四川省宜宾市2017届高三第二次诊断检测数学试题(理)含答案

高 2014 级第二次诊断性测试题 理科数学 本试卷 共 4 页， 23 题（含选考题）。全卷 满分 150 分 ， 考试 用 时 120 分钟 。 祝考试顺利 注意事项： 1、 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 . 2、 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 稿纸 答题卡上的非答题区域均无效 . 3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 稿纸 答题卡上的非答题区域均无效 . 4、 选考题作答：先把所选题目 的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，答案写在答题卡上的对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸 答题卡上的非答题区域均无效 . 5、 考试结束后，请将答题卡上交 . 第 卷 一、选择题：本题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . （ 1）已知集合 | 3 2 ,A x x n n N， 14,12,10,8,6B ，则集合 （ A） 10,8 （ B） 12,8 （ C） 14,8 （ D） 14,10,8 （ 2）已知复数 z 满足 ( 1)i 1 ，则 z （ A） 2i （ B） 2i （ C） 2i （ D） 2i （ 3）等差数列 n 项和为 155 S， 52 a ， 则公差 d 等于 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 2 （ 4）若非零向量 ,足 | | | |( 2 ) 0 a b a ，则 a 与 b 的夹角为 （ A）6（ B）3（ C） 23（ D） 56（ 5） 某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系， 得到如下统计数据表： 根据 数据 表可得回归直线方程 y bx a，其中 ， a y ， 据此模型预测广告费用为 9 万元时，销售轿车台数为 （ A） 17 （ B） 18 （ C） 19 （ D） 20 （ 6）将函数 )4332s 2 坐标不变，再向右平移8个单位长度，得到函数()y 图象，则下列说法正确的是 （ A）函数 )(一条对称轴是4x（ B）函数 )(一个对称中心是 )0,2(（ C）函数 )(一条对称轴是2x（ D）函数 )(一个对称中心是 )0,8(（ 7）某几何体的三视图如图所示， 则 该几何体的体积是 （ A） 10 （ B） 15 （ C） 18 （ D） 20 （ 8）执行下图的程序框图，若输入的 n 为 6 ，则输出的 p 为 （ A） 8 （ B） 13 （ C） 29 （ D） 35 （ 9）三棱锥 内接于半径为 2 的 球 O ， 球心 O ，当三棱锥 体积取得最大值时，三棱锥 的表面积为 （ A） 346 （ B） 328 （ C） 364 （ D） 348 （ 10）已知定义在 R 上的奇函数 )(足 )()2( ，当 1,0x 时， 12)( 则 （ A） )211()7()6( （ B） 11( 6 ) ( ) ( 7 )2f f f （ C） )6()211()7( （ D） 11( ) ( 7 ) ( 6 )2f f f （ 11） 已知点12,0,0(1:2222 过点 1F 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交 于 两点，若 2是以 2为顶角的等腰三角形，其中 ),32 则双曲线离心率 e 的取值范围为 （ A） )3,7 （ B） )7,1 （ C） )3,5 （ D） )7,5 （ 12）已知函数22 l n ( 0 )() 3 ( 0 )2x x x x x x 有且仅有四个不同的点关于直线 1y 的对称点在直线 10kx y 上 ， 则实数 k 的取值范围 为 （ A） 1( ,1)2（ B） 13( , )24（ C） 1( ,1)3（ D） 1( ,2)2第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（ 13）（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（ 22） （ 23）题为选考题，考生根据要求作答 . 二 题共 4 小题，每小题 5 分 . （ 13） 92 )21( 展开式中的常数项是 （ 14）从 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率是 （ 15）设直线 l ： 0443 圆 C ： 02 222 若在圆 C 上存在两点 P ， Q ，在直线 l 上存在一点 M ，使得 90 ，则 r 的取值范围是_ （ 16 ） 在 中 ， 22 B ，其面积为 2 ， 则 2的最大值是 三 答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 17）（本小题满分 12 分） 在 中 ， , 分别 是角 ,对边， , 比 数 列 ， 且22a c ac （ ） 求 A 的大小； （ ） 若 3a ，且 s i n s i n ( ) 2 s i n 2A B C C ，求 的面积 （ 18）（本小题满分 12 分） 在 某 单位的职工 食堂中，食堂每天以 3 元 /个的价格从面包店购进面包，然后以 5 元 /个的价格出售如 果当天卖不完，剩下的面包以 1 元 /个的价格卖给饲料 加工厂 