2017年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（3月）含答案

2017 年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（ 3 月份） 一、填空题 . 1已知（ x ） n 的二项式系数之和为 256，则 n= 2设复数 z=1+i（ i 是虚数单位），则 2值等于 3设向量 、 的夹角为 （其中 0 ）， | |=1， | |=2，若（ 2 ） （ k + ），则实数 k 的值为 4设函数 f（ x） =|若 f（ a） =f（ b），其中 0 a b，则 a+b 取值范围是 5函数 f（ x） =2x+2 3 4x， x （ ， 1）的值域为 6已知方程 + =1 表 示的曲线为 C，任取 a， b 1， 2， 3， 4， 5，则曲线C 表示焦距等于 2 的椭圆的概率等于 7若实数 x、 y 满足 ，则 x 2y 的取值范围是 8已知双曲线 =1（ a 0， b 0），过双曲线上任意一点 P 分别作斜率为 和 的两条直线 直线 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积为 S，直线 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积为 T，则 S 9在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若满足 a=4， A=30的三角形的个数恰好为一个，则 b 的取值范围是 10设 i、 j、 n N*， i j，集合 （ i， j） |43n 3i+3j 43n+1，则集合 个 11设正实数集合 A= ， 集合 S=（ a， b） |a A， b A， a b A，则集合 S 中元素最多有 个 12对于正整数 n，设 关于 x 的方程 x n=0 的实数根，记 （ n+1） n 2），其中 x表示不超过实数 x 的最大整数，则 （ a2+ + 二、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 13若 、 平均数为 3，则 3（ 2）、 3（ 2）、 3（ 2）、 、 3（ 2）的平均数为（ ） A 3 B 9 C 18 D 27 14设 a、 b 都是不等于 1 的正数，则 “a b 1”是 “（ ）条件 A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分也非必要 15设双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 、 C 两点，过 B 作 垂线交 x 轴于点 D，若点 D 到直线 距离小于 a+ ， 则 的取值范围为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， + ） C（ 0， ） D（ ， + ） 16已知数列 以下两个命题： 若 an+ bn+ an+是递增数列，则 是递增数列； 若 an+ bn+ an+是等差数列，则 是等差数列； 下列判断正确的是（ ） A 都是真命题 B 都是假命题 C 是真命题， 是假命题 D 是假命题， 是真命题 三、解答题， 解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17如图，三棱锥 A ， 等边三角形， D， E 为 中点； （ 1）求证： 平面 （ 2）设 ， ，若 三棱锥 A 体积 18已知抛物线 x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点，设 中点为 M， A、 B、 M 在准线上的射影依次为 C、 D、 N （ 1）求直线 直线 夹角 的大小； （ 2）求证：点 B、 O、 C 三点共线 19已知 a R，函数 f（ x） = 2a+1） x， g（ x） = （ 1）解关于 x 的不等式： f（ x） g（ x）； （ 2）若不等式 |f（ x） | g（ x）对任意实数 x 恒成立，求 a 的取值范围 20已知（ 关于 x、 y、 z 的方程组 的解 （ 1）求证： =（ a+b+c） ； （ 2）设 ， a、 b、 c 分别为 边长，试判断 形状，并说明理由； （ 3）设 a、 b、 c 为不全相等的实数，试判断 “a+b+c=0”是 “0”的 条件，并证明： 充分非必要； 必要非充分； 充分且必要； 非充分非充要 21已知等差数列 前 n，等比数列 前 n，且 a1= （ 1）设 a3=a4=数列 an+通项公式； （ 2）在（ 1）的条件下，且 ，求满足 m 的所有正整数 n、 m； （ 3）若存在正整数 m（ m 3），且 am=0，试比较 大小，并说明理由 2017 年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一、填空题 . 