湖北省黄冈市2017届高三3月份质量数学试题（理）含答案

黄冈 市 2017年 高三年级 3月 份质量检测 数学 试题（理科） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . 合 2lo g 4A x x，集 合 2B x x， 则 （ ） A. 0 2， B. 0 2， C. 2 2 ， D. 2 2 ， 数12 复平面内的对应点关于虚轴对称， 若1 12， i 是虚数单位， 则21虚部为（ ） A. 4535 若 0x ， 则 恒成立 ； 命题“若 ， 则 0x ” 的逆否命题为“若 0x ， 则 ” ； “ 命题 为 真 ” 是 “ 命题 为 真 ” 的充分不必要条件； 命题 “ x R x x ， ” 的否定是 “0 0 0 x x x ，” . 其中 正确结论的个数是（ ） 4. 孙子 算 经中有道算术题 ： “ 今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又 三 家 共一鹿适尽，问城中家几何？ ” 意思 是 有 100 头 鹿，每户分 1头 还有 剩余 ；再每 3户 共分 1头 ，正好分完， 问共有多少户人家？设计 框图 如下，则输出的值是（ ） 简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ） 2 ， 则 （ ） A. 43或 0 C. 43双曲线 22 13的 左、右焦点分别为12 双曲线的离心率为 e ， 若双曲线 上 一点 P 使2112F F ， 则 2 2 1F P F F 的 值为（ ） C. 3 D. 2 2x的 图象大致是（ ） A B C D 事件 “ 在 矩形 边 随机取一点 P ， 使 的 最大边是 发生的概率恰好为 35， 则 ） 2 0 1 7 2 2 0 1 6 2 0 1 70 1 2 2 0 1 6 2 0 1 71 2 1 1 1 1x a a x a x a x a x x R ， 则1 2 3 4 2 0 1 6 2 0 1 72 3 4 2 0 1 6 2 0 1 7a a a a a a （ ） C. 4034 矩形 ， 24D， E 为边 中点，将 沿 直线 转成1 构成四棱锥1A 若 M 为 线段1点，在翻转过程中有如下 4个 命题： 平面1 存在某个位置，使1C； 存在某个位置，使1E； 点1径 为 2 的 圆周上运动，其中正确的命 题 个数 是 （ ） 函数 221 1 28 1 2 2x e x x x ， 如在区间 1 ， 上 存在 2个 不同的数1 2 3 nx x x x， ， ， ， 使得比值 12 x f xx x x =成立 ，则 n 的 取值集合是（ ） A. 2 3 4 5， ， ， B. 2 3， C. 2 3 5， ， D. 2 3 4， ， 第 卷（非 选择题 共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 两个平面向量 满足 1a ， 2 21 ， 且 a 与 b 的夹角为 120 ， 则b 数 满足 不等式组： 0022 时 ， 恒有 3ax y 成立 ，则实数 a 的 取值范围是 在 中 ， 1， 2， 点 D 在 线段 ，且 2C ，433， 则 的 面积为 a ， 2 2 0 1 7 2 0 1 6x a x b在 上 恒成立，则 的 最大值为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 1 2a， *1 12a n . （ 1）证明 数列是 等比数列，并求数列 项公式； （ 2） 设4 nn ， 若数列 n 项 和 是求证： 2 图所示的几何体中，平面 平面 四边形 菱形 ， 矩形，3， 2， 1， E 是 点 . （ 1） 求证：平面 平面 （ 2） 在线段 是否存在点 P ， 使二面角 P 的 大小为4？ 若 存在 ，求出 长；若不存在，请说明理由 . 6只 小白鼠有 1只 被病毒感染，需要通过对其化验病毒 确定是否感染 案甲：逐个化验，直到能确定感染为止 6只 分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒 则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒 则在另外 一 组中逐个进行化验 . （ 1） 求依据方案乙所需化验恰好为 2次 的概率 . （ 2） 首次化验化验费为 10 元 ，第二次化验化验费为 8元 ，第三次及其以后每次化验费都是6元 ，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 圆 C 与 x 轴 相 切于点 2 0T ， ， 与 y 轴 正半轴相交于两点 （ 点 M 在 点 N 的下方），且 3. （ 1）求 圆 C 的 方程 ； （ 2）过 点 M 任 作一条直线与椭圆 22184相交 于两点 ， 连接 求证： . 函数 2af x x x x a R . （ 1） 若 0x ， 恒有 f x x 成立 ，求实数 a 的 取值范围； （ 2） 若函数 g x f x x有 两个极值点12 求证：12112ln ln . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 角坐标系 ，以原点 O 为 极点 ， x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系 线 C 的极坐标方程为 2c o s 4 s i n 0 ， P 点 的极坐标为 3 2， 在平面直角坐标系中，直线 点 P ， 斜率为 3 . （ 1） 写出曲线 C 的 直角坐标方程和直线 l 的 参数方程； （ 2） 设直线 l 与 曲线 C 相 交于 两点 ，求 11B的 值 . 