四川省乐山市2017年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|0 x 3， N=x|x 2，则 M （ =（ ） A（ 0， 2 B 0， 2） C（ 2， 3） D 2， 3） 2已知 i 是虚数单位，若复数 满足，则 |z|=（ ） A B 2 C D 4 3若向量 满足条件 3 与 共线，则 x 的值为（ ） A 2 B 4 C 2 D 4 4已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位： 可得这个几何体的体积 是（ ） A B C 2 4设样本 ， 据的平均值和方差分别为 2 和 5，若 yi=xi+a（ a 为非零实数， i=1， 2， ， 10），则 ， 均值和方差分别为（ ） A 2， 5 B 2+a， 5 C 2+a， 5+a D 2， 5+a 6已知命题 p： （ ， 0）， 23题 ，则下列命题中真命题是（ ） A p q B p （ q） C p （ q） D（ p） q 7如图，已知点 P（ 3， 1）， 第一象限的角平分线 ，将 逆时针旋转 角到 ，则 ） A 2 B 3 C 2 D 3 8在区间 ， 内随机取两个数分别记为 a， b，则使得函数 f（ x） =有零点的概率为（ ） A B C D 9对于数列 定义 为 “优值 ”现已知某数列的 “优值 ”n+1，记数列 20的前 n 项和为 最小值为（ ） A 64 B 68 C 70 D 72 10设函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x ） =f（ x） + 0 x ， f（ x） =1时，则 =（ ） A B C D 11如图， M（ N（ 别是函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与两条直线 y=m（ A m 0）， y= m 的两个交点，记 S（ m） =|则 S（ m）的图象大致是（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =x h 在区间 上任取三个实数 a， b， c，均存在以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形，则实数 h 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 4） C（ + ） D（ 4， + ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若 的二项展开式中含 的系数为 36，则实数 a= 14某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为 15双曲线 C 的左右焦点分别为 为抛物线 x 的焦点设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，若 以 底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为 16若函数 f（ x）满足 ，当 x 1， 0时， f（ x） =x，若在区间 1， 1上， g（ x） =f（ x） mx+m 有两个零点，则实数 m 的取值范围为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17（ 12 分）已知数列 足 ， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=数列 前 n 项和为 使 4 的最小自然数 n 18（ 12 分）某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并 假设每天的销售量相互独立 （ 1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于40 吨的概率； （ 2）用 表示未来 3 天日销售量不低于 40 吨的天数，求随机变量 的数学期望 19（ 12 分）如图， 半圆 O 的直径， C 是半圆 O 上除 A、 B 外的一个动点， 直于半圆 O 所在的平面， B， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）当三棱锥 C 积最大时，求二面角 D B 的余弦值 20（ 12 分）已知圆 E：（ x+1） 2+6，点 F（ 1， 0）， P 是圆 E 上任意一点，线段 垂直平分线和半径 交于 Q （ 1）求动点 Q 的轨迹 的方程； （ 2）若直线 y=k（ x 1）与（ 1）中的轨迹 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有 明理由 21（ 12 分）已知 f（ x） =线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 f（ x）在 0， 1上的最大值； （ 3）证明：当 x 0 时， 1 e） x 1 0 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分 选修 4坐标与参数方程 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10 分）在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ 0 ），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 = 4 C 的圆心到直线 l 的距离为 （ 1）求 的值； （ 2）已知 P（ 1， 0），若直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，求 的值 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知定义在 R 上的函数 f（ x） =|x m|+|x|， m N*，若存在实数 x 使得 f（ x） 2 成立 （ 1）求实数 m 的值； （ 2）若 ， 1， f（ ） +f（ ） =6，求证： 2017 年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|0 x 3， N=x|x 2，则 M （ =（ ） A（ 0， 2 B 0， 2） C（ 2， 3） D 2， 3） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由题意和补集的运算求出 交集的运算求出 M （ 【解 答】 解：由题意知 N=x|x 2，则 x|x 2， 又集合 M=x|0 x 3， 则 M （ =x|0 x 2=（ 0， 2， 故选 A 【点评】 本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题 2已知 i 是虚数单位，若复数 满足，则 |z|=（ ） A B 2 C D 4 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式两边取模，化简整理得答案 【解答】 解：由 ，得 ， 即 |z|= 故选： C 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 3若向量 满足条件 3 与 共线，则 x 的值为（ ） A 2 B 4 C 2 D 4 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 先利用平面向量运算法则求出 ，再由向量共线的条件能求出 x 【解答】 解： 向量 ， 3 =（ 6， 0） +（ 2， 1） =（ 4， 1）， 3 与 共线， = ，解得 x= 4 故选： B 【点评】 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用 4已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位： 可得这个几何体的 体积是（ ） A B C 2 4考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解 【解答】 解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为 2为2四棱锥， 如图， 故 ， 故选 B 【点评】 本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题 5设样本 ， 据的平均值和方差分别为 2 和 5，若 yi=xi+a（ a 为非 零实数， i=1， 2， ， 10），则 ， 均值和方差分别为（ ） A 2， 5 B 2+a， 5 C 2+a， 5+a D 2， 5+a 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据题意，由样本 ， 据的平均值和方差分别为 2 和 5，可得 = （ x1+ +=2， = （ 2） 2+（ 2） 2+ +（ 2）2=5，进而对于数据 yi=xi+a，由平均数、方差的公式计算可得答案 【解答】 解：根据题意，样本 ， 据的平均值和方差分别为 2 和 5， 则有 = （ x1+ +=2， = （ 2） 2+（ 2） 2+ +（ 2） 2=5， 对于 yi=xi+a； 则有 = （ x1+a+x2+a+ +a） =（ x1+ +0a） =2+a， = （ 2 a） 2+（ 2 a） 2+ +（ 2 a） 2=5， 故选： B 【点评】 本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式 6已知命题 p： （ ， 0）， 23题 ，则下列命题中真命题是（ ） A p q B p （ q） C p （ q） D（ p） q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 由指数函数的图象与性质可得： x （ ， 0）， 2x 3x 恒成立，即可判断出真假当 x 时， x 恒成立，即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出 【解答】 解：由指数函数的图象与性质可得： x （ ， 0）， 2x 3x 恒成立，因此 p 是假命题 p 是真命题 当 x 时， x 恒成立，因此 q 是真命题 p q 是真命题 故选： D 【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的图 象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7如图，已知点 P（ 3， 1）， 第一象限的角平分线，将 逆时针旋转 角到 ，则 ） A 2 B 3 C 2 D 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知，求出 +45） = 3，利用角的等价变换 45=+45 ，求出 【解答】 解： ，则 ，又点 P（ 3， 1），则 +45） = 3， 所以 +45 ） = = ； 故选 A 【点评】 本题考查了平面向 量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式；关键是求出 +45），利用角的等价变换求出 8在区间 ， 内随机取两个数分别记为 a， b，则使得函数 f（ x） =有零点的概率为（ ） A B C D 【考点】 等可能事件的概率 【分析】 先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由 a， b 使得函数f（ x） =有零点，得到关于 a、 b 的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型， a， b 使得函数 f（ x） =有零点， 0 a2+ 试验发生时包含的所有事件是 =（ a， b） | a ， b S=（ 2） 2=42， 而满足条件的事件是 （ a， b） |a2+， s=42 2=32， 由几何概型公式得到 P= ， 故选 B 【点评】 高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数再看是 