1已知（ x ） n 的二项式系数之和为 256，则 n= 8 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由题意可得： 2n=256，解得 n 【解答】 解：由题意可得： 2n=256，解得 n=8 故答案为： 8 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2设复数 z=1+i（ i 是虚数单位），则 2值等于 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解：复数 z=1+i（ i 是虚数单位），则 2 1+i） 2 2i（ 1+i） =2i 2i+2=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力 ，属于基础题 3设向量 、 的夹角为 （其中 0 ）， | |=1， | |=2，若（ 2 ） （ k + ），则实数 k 的值为 2 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 （ 2 ） （ k + ），（ 2 ） （ k + ） =0，即可得出 【解答】 解： （ 2 ） （ k + ），向量 、 的夹角为 （其中 0 ），| |=1， | |=2， （ 2 ） （ k + ） =2k +（ 2 k） =2k 4+2（ 2 k） ， （ k 2）（ 1 =0 对于 （ 0， 都成立 k=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4设函数 f（ x） =|若 f（ a） =f（ b），其中 0 a b，则 a+b 取值范围是 （ 2， + ） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 画出函数 f（ x）的图象，则数形结合可知 0 a 1， b 1，且 ，利用基本不等式可求 a+b 的取值范围 【解答】 解：画出 y=|图象如图： 0 a b，且 f（ a） =f（ b）， | 0 a 1， b 1， ， a+b 2 =2， a b， a+b 2， 故答案为：（ 2， + ） 【点评】 本题主要考查了对数函数的图象和性质，利数形结合的思想方法，考查基本不等式的运用，属基础题 5函数 f（ x） =2x+2 3 4x， x （ ， 1）的值域为 （ 4， 【考点】 二次函数的性质 【分析】 配方化简函数的表达式，设 2x=t， t （ 0， 2），利用二次函数的性质，根据 t 的范围即可得出 y 的最大、最小值，从而得出原函数的值域 【解答】 解： f（ x） =2x+2 3 4x， =4 2x 3 （ 2x） 2= 3（ 2x ） 2+ ； x （ ， 1）； 2x （ 0， 2），令 2x=t， t （ 0， 2），则 y= 3（ t ） 2+ ； t= 时， y 取最大值 ， t=2 时， y 取最小值 4；因为 t 2，所以 y 4 4 y ； 故答案为：（ 4， 【点评】 考查函数值域的概念及求法，配方法处理二次式子，换元求函数值域的方法，注意确定换元后引入新变量的范围，以及二次函数值域的求法 6已知方程 + =1 表示的曲线为 C，任取 a， b 1， 2， 3， 4， 5，则曲线C 表示焦距等 于 2 的椭圆的概率等于 【考点】 椭圆的简单性质；古典概型及其概率计算公式 【分析】 椭圆的焦距为： 2，半焦距为： 1，则 a， b 两个数的差值为 1，然后利用古典概型求解即可 【解答】 解：方程 + =1 表示的曲线为 C，任取 a， b 1， 2， 3， 4， 5，曲线 C 表示焦距等于 2 的椭圆，可知半焦距为： 1，则 a， b 两个数的差值为 1，共有 8 种情况， 表示曲线的情况共有 5 5=25 种 则曲线 C 表示焦距等于 2 的椭圆的概率等于 故答案为： 【点评】 本题考查椭圆的简单性质，古典概型的概率的求法，考查转化思想以及计算 能力 7若实数 x、 y 满足 ，则 x 2y 的取值范围是 7， 13 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 其内部，再将目标函数 z=x 2y 对应的直线进行平移，求出最优解，可得 x 2y 的取值范围 【解答】 解：作出不等式组 ，表示的平面区域： 得到如图的 其内部，其中 A（ ， 0）， B（ 3， 5）， C（ 3， 5） 设 z=F（ x， y） =x 2y，将直线 l： z=x 2y 进行平移， 当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最大值，得 z 最大值 =F（ 3， 5） =13； 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值，得 z 最小值 =F（ 3， 5） = 7 因此， x+2y 的取值范围是 7， 13 故答案为： 7， 13 【点评】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x 2y 的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题 