 重点 2 复数的概念与运算 1解答复数的概念问题的方法 （1）复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么这两个复数相等 如果 ，那么 ，特别地，,abcdRacabicdib00abiab （2）共轭复数：当两个复数实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数 设复数 ，则它的共轭复数为(,)zabi.zai （3）复数的模： 的模，也就是复数 z 在复平面内对应的点 到原点的距离，即向量 的模，(,)iabRZOZ 其计算公式为 显然，2|,zabi22|,.zabizab （4）复数的几何意义：复数集 C 和复平面内所有点的集合是等价的 2复数的代数运算技巧 （1） 其中 ，由此可以看出 i 的运算具有周期性，其周期为 4414243,kkkiiii*kN （2） ，对于含有 或 这样式子的高次乘方运算，可通过21()()ii1,i 上述恒等式，转化成右边的形式，再进行运算 复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再进一步化简 高考常考角度 角度 1 设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 为（ ）iaia A. 2 B. C. D. 2 解析： 方法一 ，设 ，则 ，所以 .故选 A.()ibR=1+(2)ibibi1,2a 方法二， 为纯虚数，所以()aiia, 角度 2 为正实数， 为虚数单位， ，则 （ ）ai|2ia A2 B C D13 解析： ，故选 B.2|11iia 重点 3 归纳推理与类比推理 1归纳推理的一般步骤 （1）通过观察个别事物发现某些相同的性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠 2类比推理的一般步骤 （1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论 高考常考角度 角度 1 设函数 ，观察：()(0)2xf ， ， ， ，()fx134xff32()()78xff43()()156xff 4 根据上述事实，由归纳推理可得：当 ，且 时， 。*nN21()()nnfxfx 解析：方法一， ， ，212()()xfxf32332 ，以此类推可得 。4344 1()()2nnnnxfxf 答案： (21)nnx 方法二：本题考查归纳推理，考查由特殊示例归纳为一般结论的能力 根据题意知，分子都是 x，分母中的常数项依次是 2，4，8，16， x 的系数依次是 l，3，7，15， 则 的分母中常数项为 的系数为 ，故()nfx2,n1n()1)2nnfx 点评：归纳推理的关键是合乎情理，在推理的过程中要充分利用已经掌握的数学知识，对推理的过程和结论进 行适时的调整，使推理得到的结论具有可靠性，当然，归纳推理所得到的结论有待进一步检验或论证 角度 2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 ，则它们的面积比为 ，类似地，在空间中，若两个正四1:21:4 面体的棱长的比为 ，则它们的体积比为_.1:2 解析：本题考查类比推理，在平面几何中，面积比为相似比的平方； 在立体几何中，体积比为相似比的立方由类比推理得， 若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 1：8 下面通过计算来验证 假设两个正四面体的棱长分别为 1 和 2，如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1， 取 BC 的中点为 ，连结 ，作 于 ，则EDAOE23DE 又在 RtAOD 中， 2613A 则 2341ABCDBVSO正 四 面 体 同理可得棱长为 2 的正四面体的体积为 ,3ABCDV正 四 面 体 2:1:83ABCDABCDV正 四 面 体 正 四 面 体 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观 因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以，由解题方法上的类似引起， 当然首 先要在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类一般来说，高考中的类比问题多发 生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等. 重点 4 数学归纳法 1利用数学归纳法解决问题的步骤是：试值 猜想 证明， 基本形式为：设 是个与正整数 有关的命题，如果()Pnn 当 时， 成立；*0nN() 假设当 时， 成立，由此推得当 时， 也成立，*0(,)nkN()Pn1nk()Pn 那么，根据知对一切正整数 时， 成立0 2用数学归纳法 证明时需要注意的问题 （1）上述两个步骤缺一不可，第一步是验证命题递推关系的基础，没有第一步，第二步就毫无意义； （2）第二步中在证明“当 时命题成立”时，必须利用“当 时命题成立”这一条件；1nknk （3） 在第二步的证明中， “当 时命题成立”相当于已知条件，而“当 时命题成立”则是要求证的结1 果. 因此在 证明时，一般要先凑出归纳假设里给出的形式，然后再利用题给关系，凑出当 时的结论.nk 高考常考角度 角度 1 已知 的三边长都是有理数。ABC （1）求证： 是有理数；cos （2）求证：对任意正整数 是有理数.,cosnA 解析：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力. 证明：（1）由 AB、 BC、 AC 为有理数及余弦定理知 是有理数. 22cosABC （2）用数学归纳法证 明 和 都是有理数.cosnin 当 时，由（1）知 是有理数，从而有 也是有理数.nA2si1cos 假设当 时， 和 都是有理数.