不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到 9对于数列 定义 为 “优值 ”现已知某数列的 “优值 ”n+1，记数列 20的前 n 项和为 最小值为（ ） A 64 B 68 C 70 D 72 【考点】 数列的求和 【分析】 由 “优值 ”的定义可知 +2n 1an=n2n+1，当 n 2 时， +2n 21=（ n 1） 2n，则求得 （ n+1），则 20=2n 18，由数列的单调性可 知当 n=8 或 9 时， 20的前 n 项和为 最小值 【解答】 解：由题意可知： =2n+1， 则 +2n 1an=n2n+1， 当 n 2 时， +2n 21=（ n 1） 2n， 两式相减得： 2n 1an=n2n+1（ n 1） 2n， （ n+1）， 当 n=1 时成立， 20=2n 18，当 20 0 时，即 n 9 时， 故当 n=8 或 9 时， 20的前 n 项和为 最小值， 最小值为 9= = 72， 故选 D 【点评】 本题考 查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题 10设函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x ） =f（ x） + 0 x ， f（ x） =1时，则 =（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值；函数的值 【分析】 利用条件以及诱导公式，求得要求式子的值 【解答】 解： f（ x ） =f（ x） + 0 x ， f（ x） =1 时， 则 =f（ ） =f（ ） + ） =f（ ） +） =f（ ） + ） + ） =f（ ） + ） =f（ ） + ） +1+ + = ， 故选： C 【点评】 本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于基础题 11如图， M（ N（ 别是函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与两条直线 y=m（ A m 0）， y= m 的两个交点，记 S（ m） =|则 S（ m）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由已知条件及 所给函数的图象知，图象从 M 点到 N 点的变化正好是半个周期， 故 | ， S（ m）的图象大致是常函数 【解答】 解：如图所示， 作曲线 y=f（ x）的对称轴 x=x= 点 M 与点 D 关于直线 x=称， 点 N 与点 C 关于直线 x=称， xM+xC+ 又点 M 与点 C、点 D 与点 N 都关于点 B 对称， xM+xD+ 2xM+ （ = ， （ = ， | ， T 为 f（ x）的最小正周期； S（ m）的图象大致是常数函数 故选： C 【点评】 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目 12已知函数 f（ x） =x h 在区间 上任取三个实数 a， b， c，均存在以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形，则实数 h 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 4） C（ + ） D（ 4， + ） 【考点】 函 数的值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 任取三个实数 a， b， c，均存在以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形，等价于 f（ a） +f（ b） f（ c）恒成立，从而 2f（ x） f（ x） f（ x）0，由此能求出实数 h 的取值范围 【解答】 解：任取三个实数 a， b， c，均存在以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形， 等价于 f（ a） +f（ b） f（ c）恒成立， 2f（ x） f（ x） f（ x） 0， 令 ，解得 x=1， 当 时， f（ x） 0， 当 1 x e 时， f（ x） 0， 当 x=1 时， f（ x） f（ 1） =1+h， f（ x） f（ ）， f（ =， 2+h， 从而得到 ， 解得 h 4 实数 h 的取值范围是（ 4， + ） 故选： D 【点评】 本题考查导数的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若 的二项展开式中含 的系数为 36，则实数 a= 4 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 通项公式 = =（ a） r 3r，令 9 3r=6，解得 r，进而得出 【解答】 解：通项公式 = =（ a） r 3r，令 9 3r=6，解得r=1 的二项展开式中含 的系数 = a 9=36，解得 a= 4 故答案为： 4 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=10 时，不满足条件 i 9，退出循环，由裂项法即可计算可得输出 S 的值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 i=1， S=0， 满足条件 i 9，执行循环体， S= ， i=2 满足条件 i 9，执行循环体， S= + ， i=3 i=9， 满足条件 i 9，执行循环体， S= + + + ， i=10 不满足条件 i 9，退出循环，输出 S= + + + =1 = 故答案为： 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 S， 于基本知识的考查 15双曲线 C 的左右焦点分别为 为 抛物线 x 的焦点设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，若 以 底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为 