根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示食堂某天购进了 90 个面包，以 x （单位：个， 60 110x ）表示面包的需求量， T （单位：元）表示利润 （ ）求 T 关于 x 的函数解析式； （ ）根据直方图估计利润 T 不少于 100 元的概率； （ 直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的 各个 值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率 (例如：若 需求量60, 70)x ，则取 65x ，且 65x 的 概率 等于 需求量落入 60,70) 的 频率 )， 求 T 的分布列和数学期望 （ 19）（本小题满分 12 分） 如甲图所示，在矩形 ， 4， 2， E 是 中点，将 沿 置，使平面1面 得到乙图所示的四棱锥1D （ ） 求证： 平面1 （ ） 求二面角1A D E C的余弦值 （ 20）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 ，过椭圆 22: 1 ( 0 )a 右焦点的直线20 交 椭圆 C 于 ,P 为 ,直线 斜率为 13 （ ） 求椭圆 C 的方程 ； （ ） 设另一直线 l 与椭圆 C 交于 ,原点 O 到直线 l 的距离为 32，求 面积的最大值 需求量 /个 0 70 80 90 100 110 0 频率 /组距 （ 21）（本小题满分 12 分） 设函数 2( ) l n ( 1 ) ,f x x a x a R （ ）讨论函数 () ； （ ）若函数 ()且12求证：222( ) ( 1 )ef x x 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 ，已知点 (0 3)P， ，曲线 C 的 参 数 方 程 为2 c o s ()2 s i 为 参 数以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 32 c o s ( )6 （ ）判断点 P 与直线 l 的位置关系 并 说明理由； （ ）设直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 , 11B的值 （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 ( ) 2f x m x ， mR ，且 ( 2) 0的解集为 33， （ ）解不等式： ( ) ( 2 ) 0f x f x ； （ ）若 a b c， ， 均为正实数，且满足 a b c m ，求证： 2 2 2 3b c aa b c 高 2014 级第二次诊断性测试题 （理工农医类） 说明： 一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分 正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B C C B A D B A A 二、填空题 13. 212 2, ) 2 三、解答题 （ 17） 解： （ ） 由 a b c， ， 是一个等比数列得： 2b ，所以由 22a c ac 得 2 2 2a c b ， 2 2 2b c a b c ， 2 2 2 1c o 2b c a b cA b c b c ， 又(0, )A 3A （分） （ ） 由 s i n s i n ( ) 2 s i n 2A B C C 得： s i n ( ) s i n ( ) 2 s i n 2B C B C C ， 2 s i n c o s 4 s i n c o C C c o s 0 s i n 2 s i C 或 22C b c即 或（分） 当2C ，由题意，3A ， 3a ，所以由正弦定理得： 3， 2c，故 由 勾 股 定 理 得 ： 1b ，1 1 3s i n 3 1 s i 2 2S a b C （分） 当 2时，由题意，3A ， 3a ， 所以由余弦定理得： 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 2 2 2 213 4 4 32c c c c ， 1c， 2b， 1 1 3s i n 2 1 s i 3 2S b c A （分） 综上 得：面积： 32S（ 18） （ ） 由题意，当 60 90X时，利润 5 1 ( 9 0 ) 3 9 0 4 1 8 0T X X X ， 当 90 110X 时，利润 5 9 0 3 9 0 1 8 0T ， 即4 1 8 0 ( 6 0 9 0 )1 8 0 ( 9 0 1 1 0 ) （ 分） （ ） 由题意，设利润 T 不少于 100 元为事件 A ，由 （ ） 知，利润 T 不少于 100 元时，即 4 1 8 0 1 0 0X ， 70X，即 70 110X ， 由直方图可知，当 70 110X 时，所求概率： ( ) 1 ( ) 1 0 . 0 2 5 ( 7 0 6 0 ) 0 . 7 5P A P A （分） （ 由题意，由于 4 6 5 1 8 0 8 0 ， 4 7 5 1 8 0 1 2 0 ， 4 8 5 1 8 0 1 6 0 ， 故利润 T 的取值可为： 80 ， 120 ， 160 ， 180 ， 且( 80 ) ，( 1 2 0 ) 0 ，( 1 6 0 ) 0 ，( 1 8 0 ) 0 ，（分） 故 T 的分布列为： T 80 120 160 180 () 利润的数学期望 ( ) 8 0 0 . 2 5 + 1 2 0 0 . 1 5 + 1 6 0 0 . 2 0 + 1 8 0 0 . 