2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷含答案解析

2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x R|x| 2， B=x R|x+1 0，则 A B=（ ） A（ 2， 1 B 1， 2） C 1， + ） D（ 2， + ） 2已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z =（ ） A 25 B 5 C D 3已知 a， b 为实数，则 “a=0”是 “f（ x） =x2+a|x|+b 为偶函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 a 0，且 a 1，若 1，则（ ） A b B b C a b D a b 5已知 p 0， q 0，随机变量 的分布列如下： p q P q p 若 E（ ） = 则 p2+ ） A B C D 1 6已知实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=y 2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A 1 B 1 C D 7已知抛物线 p 0）的焦点为 F，过点 M（ p， 0）的直线交 抛物线于A， B 两点，若 =2 ，则 =（ ） A 2 B C D与 p 有关 8向量 ， 满足 | |=4， （ ） =0，若 | |的最小值为 2（ R），则 =（ ） A 0 B 4 C 8 D 16 9记 x， y= 设 f（ x） =则（ ） A存在 t 0， |f（ t） +f（ t） | f（ t） f（ t） B存在 t 0， |f（ t） f（ t） | f（ t） f（ t） C存在 t 0， |f（ 1+t） +f（ 1 t） | f（ 1+t） +f（ 1 t） D存 在 t 0， |f（ 1+t） f（ 1 t） | f（ 1+t） f（ 1 t） 10如图，在正方体 ，棱 中点为 P，若光线从点 P 出发，依次经三个侧面 射后，落到侧面 包括边界），则入射光线 侧面 成角的正切值的范围是（ ） A（ ， ） B（ ， 4） C（ ， ） D（ ， ） 二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11双曲线 =1 的焦点坐标为 ，离心率为 12已知某几何体的三视图 如图所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 13已知等差数列 等比数列 前 n 项和为 n N*），若 n，b1=b2= ， 14在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 A= ， b= ， 面积为 ，则 c= ， B= 15将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为 （用具体的数字作答） 16已知正实数 x， y 满足 x+3y=42，则 x+4y 的最小值为 17已知 a， b R 且 0 a+b 1，函数 f（ x） =x2+ax+b 在 ， 0上至少存在一个零点，则 a 2b 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18已知函数 f（ x） =22x ） （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在（ 0， ）上的单调递增区间 19如图，已知三棱锥 P 平面 0， 0， C，M 为 中点 （ ）求证： （ ）求二面角 M B 的大 小 20已知函数 f（ x） = x+b（ a， b R） （ ）当 a=2， b=0 时，求 f（ x）在 0， 3上的值域 （ ）对任意的 b，函数 g（ x） =|f（ x） | 的零点不超过 4 个，求 a 的取值范围 21已知点 A（ 2， 0）， B（ 0， 1）在椭圆 C： + =1（ a b 0）上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） P 是线段 的点，直线 y= x+m（ m 0）交椭圆 C 于 M、 N 两点，若 斜边长为 的直角三角形，求直线 方程 22已知数列 足 0， ，且（ n+1） 2=n N*） （ ）证明： 1； （ ）证明： + + （ n 2） 2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x R|x| 2， B=x R|x+1 0，则 A B=（ ） A（ 2， 1 B 1， 2） C 1， + ） D（ 2， + ） 【考点】 交集及其运算 【分析】 由绝对值不等式的解法 求出 A，由交集的运算求出 A B 【解答】 解：由题意知， A=x R|x| 2=x| 2 x 2=（ 2， 2）， B=x R|x+1 0=x|x 1= 1， + ）， 则 A B= 1， 2）， 故选 B 2已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z =（ ） A 25 B 5 