1+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线 C 的值，利用抛物线与双曲线的交点以及 以 底边的等腰三角形，结合双曲线 a、 b、 c 关系求出 a 的值，然后求出离心率 【解答】 解：抛物线的焦点坐标（ 1， 0），所以双曲线中， c=1， 因为双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，若 以 底边的等腰三角形， 由抛物线的定义可知，抛 物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以 ， c2=a2+，解得 a= 1，双曲线的离心率 e= =1+ 故答案为： 1+ 【点评】 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 16若函数 f（ x）满足 ，当 x 1， 0时， f（ x） =x，若在区间 1， 1上， g（ x） =f（ x） mx+m 有两个零点，则实数 m 的取值范围为 （ 0， 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据 ，当 x 1， 0时， f（ x） =x，求出 x （ 0， 1）时， f（ x）的解析式，由在区间（ 1， 1上， g（ x） =f（ x） mx+m 有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论 【解答】 解： x （ 1， 0）时， f（ x） =x， 当 x （ 0， 1时， x 1 （1， 0）， ，可得 x 1= ，所以 f（ x） = ，作出 f（ x）在 1， 1）上的图象，如图： 因为 g（ x） =f（ x） m 有两个零点，所以 y=f（ x）的图象与直线 y=mxm 有两个交点，由图象可知 m （ 0， 故答案为：（ 0， 【点评】 此题是个中档题本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析 式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想也考查了学生创造性分析解决问题的能力 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17 （ 12 分 ） （ 2017 乐 山 二 模 ） 已 知 数 列 满足 ， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=数列 前 n 项和为 使 4 的最小自然数 n 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由数列 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， =2+n 1=n+1，即可求得数列 通项公式； （ 2）由（ 1）可知 bn=n+1） n+2），求得Sn=b1+ + n+2），由 4，利用对数的运算性质，即可求得最小自然数 n 的值 【解答】 解：（ 1）由 ， 则数列 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， =2+n 1=n+1， an=n， 数列 通项公式 an=n； （ 2） bn=n+1） n+2）， 数列 前 n 项和为 Sn=b1+ +bn= +n+1） n+2）， =1 n+2）， 由 4， 1 n+2） 4， n+2） 5= n+2 32，解得： n 30， 满足 4 的最小自然数 n 为 31 【点评】 本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017乐山二模）某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制 了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 （ 1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于40 吨的概率； （ 2）用 表示未来 3 天日销售量不低于 40 吨的天数，求随机变量 的数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由频率分布直方图求出日销售量不低于 40 吨的频率为 未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 40 吨的事件为 i=1， 2， 3），则 P（ 来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40吨包含两个互斥事件： 和 ，由此能求出未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨的概率 （ 2） 的可能取值为 0， 1， 2， 3，且 B（ 3， 由此能求出 的数学期望 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图知： 日销售量不低于 40 吨的频率为： 10 （ = 记未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 40 吨的事件为 i=1， 2， 3）， 则 P（ = 未 来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨包含两个互斥事件： 和 ， 未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨的概率为： P（ ） =P（ ） +P（ ） =（ 1 +（ 1 （ 2） 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） =（ 1 2= P（ =1） = = P（ =2） = = P（ =3） = 的分布列为： 0 1 2 3 P =0 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质及二项分布的性质的合理运用 