8已知双曲线 =1（ a 0， b 0），过双曲线上任意一点 P 分别作斜率为 和 的两条直线 直线 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积为 S，直线 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积为 T，则 S 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 不妨设点 P 在第一象限，设点 P（ 得到直线 方程为 y （ x 直线 方程为 y （ x 再分别求出 A， B， C，D 的坐标，表示出 S， T，计算 可 【解答】 解：不妨设点 P 在第一象限，设点 P（ 直线 方程为 y （ x 直线 方程为 y （ x A（ 0， B（ 0）， D（ 0， C（ 0）， S= （ T= （ （ = ， 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础 9在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若满足 a=4， A=30的三角形的个数恰好为一个，则 b 的取值范围是 （ 0， 4 8 【考点】 解三角形 【分析】 利用正弦定理得出 b=8据 B+C 的度数和三角形只有一解，可得B 只有一个值，根据正弦函数的性质得到 B 的范围，从而得出 b 的范围 【解答】 解： A=30， a=4， 根据正弦定理得： ， b=8 又 B+C=180 30=150，且三角形只一解，可得 B 有一个值， 0 B 30，或 B=90 0 ，或 ， 又 b=8 b 的取值范围为（ 0， 4 8 故答案为：（ 0， 4 8 【点评】 本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，属于中档题 10设 i、 j、 n N*， i j，集合 （ i， j） |43n 3i+3j 43n+1，则集合 2n 个 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 对 j 或者 i 讨论，不妨设 i=j=t，可得 43n 23t 43n+1，两边取对数， n+1） 求解 t 即可得到集合 元素的个数 【解答】 解：由题意，不妨设 i=j=t，可得 43n 23t 43n+1，即 23n 3t 23n+1， 两边取对数， n+1） 可得： t n+1 那么： i+j=2（ n+1） =2n+2 个 i j， 集合 元素的个数为 2n 个 故答案为 2n 【点评】 本题主要考查集合的证明和运算，转化的思想，属于中档题 11设正实数集合 A= ， 集合 S=（ a， b） |a A， b A， a b A，则集合 S 中元素最多有 个 【考点】 集合中元素个数的最值 【分析】 假设 ， 大小顺序排列，当 ， 等差数列，且首项为公差，集合 S 中的元素最多， n 个数字中任取 2 个，之差也一定属于 ， 此能求出集合 S 中的元素最多的个数 【解 答】 解：正实数集合 A= ， 集合 S=（ a， b） |a A， b A， a b A， 不妨假设 ， 大小顺序排列， 当 ， 等差数列，且首项为公差，集合 S 中的元素最多， n 个数字中任取 2 个，之差也一定属于 ， 集合 S 中的元素最多为： = 故答案为： 【点评】 本题考查集合中最多的元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质、排列组合知识的合理运用 12对于正整数 n，设 关于 x 的方程 x n=0 的实数根，记 （ n+1） n 2），其中 x表示不超过实数 x 的最大整数，则 （ a2+ + 2017 【考点】 数列的求和 【分析】 根据条件构造 f（ x） =x n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可 【解答】 解：设 f（ x） =x n，则 f（ x） =3， 当 n 是正整数时， f（ x） 0，则 f（ x）为增函数， 当 n 2 时， f（ ） =n （ ） 3+2 （ ） n= （ n2+n+1） 0， 且 f（ 1） =2 0， 当 n 2 时，方程 x n=0 有唯一的实数根 （ ， 1）， n （ n+1） n+1， （ n+1） n， 因此 （ a2+a3+ += （ 2+3+4+ +2015） = =2017， 故答案为： 2017 【点评】 本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大 二、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 13若 、 平均数为 3，则 3（ 2）、 3（ 2）、 3（ 2）、 、 3（ 2）的平均数为（ ） A 3 B 9 C 18 D 27 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据题意，由 