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由 求解 【解答】 解： z= = ， z = 故选： D 3已知 a， b 为实数，则 “a=0”是 “f（ x） =x2+a|x|+b 为偶函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可 【解答】 解： a=0 时， f（ x） =x2+b 为偶函数，是充分条件， 由 f（ x） =（ x） 2+a| x|+b=f（ x），得 f（ x）是偶函数， 故 a=0”是 “f（ x） =x2+a|x|+b 为偶函数 ”的充分不必要条件， 故选： A 4已知 a 0，且 a 1，若 1，则（ ） A b B b C a b D a b 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 对 a 进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四个不等式关系成立与否可得答案 【解答】 解：当 a （ 0， 1）时，若 1，则 b 0， 则 a b 不成立， 当 a （ 1， + ）时，若 1，则 b 0， 则 b 不成立， a b 不一定成立， 故选： A 5已知 p 0， q 0，随机变量 的分布列如下： p q P q p 若 E（ ） = 则 p2+ ） A B C D 1 【考点 】 离散型随机变量及其分布列 【分析】 由随机变量 的分布列的性质列出方程组，能求出结果 【解答】 解： p 0， q 0， E（ ） = 由随机变量 的分布列的性质得： ， p2+ q+p） 2 2 = 故选： C 6已知实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=y 2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A 1 B 1 C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解 a 值 【解答】 解：作出不等式组 表示的平面区域，如图所示： 令 z=y 2x，则 z 表示直线 z=y 2x 在 y 轴上的截距，截距越大， z 越大， 结合图象可知，当 z=y 2x 经过点 A 时 z 最大， 由 可知 A（ 4， 1）， A（ 4， 1）在直线 y+a=0 上，可得 a=1 故选： B 7已知抛物线 p 0）的焦点为 F，过点 M（ p， 0）的直线交抛物线于A， B 两点，若 =2 ，则 =（ ） A 2 B C D与 p 有关 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线方程为 x=my+p，代入 得 22，利用向量条件，求出 A， B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论 【解答】 解：设直线方程为 x=my+p，代入 得 22 设 A（ B（ 则 y1+ 2 =2 ， （ p =2（ p， 2x2+p， 2 可得 y2=p， 2p， p， p， = = ， 故选 B 8向量 ， 满足 | |=4， （ ） =0，若 | |的最小值为 2（ R），则 =（ ） A 0 B 4 C 8 D 16 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 向量 ， 满足 | |=4， （ ） =0，即 = | |= = 2（ R），化为： 1622 + 4 0 对于 R 恒成立，必须 0，解出即可得出 【解答】 解：向量 ， 满足 | |=4， （ ） =0，即 = 若 | |= = 2（ R）， 化为： 162 2 + 4 0 对于 R 恒成立， = 64（ 4） 0，化为 0， =8 故选： C 9记 x， y= 设 f（ x） =则（ ） A存在 t 0， |f（ t） +f（ t） | f（ t） f（ t） B存在 t 0， |f（ t） f（ t） | f（ t） f（ t） C存在 t 0， |f（ 1+t） +f（ 1 t） | f（ 1+t） +f（ 1 t） D存在 t 0， |f（ 1+t） f（ 1 t） | f（ 1+t） f（ 1 t） 【考点】 分段函数的应用；函数与方程的综合运用 【分析】 求出 f（ x）的解析式，对 t 的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的 单调性和值域，从而得出答案 【解答】 解： x3=1 x）， 当 x 1 时， 0，当 x 1 时， 0， f（ x） = 若 t 1，则 |f（ t） +f（ t） |=| t） 3|=| |f（ t） f（ t） |=|t2+t2+ f（ t） f（ t） = t） 3=t2+ 若 0 t 1， |f（ t） +f（ t） |=| t） 3|=0， |f（ t） f（ t） |=|t3+2 f（ t） f（ t） = t） 3=2 当 t=1 时， |f（ t） +f（ t） |=|1+（ 1） |=0， |f（ t） f（ t） |=|1（ 1） |=2， f（ t） f（ t） =1（ 1） =2， 当 t 0 时， |f（ t） +f（ t） | f（ t） f（ t）， |f（ t） f（ t） |=f（ t） f（ t）， 故 A 错误， B 错误； 当 t 0 时，令 g（ t） =f（ 1+t） +f（ 1 t） =（ 1+t） 2+（ 1 t） 3= t+2， 则 g（ t） = 3t 1，令 g（ t） =0 得 3t 1=0， =64 12=52， g（ t） 有两个极值点 g（ t）在（ + ）上为减函数， 存在 得 g（ 0， |g（ | g（ 故 C 正确； 令 h（ t） =（ 1+t） f（ 1 t） =（ 1+t） 2（ 1 t） 3=2t， 则 h（ t） =34t+5=3（ t ） 2+ 0， h（ t）在（ 0， + ）上为增函数， h（ t） h（ 0） =0， |h（ t） |=h（ t），即 |f（ 1+t） f（ 1 t） |=f（ 1+t） f（ 1 t）， 故 D 错误 故选 C 10如图，在正方体 ，棱 中点为 P，若光线从点 P 出发，依次经三个侧面 射后，落到侧面 包括边界），则入射光线 侧面 成角的正切值的范围是（ ） A（ ， ） B（ ， 4） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 作点 P 关于平面 对称点 用极限分析法 【解答】 解：根据线面角的定义，当入射光线在面 入射点离点 B 距离越近，入射光线 侧面 成角的正切值越大， 如图 所示，此时 ， 结合选项，可得入射光线 侧面 成角的正切值的范围是（ ， ）， 故选： C 二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11双曲线 =1 的焦点坐标为 （ 4， 0），（ 4， 0） ，离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案 【解答】 解： 双曲线 =1， c2=a2+12=16， c=4， 双曲线 =1 的焦点坐标为（ 4， 0），（ 4， 0）， 离心率 e= = =2， 故答案为：（ 4， 0），（ 4， 0）， 2 12已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 2+2 ，体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 如图所示，该几何体为三棱锥， P 中 底面 A=2， ， 即可得出 【解答】 解：如图所示，该几何体为三棱锥， P 中 底面 ， ， 该几何体的表面积 S= + + =2+2 ， 体积 V= = 故答案为： 2+2 ， 13已 知等差数列 等比数列 前 n 项和为 n N*），若 n，b1=b2= 3n 1 ， 【考点】 等比数列的前 n 项和；等差数列的前 n 项和 【分析】 利用 =n 2 时， n 1，可得 b2=，公比 q=4再利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解： = n 2 时， n 1= n =3n 1 n=1 时也成立， n 1 b2=，公比 q= =4 = 故答案为： 3n 1， 14在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 A= ， b= ， 面积为 ，则 c= 1+ ， B= 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用三角形面积公式可求 c，利用余弦定理可求 a，进而可求 合 B 的范围即可求得 B 的值 【解答】 解： A= ， b= ， 面积为 = c ， 解得： c=1+ ， 由余弦定理可得： a= =2，可得： = ， B （ 0， ）， B= 故答案为： 1+ ， 15将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为 288 （用具体的数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，分 2 种情况讨论： 、 3 个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目， 、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 2 种情况讨论： 、 3 个男同学均不相邻， 将三名女同学全排列，有 种排法，排好后有 4 个空位， 在 4 个空位 中，任选 3 个，安排 3 个男同学，有 4 种安排方法， 此时共有 6 24=144 种不同的排法； 、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑 2 人的顺序，有 种情况， 将三名女同学全排列，有 种排法，排好后有 4 个空位， 在 4 个空位中，任选 2 个，安排甲和这 2 个男同学，有 2 种安排方法， 此时共有 2 6 12=144 种不同的排法； 则共有 144+144=288 种不同的排法； 故答案为： 288 16已知正实数 x， y 满足 x+3y=42，则 x+4y 的最小值为 55 【考点】 基本不等式 【分析】 正实数 x， y 满足 x+3y=42，可得 y= 0，解得 0 x 21则x+4y=3x+y+42=3x+ +42=3 +31，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： 正实数 x， y 满足 x+3y=42， y= 0， x 0，解得 0 x 21 则 x+4y=3x+y+42=3x+ +42=3 +31 3 +31=55，当且仅当 x=1， y=10 时取等号 x+4y 的最小值为 55 故答案为： 55 17已知 a， b R 且 0 a+b 1，函数 f（ x） =x2+ax+b 在 ， 0上至少存在一个零点，则 a 2b 的取值范围为 0， 3 【考点】 二次函数的性质 【分析】 列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案 【解答】 解：由题意，要使函数 f（ x） =x2+ax+b 在区间 ， 0有零点， 只要 ，或 ， 其对应的平面区域如下图所示： 则当 a=1， b= 1 时， a 2b 取最大值 3， 当 a=0， b=0 时， a 2b 取最小值 0， 所以 a 2b 的取值范围为 0， 3； 故答案为： 0， 3 三、解答题（ 本大题共 5 小题，共 74 分） 18已知函数 f（ x） =22x ） （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在（ 0， ）上的单调递增区间 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为 y=x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期， （ ）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间 【解答】 解：（ ）函数 f（ x） =22x ） 化简可得： f（ x） =1 +2x ） 函数的最小正周期 T= （ ）由 ， k Z， 得 x f（ x）在（ 0， ）上的单调递增区间为（ 0， 19如图，已知三棱锥 P 平面 0， 0， C，M 为 中点 （ ）求证： （ ）求二面角 M B 的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）通过证明 到 面 可 （ ）取 点 O，连结 O 作 H，连结 为 M 是 二面角 M B 的平面角在 ，球 【解答】 解：（ ）证明：由 平面 又因为 0，即 面 （ ）取 点 O，连结 O 作 H，连结 为 M 是 以 又因为 面 面 二面角 M B 的平面角 设 ，则 ， ， ， 在 ， 二面角 M B 的大小为 300 20已知函数 f（ x） = x+b（ a， b R） （ ）当 a=2， b=0 时，求 f（ x）在 0， 3上的值域 （ ）对任意的 b，函数 g（ x） =|f（ x） | 的零点不超过 4 个，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）当 a=2， b=0 时，求得 f（ x），求导，利用导数求得 f（ x）单调区间，根据函数的单调性即可求得 0， 3上的值域； （ ）由 f（ x） =2，则 =412，根据 的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得 a 的取值范围 【解答】 解：（ ）当 a=2， b=0 时， f（ x） = 2x，求导， f（ x） =4x+3=（ x 1）（ x 3）， 当 x （ 0， 1）时， f（ x） 0，故函数 f（ x）在（ 0， 1）上单调递增， 当 x （ 1， 3）时， f（ x） 0，故函数 f（ x）在（ 1， 3）上单调递减， 由 f（ 0） =f（ 0） =0， f（ 1） = ， f（ x）在 0， 3上的值域为 0， ； （ ）由 f（ x） =2，则 =412， 当 0，即 3 时， f（ x） 0， f（ x）在 R 上单调递增，满足题意， 当 0，即 3 时，方程 f（ x） =0 有两根，设两根为 x1+a， ， 则 f（ x）在（ ， （ + ）上单调递增， 在（ 单调递减， 由题意可知丨 f（ f（ ， 丨 a（ +3（ ， 化简得： （ 3） ，解得： 3 4， 综合 ，可得 4， 解得： 2 a 2 a 的取值范围 21已知点 A（ 2， 0）， B（ 0， 1）在椭圆 C： + =1（ a b 0）上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） P 是线段 的点，直线 y= x+m（ m 0）交椭圆 C 于 M、 N 两点，若 斜边长为 的直角三角形，求直线 方程 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由直线可知：椭圆的焦点在 x 轴上，又过点 A， B，即可求得 a 和b 的值，求得椭圆方程； （ ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨 ，分类，当 斜边时， = ，即可求得 m=0，满足题意，当 直角边时，两平行线 距离 d= 丨 m 1 丨，利用勾股定理即可求得 m 的值，求得直线方程 【解答】 解：（ ）由题意可知：椭圆 C： + =1（ a b 0）焦点在 x 轴上，由点 A（ 2， 0）， B（ 0， 1）， 则 a=2， b=1