2017年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）含答案

2017 年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 P=x| 4 x 2， x Z， Q=x| 3 x 1，则 P Q=（ ） A（ 1， 3） B 2， 1） C 0， 1， 2 D 2， 1， 0 2已知复数 z 的实部为 1，虚部为 2，则 对应的点位于（ ） A第四象限 B第一象限 C第三象限 D第二象限 3已知 ， 为单位向量，其夹角为 120，则 =（ ） A B C 1 D 2 4在数列 ，若 为定值，且 ，则 于（ ） A 32 B 4 C 8 D 16 5如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 6如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 2， 8，则输出的 a 等于（ ） A 4 B 0 C 14 D 2 7若函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则下列关于 g（ x）叙述正确的是（ ） A g（ x）的最小正周期为 2 B g（ x）在 内单调递增 C g（ x）的图象关于 对称 D g（ x）的图象关于 对称 8设函数 f（ x）存在导数且满足 ，则曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线斜率为（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 9双曲线 的离心率大于 的充分必要条件是（ ） A B m 1 C m 1 D m 2 10设变量 x， y 满足约束条件 则目标函数 z=3x 4y 的最大值为（ ） A 8 B 6 C 9 D 6 11若命题 p：从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得到都是正品的概率为三分之一；命题 q：在边长为 4 的正方形 任取一点 M，则 0的概率为 ，则下列命题是真命题的是（ ） A p q B（ p ） q C p （ q ） D q 12已知函数 f（ x）的定义域为 R， f（ 2） =2021，对任意 x （ ， + ），都有 f（ x） 2x 成立，则不等式 f（ x） 017 的解集为（ ） A（ 2， + ） B（ 2， 2） C（ ， 2） D（ ， + ） 二、填空题 函数 的定义域是 （用区间表示） 14在 ， 已知 a=8， b=5， S 2，则 15若一个棱长为 2 的正方体的各个顶点均在同一球的球面上，则此球的表面积为 16已知 x， y 的取值如表： x 0 1 3 4 y a x， y 具有线性相关关系，且回归方程为 ，则 a= 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 10 分）在数列 ，设 f（ n） = f（ n）满足 f（ n+1） 2f（ n） =2n（ n N*），且 （ 1）设 ，证明数 列 等差数列； （ 2）求数列 前 n 项和 18（ 12 分）如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，且 D=2， ， E、 F 分别为 点 （ 1）求点 F 到平面 距离； （ 2）求证：平面 平面 19（ 12 分）目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响，我校随机抽取 100名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如表所示： 善于使用学案 不善于 使用学案 总计 学习成绩优秀 40 学习成绩一般 30 总计 100 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ 知随机抽查这 100 名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是 （ 1）请将上表补充完整（不用写计算过程）； （ 2）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关？ （ 3）若从学习成绩优秀的同学中随机抽取 10 人继续调 查，采用何种方法较为合理，试说明理由 20（ 12 分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x= 1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A， B 两点 （ 1）求抛物线的标准方程； （ 2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值； （ 3）如果 ，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由 21（ 14 分）已知函数 f（ x） =c， f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 x+y+4=0 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）若函数 f（ x）在定 义域内恒有 f（ x） 2立，求 k 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位），且以原点 O 为极点，以 ，圆 C 的方程为 =4 （ 1）求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 普通方程； （ 2）设圆 C 与直线 l 交于点 A， B，若点 P 的坐标为（ 3， 0），求 | 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x m| 1 （ 1）若不等式 f（ x） 2 的解集为 x| 1 x 5，求实数 m 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，若 f（ x） +f（ x+5） t 2 对一切实数 x 恒成立，求实数 t 的取值范围 2017 年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 P=x| 4 x 2， x Z， Q=x| 3 x 1，则 P Q=（ ） A（ 1， 3） B 2， 1） C 0， 1， 2 D 2， 1， 0 【考点】 交集 及其运算 【分析】 化简集合 