4 0 = 2 0 1 8 3 2 7 2 142 （分） （ 19） 解： （ ） 如下图，取 点 F ，连1 在1，112D A D E，1D F ，又 平面1面 1平面 平面 1D F ，即1 F 在 中，易得 22， 22， 4， E，又 1D F A E F ， 平面 1（分） （ ） 由题意，取 点 G ，以 E 为坐标原点，分别以 轴正方向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 E 如 图 所 示 ， 则 1( 0 , 0 , 0 ) , 0 , 2 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 0E C D B，由 （ ） 知： 2, 2, 0是平面 1平面1 ,m x y z ，则 1( , , ) ( 0 , 2 , 0 ) 2 0( , , ) (1 , 1 , 2 ) 2 0m E C x y z D x y z x y z ，令 1z ，则 2x ， 0y ， ( 2 , 0 , 1 )m ，设二面角 1A D E C的平面角为 ， 则c o s c o s ,E B m 2 , 2 , 0 2 , 0 , 12 , 2 , 0 2 , 0 , 12 2 332 2 3，（分） 由图可知，二面角1A D E C的平面角为钝角， 3c o s 3 ，即：二面角 1A D E C的余弦值为 33 （ 分 ） （ 20） 解： （ ） 由题意，直线 20 与 x 轴交于焦 点： ( 2,0)F ， 2c ，设 ,x y， ,x y， ,x y，则： 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2x a y a bb x a y a b ， 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0M N M Nb x x a y y ， 22()x xa y y2 2222 312 P ba y a ， 223 ，又 2c ， 2 2 2a b c 223, 1 ， 即椭圆 C 的方程为： 2 2 13x y（分） （ ） 由题意， 当直线 l 的斜率不存在时或者斜率为 0 时，易得 3；（分） 当直线 l 的 斜 率 存 在 时 且 不 为 0 时 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 ：( , , 0 )y k x m k m R k 且，由题意，原点 O 到直线 l 的距离为 32 ，故2321， 223 ( 1)4 设交点 的坐标分别为： , ， , ， 则： 22 13y kx mx y ， 2 2 2( 3 1 ) 6 3 ( 1 ) 0k x k m x m ， 由题意 0 ，12 2631k ，212 23 ( 1 )31k 222 12(1 )A B k x x 22 1 2 1 2( 1 ) 4k x x x x 2 2 22 2 223 6 1 2 ( 1 )(1 )3131k m 2 2 2 2222333 6 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 3 144(1 )31k k k 2 4 2 422( 1 ) 2 7 2 7 2 7 331k k k 422 7 3 0 39 6 1242123 9 6 1 2212319612342 3 6 ， 当且仅当 2219k k ，即 33k 时等号成立， ； 综上所述，当直线 l 的斜率 33k 时， 即时，积的最大值 m a B 1 3 322 2 2 （分） （ 21） 解：（）函数 () 1, ) ， 1分 222( ) 211a x x af x x 2分 令 2( ) 2 2g x x x a ，则 48a 当 12a时， 0 , ( ) 0，从而( ) 0，故函数 () 1, ) 上单调递增； 当 12a时， 0 , ( ) 0的两个根为121 1 2 1 1 2,22 ， 当 0a 时，121 ，此时，当 1 1 2( 1 , )2 函数 ()调递减 ;当1 1 2( , )2 函数 () 当 102a时，121 , 此 时 函 数 () 区 间1 1 2 1 1 2( 1 , ) , ( , )22 单调递增 ;当 1 2 1 1 2( , )22 函数 () 综上 : 当 12a时，函数 () 1, ) 上单调递增；当 102a时，函数 () 2 1 1 2( 1 , ) , ( , )22 单调递增 ; 在区间 1 1 2 1 1 2( , )22 函数 ()调递减 ; 当 0a 时， 1 1 2( 1 , )2 函数 ()调递减 , 1 1 2( , )2 函数 ()调递增（分） （）当函数 () 102a,21 1 2 1( , 0 )22 , 且 22 2 2( ) 2 2 0g x x x a 即 22222a x x , 2 2 22 2 2 2 2 2 2( ) l n ( 1 ) ( 2 2 ) l n ( 1 )f x x a x x x x x 2 1( , 0)2x 2 2 2 22() 2 ( 1 ) l n ( 1 )fx x x 1( , 0)2x 令 ( ) 2 ( 1 ) l n ( 1 )h x x x x 1( ,0)2x( ) 2 l n ( 1 ) 1h x x ,令 11( ) 0 , ( , 1 )2eh x x ,函数单调递增 ; 令 1( ) 0 , ( 1 , 0 )eh x x ,函数单调递减 ; m a ) ( 1 ) 1x h 22() 2 1 , 2 1( , 0 )2x 222( ) ( 1 )ef x x （分） （ 22） 选修 4标系与参数方程 解： （ ） 点 P 在直线 l 上，理由如下： 直线 :l 32 c o s ( )6 ，