、 平均数为 3，由平均数公式分析可得 x1+x2+ +0，对于数据 3（ 2）、 3（ 2）、 3（ 2）、 、 3（ 2），由平均数公式可得 = 3（ 2） +3（ 2） + +3（ 2） ，计算可得答案 【解答】 解：根据题意， 、 平均数为 3， 则有 （ x1+x2+ +=3，即 x1+x2+ +0， 对于数据 3（ 2）、 3（ 2）、 3（ 2）、 、 3（ 2）， 其平均数 = 3（ 2） +3（ 2） + +3（ 2） = 3（ x1+x2+ + 60=3； 故选： A 【点评】 本题考查数据平均数的计算，关键是牢记平均数计算的公式 14设 a、 b 都是不等于 1 的正数，则 “a b 1”是 “（ ）条件 A充要 B充分非必 要 C必要非充分 D既非充分也非必要 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可 【解答】 解： a、 b 都是不等于 1 的正数， ，即 0， 或 ， 求解得出： a b 1 或 1 a b 0 或 b 1， 0 a 1 根据充分必要条件定义得出： “a b 1”是 “充分条不必要件， 故选： B 【点评】 本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类 讨论 15设双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 、 C 两点，过 B 作 垂线交 x 轴于点 D，若点 D 到直线 距离小于 a+ ，则 的取值范围为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， + ） C（ 0， ） D（ ， + ） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的对称性知 D在 D（ x， 0），则由 = 1，求出 c x，利用 D 到直线 距离小于 a+ ，即可得出结论 【解答】 解：由题意， A（ a， 0）， B（ c， ）， C（ c， ），由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上， 设 D（ x， 0），则由 = 1， c x= ， D 到直线 距离小于 a+ ， c x=| | a+ ， a2= 0 1， 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 D 到直线 距离是关键 16已知数列 以下两个命题： 若 an+ bn+ an+是递增数列，则 是递增数列； 若 an+ bn+ an+是等差数列，则 是等差数列； 下列判断正确的是（ ） A 都是真命题 B 都是假命题 C 是真命题， 是假命题 D 是假命题， 是真命题 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 对于 不妨设 n， n、 cn=足 an+ bn+ an+是递增数列，但是不满足 cn=递增数列， 对于 根据等差数列的性质和定义即可判断 【解答】 解：对于 不妨设 n， n、 cn= an+ bn+ an+是递增数列，但 cn=是递增数列，故为假命题， 对于 an+ bn+ an+是等差数列，不妨设公差为分别为 a， b， c， an+1 1=a， bn+1 1=b， an+1 1=c， 设 公差为 x， y， x， 则 x= ， y= ， z= ， 故若 an+ bn+ an+是等差数列，则 是等差数列，故为真命题， 故选 ： D 【点评】 本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题 三、解答题，解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 2017上海模拟）如图，三棱锥 A ， 等边三角形， D，E 为 中点； （ 1）求证： 平面 （ 2）设 ， ，若 三棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 此能证明 平面 （ 2）推导出 平面 此能求 出三棱锥 A 体积 【解答】 证明：（ 1） 三棱锥 A ， 等边三角形， D， E 为 中点， 又 ， 平面 解：（ 2）由（ 1）知 又 ， 平面 ， ， 三棱锥 A 体积： = = 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 18（ 2017上海模拟）已知抛物线 x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点，设 中点为 M， A、 B、 M 在准线上的射影依次为 C、 D、N （ 1）求直线 直线 夹角 的大小； （ 2）求证：点 B、 O、 C 三点共线 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）先设 A（ B（ 中点 M（ 利用斜率公式得出 分类讨论：当 x1=，显然 ，证出 1从而知 立，即可得出结论 （ 2）将焦点弦 直线的方程代入抛物线的方程，消去 x 得到关于 y 的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得 B、 O、 C 三点共线，从而解决问题 【解答】 （ 1）解：设 A（ B（ 中点 M（ 焦点 1， 0） x1=，显然 当 ， = ， 1 上所述知 立， 即直线 直线 夹角 的大小为 90； （ 2）证明：由 y=k（ x 1）与抛物线方程联立，可得 4y 4k=0， 4， A 在准线上的射影为 C， C（ 1， = ， 4， 点 B、 O、 C 三点共线 【点评】 本题给出抛物线过焦点的弦在准线上的射影，求证三点共线及线线角，着重考查了用解析几何理解抛物线的定义的知识点，属于中档题 19（ 2017上海模拟）已知 a R，函数 f（ x） = 2a+1） x， g（ x） = （ 1）解关于 x 的不等式： f（ x） g（ x）； （ 2）若不等式 |f（ x） | g（ x）对任意实数 x 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题；一元二次不等式 的解法 【分析】 （ 1）由 f（ x） g（ x），得 2a+1） x a+1） x 0然后分 a 1， a= 1， a 1 三类求解不等式的解集； （ 2） |f（ x） | g（ x）对任意实数 x 恒成立 | 2a+1） x| 任意实数 a=0 时，不等式 | 2a+1） x| 任意 x R 都成立；当 a 0时，分 x （ ， 0与 x （ 0， + ）分类分析；当 a 0 时，不等式 | 2a+1） x| 然不成立；当 a 时，要使不等式 | 2a+1） x| 成立，则 t（ x） =（ a+1） x 0 在 x （ ， 0）上恒成立然后利用导数求解满足条件的 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） g（ x），得 2a+1） x a+1） x 0 当 a 1 时，解得 0 x a 1当 a= 1 时，解得 x=0当 a 1 时，解得 a 1 x 0 当 a 1 时，不等式 f（ x） g（ x）的解集为 0， a 1； 当 a= 1 时，不等式 f（ x） g（ x）的解集为 0； 当 a 1 时，不等式 f（ x） g（ x）的解集为 a 1， 0 （ 2） |f（ x） | g（ x）对任意实数 x 恒成立 | 2a+1） x| 任意实数 当 a=0 时，不等式 | 2a+1） x| 任意 x R 都成立； 当 a 0 时，当 x （ ， 0时，不等式 | 2a+1） x| 立， 当 x （ 0， + ）时，令 h（ x） = 2a+1） x ax=x2+ax+x， h（ x） =2x+a+10， h（ x）在（ 0， + ）上为增函数，则 h（ x） h（ 0） =0， 不等式 | 2a+1）x| 立， 当 a 0 时，不等式 | 2a+1） x| 立； 当 a 0 时，不等式 | 2a+1） x| 然不成立； 当 a 时，要使不等式 | 2a+1） x| 成立，则 t（ x） =（ a+1） x 0 在 x （ ， 0）上恒成立 t（ x） =2x+a+1，由 2x+a+1=0，解得 x= ，若 1 a ， 则当 x （ ， ）时， t（ x） 0，当 x （ ， + ）时， t（ x） 0， x （ ， 0 ）时， = = ，不合题意； 若 a 1，则 x （ ， 0）时， t（ x） 0， t（ x）为减函数，则 t（ x） t（ 0） =0 综上，不等式 |f（ x） | g（ x）对任意实数 x 恒成立时 a 的取值范围是（ ， 1 0， + ） 【点评】 本题考查函数恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，属中档题 20（ 2017上海模拟）已知（ 关于 x、 y、 z 的方程组的解 （ 1）求证： =（ a+b+c） ； （ 2）设 ， a、 b、 c 分别为 边长，试判断 形状，并说明理由； （ 3）设 a、 b、 c 为不全相等的实数，试判断 “a+b+c=0”是 “0”的 条件，并证明： 充分非必要； 必要非充分； 充分且必要； 非充分非充要 【考点】 矩阵与矩阵的乘法的意义 【分析】 （ 1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论； （ 2）由方程组有非零解得出 =0，即 =0，将行列式展开化简即可得出 a=b=c； （ 3）利用（ 1），（ 2）的结论即可答案 【解答】 解：（ 1）证明：将行列式的前两列加到第三列上， 得： = =（ a+b+c） （ 2） ， 方程组有非零解， =0，由（ 1）可知（ a+b+c） =0 a、 b、 c 分别为 边长， a+b+c 0， =0，即 a2+b2+， 2222，即（ a b） 2+（ b c） 2+（ a c） 2=0， a=b=c， 等边三角形 （ 3）若 a+b+c=0，显然（ 0， 0， 0）是方程