P，根据交集的定义写出 P Q 【解答】 解：集合 P=x| 4 x 2， x Z= 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， Q=x| 3 x 1， 则 P Q= 2， 1， 0 故选： D 【点评】 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 2已知复数 z 的实部为 1，虚部为 2，则 对应的点位于（ ） A第四象限 B第一象限 C第三象限 D第二象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知求得 z，代入 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解 ：由题意， z= 1+2i， 则 = 对应的点的坐标为（ 2， 1），位于第三象限 故选： C 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3已知 ， 为单位向量，其夹角为 120，则 =（ ） A B C 1 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 ，将 展开即可得出结果 【解答】 解： ， 为单位向量，其夹角为 120， ， =1 1 = 2 = 2= 故选： A 【点评】 本 题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题 4在数列 ，若 为定值，且 ，则 于（ ） A 32 B 4 C 8 D 16 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由条件和等比数列的定义判断出：数列 等比数列，由条件和等比数列的性质求出 值 【解答】 解：由 为定值，得数列 等比数列， ， ， 故选 B 【点评】 本题考查等比数列的定义，以及等比数列的性质的应用，属于基础题 5如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 组合几何体的面积、体积问题；由三视图求面积、体积 【分析】 利用三视图盆几何体的结构特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可 【解答】 解：由三视图可知几何体是有四分之一个球与一个半圆柱组成，圆柱的底面半径与球的半径相同为： 1，圆柱的高为 2 ，组合体的体积为：= 故选： B 【点评】 本题考查组合体的三视图，组合体的体积的求法，考查计算能力 6如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 2， 8，则输出的 a 等于（ ） A 4 B 0 C 14 D 2 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：根据已知中的程序框图可得， 该程序的功能是计算 2， 8 的最大公约数， 由 2， 8 的最大公约数为 2， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答 7若函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 g（ x）的图象，则下列关于 g（ x）叙述正确的是（ ） A g（ x）的最小正周期为 2 B g（ x）在 内单调递增 C g（ x）的图象关于 对称 D g（ x）的图象关于 对称 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 将函数 f（ x）化简后，由条件根据诱导公式、 y=x+）的图象变换规律， g（ x）的图象，结合三角函数的性质，可得结论 【解答】 解：函数 化简可得： f（ x） = 2x+ ）图象向左平移 个单位，可得： 2x+ + ） = 2x+ ） =g（ x） 最小正周期 T= ， A 不对 由 2x+ ，可得： ， g（ x）在 内单调递增， B 不对 由 2x+ = ，可得 x= ，（ k Z），当 k=0 时，可得 g（ x）的图象的对称轴为 ， C 对 由 2x+ =得 x= ，对称中心的横坐标为（ ， 0）， D 不对 故选 C 【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性质， y=x+）的图象变换规律，属于中档题 8设函数 f（ x）存在导数且满足 ，则曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线斜率为（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【考点】 导数的运算；极限及其运算 【分析】 利用导数的定义可得 f（ 2） =2，再利用几何意义即可得出 【解答】 解：函数 f（ x）存在导数且满足 ， f（ 2） =2， 则曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线斜率为 2 故选： D 【点评】 本题考查了导数的定义与几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9双曲线 的离心率大于 的充分必要条件是（ ） A B m 1 C m 1 D m 2 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据双曲线的标准形式，可 以求出 a=1， b= ， c= 利用离心率 立不等式，解之可得 m 1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案 【解答】 解：双曲线 ，说明 m 0， a=1， b= ，可得 c= ， 离心率 e 等价于 m 1， 双曲线 的离心率大于 的充分必要条件是 m 1 故选 C 【点评】 本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题 10设变量 x， y 满足约束条件 则目标函数 z=3x 4y 的最大值为（ ） A 8 B 6 C 9 D 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ ）， 化目标函数 z=3x 4y，化为 y= ， 由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为6 故选： B 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 11若命题 p：从有 2 件正品和 2 件次品的 产品中任选 2 件得到都是正品的概率为三分之一；命题 