函数 2 2 1f x x a x a R . （ 1） 当 1a 时，求 2的 解集； （ 2） 若 21f x x的 解集包含集合 1 12， 求实数 a 的 取值范围 . 黄冈市 2017年三月高三年级调研考试 数学 (理科 )参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C B C A B D C C C B 13、 2 14、 ( ,3 15. 22 16. 2017 17.【解析】 ( )由题设 1 112，数列 ，公比 12q的等比数列 4分 所以 1212 ( ) 22 ， 2 422nn ( ) 41244 2 142n ，注意对任意 *， 12 1 2 所以112所以2 3 11 1 1 1 11 2 ( 1 ) 22 2 2 2 2 18.【解析】 ( )连结 由四边形 菱形，3， E 是 中点 . 所以B ， 因为 四边形 矩形，平面 平面 交线为 所以 平面 又 面 所以 M 又 B A ，所以 平面 又 平面 所以平面 平面 ( )方法 1：由 B ， /D ，故 D ， 因为 四边形 矩形，平面 平面 交线为 D ，所以 平面 以 D 为原点， x 轴建立如图所示的坐标系，则 (0,0,0)D ，( 3, 0, 0)E ， (0,2,0)C ， (0,0,1)N ，设 ( 3 , 1, )（ 01M） ( 3 , 2 , 0 ) ， ( 0 , 1, )E P m ， 平面 平面 法向量为(0, 0,1) 设平面 法向量为， ( , , )n x y z ， 0n E C n E P ，即 3 2 00m z ， 取 1z ， 2( , ,1)3， 假设在线段 存在点 P ， 使二面角 P 的大小为4 则221 2 1c o s | |47| | | | 4 13n D N N m m ，所以点 P 在线段 ，符合题意的点 P 存在，此时 217 ( ) 方法 2：如图所示，假设在线段 存在点 P ， 使二面角 P 的大小为4 延长 ,于点 Q 则 2,过 A 作 Q 于 H ,连结 因为 四边形 矩形，平面 平面 所以 平面 又 平面 ，所以 Q 又 H A , 所以 Q ， 是二面角 P 的平面角， 由题意4，在 中， 1, 2Q, 2 2 2221 2 2 1 2 c o s 7 733Q A E Q E Q E . 由面积公式可得 1 1 21 2 s i 3Q A E A H ，所 以 3 2 177在 中，4， 21 17P A A H A M ， 所以点 P 在线段 ，符合题意的点 P 存在，此时 217 19、【答案】（ 1） 13；（ 2）分布列见解析， 773；试题解析：（ 1）方案乙所需化验恰好为 2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不 含病毒 再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为 353163116,第二种 ,先化验一组，结果含病毒再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为 253163116. 所以依据方案乙所需化验恰好为 2次的概率为 1 1 16 6 3 5分 （ 2）设方案甲化验的次数为 ，则 可能的取值为 1,2,3,4,5,对应的化验费用为 元 ,则 1( 1 ) ( 1 0 ) 6 ， 5 1 1( 2 ) ( 1 8 ) 6 5 6 ， 5 4 1 1( 3 ) ( 2 4 ) 6 5 4 6 ， 5 4 3 1 1( 4 ) ( 3 0 ) 6 5 4 3 6 ， 5 4 3 2 1( 5 ) ( 3 6 ) 6 5 4 3 3 则其化验费用 的分布列为 所以 1 1 1 1 1 7 71 0 1 8 2 4 3 0 3 66 6 6 6 3 3E （元） . 所以甲方案平均需要化验费 773元 12分 考点： 1、离散型随机变量及其分布列； 2、离散型随机变量的期望与方差 20 （）设圆 C 的半径为 ( 0)， 依题意，圆心坐标为 (2, )r | | 3， 2 2 23( ) 22r ，解得 2 254r 圆 C 的方程为 225 2 5( 2 ) ( )24 （）把 0x 代入方程 225 2 5( 2 ) ( )24 ，解得 1y 或 4y ， 即点 (0,1)M ， (0,4)N （ 1）当 AB x 轴时，可知 0A N M B N M （ 2）当 x 轴不垂直时，可设直线 方程为 1y 联立方程22128y ，消去 y 得， 22(1 2 ) 4 6 0k x k x 设直线 椭圆 于1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 12 2412k，12 2612xx k 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 24 4 3 3 2 3 ( )A N B Ny y k x k x k x x x x x x x x x 若 0，即 A N M B N M 1 2 1 2 221 2 1 22 3 ( ) 01 2 1 2x x x x ， A N M B N M 21. （ 1）由 0x ，恒有 ()f x x 成立，即 2， 2对任意 0x 成立 , 记 () ，22 x ， 当 2( 