19（ 12 分）（ 2017乐山二模）如图， 半圆 O 的直径， C 是半圆 O 上除A、 B 外的一个动点， 直于半圆 O 所在的平面， B， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）当三棱锥 C 积最大时，求二面角 D B 的余弦值 【考点】 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由已知条件推导出 平面 此证明 面 而得到平面 平面 （ ）依题意推导出当且仅当 时三棱锥 C 积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D B 的余弦值 【解答】 （ ）证明： 直径， （ 1 分）， 平面 （ 2 分）， ， 平面 （ 3 分） E， 平行四边形， 平面 ， 平面 平面 平面 （ ）依题意， ， 由（ ）知 = = ， 当且仅当 时等号成立 （ 8 分） 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 D（ 0， 0， 1）， ， ， ， ， ， （ 9 分） 设面 法向量为 ， ，即 ， ， （ 10 分） 设面 法向量为 ， ，即 ， ， （ 12 分） 与二面角 D B 的平面角互补， 二面角 D B 的 余 弦 值 为 （ 13 分） 【点评】 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 20（ 12 分）（ 2017乐山二模）已知圆 E：（ x+1） 2+6，点 F（ 1， 0）， 上任意一点，线段 垂直平分线和半径 交于 Q （ 1）求动点 Q 的轨迹 的方程； （ 2）若直线 y=k（ x 1）与（ 1）中的轨迹 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有 明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）连结 用垂直平分线定理可得， |可得|4 |2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程； （ 2）假设存在 T（ t， 0）满足 R（ S（ 联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在 T（ 4， 0） 【解答】 解：（ 1）连结 据题意， | 则 |4 |2， 故动点 Q 的轨迹 是以 E， F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 设其方程为 ， 可知 a=2， c=1， ， 所以点 Q 的轨迹 的方程为 ； （ 2）假设存在 T（ t， 0）满足 设 R（ S（ 立 ， 得（ 3+4812=0， 由韦达定理有 ，其中 0 恒成立， 由 然 斜率存在）， 故 即 ， 由 R， S 两点在直线 y=k（ x 1）上， 故 y1=k （ 1 ）， y2=k （ 1 ）代入 得， 即有 2 t+1）（ x1+2t=0 ， 将 代入 ，即有： ， 要使得 与 k 的取值无关，当且仅当 “t=4“时成立， 综上所述存在 T（ 4， 0），使得当 k 变化时，总有 【点评】 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于 0，以及点满足直线方程，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017乐山二模）已知 f（ x） =线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 f（ x）在 0， 1上的最大值； （ 3）证明：当 x 0 时， 1 e） x 1 0 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），求出 a， b 的值即可； （ 2）求出 f（ x）的导数，得到导函数的单调性，得到 f（ x）在 0， 1递增，从而求出 f（ x）的最大值； （ 3）只需证明 x 0 时， f（ x） （ e 2） x+1，设 g（ x） =f（ x）（ e 2） x 1， x 0，根据函数的单调性得到 2 e） x 1 x，从而证出结论即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 f（ 1） =e 2a=b， f（ 1） =e a=b+1， 解得： a=1， b=e 2； （ 2）由（ 1）得： f（ x） = f（ x） =2x， f（ x） =2， f（ x）在（ 0， 减，在（ + ）递增， f（ x） f（ =2 20， f（ x）在 0， 1递增， f（ x） f（ 1） =e 1； （ 3） f（ 0） =1，由（ 2）得 f（ x）过（ 1， e 1）， 且 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程是 y=（ e 2） x+1， 故可猜测 x 0， x 1 时， f（ x）的图象恒在切线 y=（ e 2） x+1 的上方， 下面证明 x 0 时， f（ x） （ e 2） x+1， 设 g（ x） =f（ x）（ e 2） x 1， x 0， g（ x） =2x（ e 2）， g（ x） =2， 由（ 2）得： g（ x）在（ 0， 减，在（ + ）递增， g（ 0） =3 e 0， g（ 1） =0， 0 1， g（ 0， 存在 （ 0， 1），使得 g（ x） =0， x （ 0， （ 1， + ）时， g（ x） 0， x （ 1）时， g（ x） 0， 故 g（ x）在（ 0， 增，在（ 1）递减，在（ 1， + ）递增， 又 g（ 0） =g（ 1） =0， g（ x） 0 当且仅当 x=1 时取 “=”， 故 x， x 0， 由（ 2）得： x+1，故 x x+1）， x 1 且仅当 x=1 时取 “=”， x ， 即 ， 2 e） x 1 x， 即 1 e） x 1 0 成立， 当且仅当 x=1 时 “=”成立 【点评】 本题考查了函数的单