q：在边长为 4 的正方形 任取一点 M，则 0的概率为 ，则下列命题是真命题的是（ ） A p q B（ p ） q C p （ q ） D q 【考点】 几何概型 【分析】 分别求出相应的概率，确定 p， q 的真假，即可得出结论 【解答】 解：从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得都是正品的概率为= ，即 p 是假命题； 如图正方形的边长为 4： 图中白色区域是以 直径的半圆 当 P 落在半圆内时， 90； 当 P 落在半圆上时， 0； 当 P 落在半圆外时， 90； 故使 90的概率 P= 即 q 为真命题， （ p ） q 为真命题， 故选： B 【点评】 本题考查概率的计算，考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 12已知函数 f（ x）的定义域为 R， f（ 2） =2021，对任意 x （ ， + ），都有 f（ x） 2x 成立，则不等式 f（ x） 017 的解集为（ ） A（ 2， + ） B（ 2， 2） C（ ， 2） D（ ， + ） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分 析】 构造函数 g（ x） =f（ x） 2017，利用对任意 x R，都有 f（ x） 2x 成立，即可得出函数 g（ x）在 R 上单调性，进而即可解出不等式 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） 2017，则 g（ x） =f（ x） 2x 0， 函数 g（ x）在 R 上单调递减， 而 f（ 2） =2021， g（ 2） =f（ 2）（ 2） 2 2017=0， 不等式 f（ x） 017，可化为 g（ x） g（ 2）， x 2， 即不等式 f（ x） 017 的解集为（ ， 2）， 故选： C 【点评】 本题主要考查了导数的应用，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键 二、填空题 （ 2017白山二模）函数 的定义域是 （ 1， 3） （ 3，+ ） （用区间表示） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 由对数式的真数大于 0，分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合 【解答】 解：要使原函数有意义，则 ，解得： x 1，且 x 3 函数 的定义域是（ 1， 3） （ 3， + ） 故答案为：（ 1， 3） （ 3， + ） 【点评】 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题 14 在 ，已知 a=8， b=5， S 2，则 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 由已知利用三角形面积公式可求 值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解 【解答】 解：在 ， a=8， b=5， S 2= ， 2 2 （ ） 2= 故答案为： 【点评】 本题主要考查了三角形面积公式，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 15若一个棱长为 2 的正 方体的各个顶点均在同一球的球面上，则此球的表面积为 12 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可 【解答】 解：设正方体的棱长为： 2，正方体的体对角线的长为： 2 ，就是球的直径， 球的表面积为： （ ） 2=12 故答案为： 12 【点评】 本题考查球的体积表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是中档题 16已知 x， y 的取值如表： x 0 1 3 4 y a x， y 具有线性相关关系，且回归方程为 ，则 a= 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出样本中心点，代入 ，可得 a 的值 【解答】 解：由题意， = （ 0+1+3+4） =2， = （ a+= （ 15.8+a）， 代入 可得 （ 15.8+a） =2+ a= 故答案为： 【点评】 本题考查回归直线方程的求法，是统计中的一个重要知识点，由公式得到样本中心点在回归直线上是关键 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17（ 10 分）（ 2017白山二模）在数列 ，设 f（ n） = f（ n）满足 f（ n+1） 2f（ n） =2n（ n N*），且 （ 1）设 ，证明数列 等差数列； （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用递推关系可得 ，即可证明 （ 2）利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出 【解答】 （ 1）证明：由已知得 ， 得 ， ， 又 ， ， 首项为 1，公差为 1 的等差数列 （ 2）解：由（ 1）知， ， ， 两边乘以 2，得 ， 两式相减得 =2n 1 n2n=（ 1 n） 2n 1， 【点评】 本题考查了数列递推关系、 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017白山二模）如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形，且 D=2， ， E、 F 分别为 点 （ 1）求点 F 到平面 距离； （ 2）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）取 中点 G，连接 得底面 正方形再由中位线定理可得 E，四边形 平行四边形，则 E，运用线面平行的判定定理可得 平面 F 与点 E 到平面 距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得 平面 可得到所求距离； （ 2）运用线面垂直的判定和性质，证得 平面 平面 由面面垂直的判定定理，即可得证 【 解答】 （ 1）解：如图，取 中点 G，连接 因为底面 菱形，且 D=2， ， 所以底面 正方形 E、 F 分别为 点， ， ， E， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 点 F 与点 E 到平面 距离相等， 由 平面 得 又 ， 平面 