0 , ) , ( ) 0x e H x， () 2( , ) , ( ) 0x e H x ， ()()21()He e ， 所以2212,2a （ 2）函数 ( ) ( )g x f x x有两个相异的极值点12, ( ) g x x a x 有两个不同的实数根 当 0a 时， () ( ) 0不可能有两个不同的实根； 当 0a 时，设 ( ) x x ， 1() ， 当 10 时， ( ) 0， () 当 1， ( ) 0， () 1( ) l n 1 0 ， 1， 不妨设210， 12( ) ( ) 0g x g x， 22x ，11x ，2 1 2 1l n l n ( )x x a x x ， 先证12112ln ，即证 2 1 2 12 1 1 2l n l n 2x x x xx x x x ，即证 222 2 1 2 11 1 2 1 21l n ( )x x x x xx x x x x ， 令211xt x，即证 11 )2，设 11( ) l n ( )2t t t t ， 则 22 2 1 ( 1 )( ) 022t t tt ，函数 ()t 在 (1, ) 单调递减， ( ) (1) 0t，12112ln ，又 10 a e ， 1， 1211 2l n l n 考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用 22. 解：（）曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 4， P 点的极坐标为： (3, )2P ，化为直角坐标为 (0,3)P 直线 l 的参数方程为c o s ，即12332 (t 为参数 ) （）将 l 的参数 方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 21 1 2 2 34 ， 整理得： 2 8 3 4 8 0 ， 显然有 0 ，则12 48，1283， 1 2 1 2| | | | | | | | | | 4 8P A P B t t t t ，21 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | ( ) 4 8 6P A P B t t t t t t t t ， 所以 1 1 | | | | 6| | | | | | | | 6P A P P B P A P B 23.（ 1）当 1a 时， ( ) | 2 1 | | 2 1 |f x x x ， 11( ) 2 | | | | 122f x x x ， 上述不等式化为数轴上点 x 到两点 12， 12距离之和小于等于 1， 则 1122x ， 即原 不等式的解集为 11 , 22（ 2） ( ) | 2 1 |f x x的解集包含 1 ,12，当 1 ,12x时，不等式 ( ) | 2 1 |f x x恒成立， 即在 1 ,12x上恒成立， | 2 | 2 1 2 1x a x x ， 即 | 2 | 2， 2 2 2 2x a x 在 1 ,12x上恒成立， m a x m i n( 2 2 ) ( 2 2 )x a x ， 03a. 黄冈市 2017年三月高三年级调研考试 数学 (理科 )参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C B C A B D C C C B 13、 2 14、 15. 16. 2017 17.【解析】 ( )由题设 ，数列 是首项为 ，公比 的等比数列 4分 所以 6分 ( ) ，注意对任意 ， 所以 8分 所以 12 分 18.【解析】 ( )连结 由四边形 是菱形， ， 是 的中点 . 所以 2分 因为 四边形 是矩形，平面 平面 且交线为 以 平面 ，又 面 ，所以 4分 又 ，所以 面 面 以平面 面 6分 ( )方法 1：由 为 四边形 是矩形，平面 平面 且交线为 以 面 ；以 轴建立 如图所示的坐标系，则 D（ 0， 0， 0）， E（ ， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， N（ 0， 0， 1），设P（ ， m）（ ） ， ,面 ，平面 。 8 分 设平面 ， ，即 ，取 z=1, ,。 10 分 假设在线段 上存在点 ， 使二面角 的大小为 则所以点 在线段 上 ，符合题意的点 存在，此时 12分 ( ) 方法 2：如图所示，假设在线段 上存在点 ， 使二面角 的大小为 延长 交于点 则 ,过 作 于 ,连结 因为 四边形 是矩形，平面 平面 ， 所以 平面 ，又 在平面 内，所以 又 , 所以 ， 是二面角 的平面角， 8分 由题意 ，在 中， , . 由面积公式可得 ，所以 .。10分 在 中， ， , 所以点 在线段 上 ，符合题意 的点 存在，此时 12 分 19、【答案】（ 1） ；（ 2）分布列见解析， ；试题解析：（ 1）方案乙所需化验恰好为 次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不 含病毒 ,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为 ,第二种 ,先化验一组，结果含病毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为 . 所以依据方案乙所需化验恰好为 次的概率为 5分 （ 2）设方案甲化验的次数为 ，则 可能的取值为 ,对应的化验费用为 元 ,则 , , 9分 则其化验费用 的分布列为 所以 （元） . 所以甲方案平