*(,)kNskkA 当 时，由 ，1ncos1cosin ，si()in(s)(si)co(sin)cosAkAkkkAk 由和归纳假设，知 和 都是有理数.)is1A 即当 时，结论成立.1nk 综合、可知，对任意正整数 是有理数.,cosn 角度 2 已知函数 3(),().fxgx （）求函数 的零点个数，并说明理由；h （）设数列 满足 ， ，*naN1(0)a1()(nnfag 证明：存在常数 ,使得对于任意的 ，都有 .M*nM 解析：（I）由 知， ，而 ，且 ，3()xx,)()0h(1)0,(2)60h 则 为 的一个零点，且 在 内有零点，因此 至少有两个零点0xh()h12（ ， ） x 6 解法 1： ，记 ，则 。 122()3hxx122()3x321()64x 当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内至多只有一个零点。0,()00,)(0,) 又因为 ，则 在 内有零点，所以 在 内有且只有一个零点。记此零点为3(1),()x3,1()x, ，则当 时， ；当 时， ；1x10,x101(,)x10 所以，当 时， 单调递减，而 ，则 在 内无零点；()()h)hx(0, 当 时， 单调递增，则 在 内至多只有一个零点；1,x(1,) 从而 在 内至多只有一个零 点。综上所述， 有且只有两个零点。()x0) (h 解法 2： ，记 ，则 . 122h122()xx321)x 当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内至多只有一个零点。因此(0,)x()0x0,)(0,) 在 内也至多只有一个零点， 综上所述， 有且只有两个零点。()hx （II）记 的正零点为 ，即 。030x （1）当 时，由 ，即 .而 ，因此 ，由此猜测： 。0a1a13 32100ax20ax0nax 下面用数学归纳法证明： 当 时， 显然成立；n10x 假设当 时，有 成立，则当 时，由()k0kaxnk 知， ，因此，当 时， 成立。3 310ka10k110kax 故对任意的 ， 成立。*nNn （2）当 时，由（1）知， 在 上单调递增。则 ，即 。从而0x()hx0,)0()hx3a ，即 ，由此猜测： 。下面用数学归纳法证明：3 3aa2ana 当 时， 显然成立；n1 假设当 时，有 成立，()kk 则当 时，由 知， ，因此，当 时， 成立。3 31kkaa1ka1nk1ka 故对任意的 ， 成立。*nNn 综上所述，存在常数 ，使得对于任意的 ，都有 .0max,M*nNnaM 突破 2 个高考难点 难点 1 算法与其他知识的交汇 解决算法与方程、不等式、函数、 数列、统计等知识交汇的综合问题，其 关键之处就是要熟悉所给算法的功 能，并由此转化为方程 、不等式、函数、数列、统计等相关的问题，这样就可以解决问题了. 典例 1 如图所示，给出了一个程序框图，其作用是 输入 的值，输出相应的 值若要使输入的 的值与输出的 值相等，xyxy 则这样的 的值有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用 是求分段函数 的函数值 2,351,x （1）当 时，令 ；2x20,1xx （2）当 时，令 ；53 （3）当 时，令 （舍去） ，故有 3 个值符合题意，故选 C1 本题是一个分段函数与条件分支结构相结合的问题，综合了函数、方程等知识，解决此类问题的难点在于确定 由条件分支结构给出的分段函数模型突破该难点的关键在于根据判断框确定分段的依据，根据流程线的方向确定 其对应的函数解析式另外在求解方程时，应该注意解析式成立的前提，即自变量取值范围的限制. 典例 2 随机抽取某产品 件，测得其长度分别为n123,.,na 则如图所示的程序框图输出的 _，s 表示的样本的数字特征是_ _.s 解析：由程序框图得 输出的 12.,na 所以 表示的是样本的平均数 典例 3 如图所示的程序框图，最后输出的 的值是_.n 解析：由题意得，当 时， 不成立；当 时， 不成立；2n2n32n 当 时， 不成立；当 时，有 ，此时 成立.4525 8 所以 的值是 5n 本题是一道算法与不等式交汇的综合问题，求解的难点在于如何根据程序框图 确定符合条件的 的值解决这一难点的方法是：逐个取 的值，判断 是否成立，n2n 第一个使 成立的 的值就是符合条件的 的值2n 难点 2 反证法的应用技巧 反证法是一种反设结论导出矛盾的证明方法，其难点就是如何反设结论和导出矛盾，破解的方法是：反设的结 论就是新的已知条件，和题目中的其他已知条件一起进行推理，通过对题目具体情况的分析找到导出矛盾的方向. 典例 1 已知 求证：2(),fxpq （1） 3()f （2） 中至少有一个不小于 |()|,2|,|f 12 解析：（1）因为 所以,xpq()3()(93)2(4)2ffpqpqpq （2）假设 都小于 ，即|(1)|,|,(3)|ff 1|1|,|,|2f 则 2,()f 由同向不等式性质，得 这与 矛 盾，(1)2f()3()ff 故 原命题结论成立，即 中至少有一个不小于|,|,(3)|ff 12 典例 2 已知 若 在 上的最大值为 最小值为 .2(),fxabc0,()afx1,52 求证： 且 0| 解析：（1 ）当 时，由 ，得 ，显然 c()fxb0 由题意得 在 上是单调函数，所以 的最大值为 ，最小值为 ()fxb1,()fx|b|b 由已知条件得 与 相矛盾，所以5|2|(|a （2）当 时，由二次函数的对称轴为直线 ，知 在 上是单调函数，|2ba2bxa()fx1, 故其最值在区间的端点处取得所以 或 (1)5fc 52()fabc 又 ，则此时 无解，所以 由（1） （2）得 且 0acb|2ba0|a 证明本题的难点：一是正确写出结论的否定形式；二是当结论的反面不是一种情况时，该如何证明，破解第一 个难点，必须熟知命题“ 且 ”的否定是命题“ 或 “对本题而言，结论“ 且 ”的否定形pqpq0a|2b 式是” 或 ” 破解第二个难点 ， 分 及 进行讨论，并逐一推出矛盾.0a|2b0a|2b 规避 4 个易失分点 易失分点 1 条件结构中对条件的判断不准 典例 运行如图所示的程序框图，若输出的 值的范围是 ，y0,1 则输入的 的范围是_ _x7,9 易失分提示：本题容易出错的地方有两个： 一是不清楚判断条件和函数值的对应关系，如把 时对应的函数解析式1x 写成 或 ；2yx1 二是对变量 的分类错误，本题中对 的分类为 ，分类时x,x 可能漏掉其端点值，也可能把 写成 等.1 解析：本题是计算分段函数 值的程序框图，若 ，由2 3,yx1x03171xx 若 ，由 ；若 ，由 ，