则点 F 到平面 距离为 （ 2）证明 ：由（ 1）知 平面 ， 平面 由 面 ， 平面 平面 面 平面 平面 【点评】 本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017白山二模）目前，学案导学模式已经成为教学 中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响，我校随机抽取 100 名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如表所示： 善于使用学案 不善于使用学案 总计 学习成绩优秀 40 学习成绩一般 30 总计 100 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ 知随机抽查这 100 名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是 （ 1）请 将上表补充完整（不用写计算过程）； （ 2）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关？ （ 3）若从学习成绩优秀的同学中随机抽取 10 人继续调查，采用何种方法较为合理，试说明理由 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）由随机抽查这 100 名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生的概率是 得表格； （ 2）计算 临界值比较，可得结论； （ 3）由（ 2）问结果可知，应该采用分层抽样的方法较为合理 【解答】 解：（ 1） 善于使用学案 不善于使用学案 总计 学习成绩优秀 40 10 50 学习成绩一般 20 30 50 总计 60 40 100 （ 2）由上表 故有 把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关 （ 3）由（ 2）问结果可知，应该采用分层抽样的方法较为合理 学习成绩优秀的学生中，善于使用学案与不善于使用学案的人数比例为 4： 1，所以分别从善于使用学案和不善于使用学案的学生中抽取 8 人和 2 人，这样更能有效的继续调查 【点评】 本题考查独立性检验知识，考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017白山二模）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x= 1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A， B 两点 （ 1）求抛物线的标准方程； （ 2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值； （ 3）如果 ，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 （ 1）由抛物线的准线方程可知： ， p=2即可求得抛物线方程； （ 2）设 l： my=x 1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 的值； （ 3）设直线 l 方程， my=x+n，代入 椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 n 的值，可知直线 l 过定点 【解答】 解：（ 1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x= 1， 所以 ， p=2 抛物线的标准方程为 x （ 2）设 l： my=x 1，与 x 联立，得 44=0， 设 A（ B（ y1+m， 4， （ 3）解：假设直线 l 过定点，设 l： my=x+n， ，得 4n=0， 设 A（ B（ y1+m， n 由 ，解得 n= 2， l： my=x 2 过定点（ 2， 0） 【点评】 本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题 21（ 14 分）（ 2017白山二模）已知函数 f（ x） =c， f（ x）在点（ 1，f（ 1）处的切线方程为 x+y+4=0 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）若函数 f（ x）在定义域内恒有 f（ x） 2立，求 k 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数 的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），结合切线方程求出 b， 而求出函数 f（ x）的解析式即可； （ 2）求出函数 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 3）问题转化为 在定义域（ 0， + ）内恒成立，设 ，根据函数的单调性求出 k 的范围即可 【解答】 解：（ 1）由题意，得 ， 则 f（ 1） =1+b， 在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 x+y+4=0， 切线斜率为 1，则 1+b= 1，得 b= 2， 将（ 1， f（ 1）代入方程 x+y+4=0，得 1+f（ 1） +4=0，解得 f（ 1） = 5， f（ 1） =b c= 5，将 b= 2 代入得 c=3， 故 f（ x） =2x 3 （ 2）依题意知函数的定义域是（ 0， + ），且 ， 令 f（ x） 0，得 ，令 f（ x） 0，得 ， 故 f（ x）的单调增区间为 ，单调减区间为 （ 3）由 f（ x） 2 2x 3 2 在定义域（ 0， + ）内恒成立 设 ，则 ， 令 g（ x） =0，得 x=e 2 令 g（ x） 0，得 x e 2，令 g（ x） 0，得 0 x e 2， 故 g（ x）在定义域内有极小值 g（ e 2），此极小值又为最小值 g（ x）的最小值为 ， 所以 k 2 k 的取值范围为（ ， 2 【点评】 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）（ 2017白山二模）在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为（ t 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位），且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中 ，圆 C 的方程为 =4 （ 1