山西省太原市2017届高三模拟考试数学理科试题（一）含答案

山西省太原市 2017 届高三模拟考试（一） 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 1A x y lg x ， 2B ，则 （ ） A 2,0 B 0,2 C. 1,2 D 2, 1 2. 已知 2zi i，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A 1, 2 B 1,2 C. 1, 2 D 1,2 3已知n 项和，则 1 3 5 8 1 03 3 6a a a a a a ，则11S （ ） A 66 B 55 D 33 4已知 1 , , , 1a c o s a b s in a，且 0 ，若 ，则 （ ） A 23B 34C. 4D6 图像大致为 （ ） A B C. D 6. 已知圆 22:1C x y,直线 :2l y k x,在 1,1 上随机选取一个数 k ,则事件 “ 直线 相离 ” 发生的概率为 （ ） A 12B 222 2327. 执行 如图 的程序框图，已知输出的 0,4s 。若输入的 ,t ，则实数 的最大值为 （ ） A 1 B 2 D 4 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ） A 61 B 2 4 2 14 C. 2 3 2 142 D 2 3 2 14 9. 已知 2 0 , 2 0 ,3 6 0x y x ， 给出下列四个命题 : 1 : , , 1 0P x y D x y 2 : , , 2 2 0P x y D x y 3 1: , , 41yP x y D x 224 : , , 2P x y D x y 其中真命题的是 （ ） A12,3,24,4,已知抛物线 2 4的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于 两点， O 为坐标原点，若 的面积为 26，则 （ ） A 6 B 8 C. 12 D 16 11. 已知函数 30f x s i n w x c o s w x w ，若方程 1 在 0, 上有且只有四个实数根，则实数 w 的取值 范围 为 （ ） A 13 7,62 B 7 25,26 C. 25 11,62 D 11 37,26 12. 设函数 23 202f x x a x a与 2f x a b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数 b 的最大值为 （ ） A21212132e第 卷（共 90 分） 二、填空题 （每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 1 1 , , 1a b t ， ,若 /a b a b,则实数 t 14. 已知双曲线经过点 1,2 2 ，其一条渐近线方程为 2，则该双曲线的标准方程为 15. 已知三棱锥 A 中， , 2 , 1 , 3B C C D A B A D B C C D ，则该三棱锥外接球的体积为 16. 已知数列 *111 , 2 3 1a a n n N ， 则其前 n 项和 = 三、解答题 （本大题共 6 小 题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知 ,的内角 ,对的边 ， 2,a b c. （ 1） 证明 ： 2 ； （ 2） 若 2 2 2 2a c b a c ,求 A . 18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。某汽车经销商退出 ,种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图。已知从 ,种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1辆所获得的利润分别是 1万元， 2万元， 3万元。现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方 式各购买此品牌汽车一辆。以这 100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替 1 位客户采用相应分期付款方式的概率。 （） 求甲乙两人采用 不同分期付款方式的概率； （） 记 X （单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求 X 的分布列和期望。 19. 如图，在几何体 ，四边形 菱形，平面 /E , 2 2 , 3D F B E E F . （ 1） 证明：平面 平面 （ 2） 若二面角 A 是直二面角，求 平面 成角的正切值。 20. 已知椭圆 22:1()0a 的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角形的三个顶点，点 312D，在椭圆 C 上，直线 y kx m与椭圆交于 , x 轴， y 轴分别相交于点 N 合点 M ，且 N ，点 Q 时 点 P 关于 x 轴的对称点， 延长线交椭圆于点 B ，过点 ,x 轴的垂线，垂足分别为11,（ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 是否存在直线 l ，使得点 N 平分线段11,若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由。 21. 已知函数 422 ff x I n x a x a 在 2x 处的切线经过点 4, 2 （ 1） 讨论函数 （ 2） 若不等式22 11 恒成立，求实数 m 的取值范围 . ，曲线1 ，其中 为参数，曲线22 2: 2 0x y ， 以原点 O 为极点 ， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 :0l 与曲线12,异于 原点 O ) （ 1） 求曲线12,坐标方程； （ 2） 当 02a 时，求 22B 的取值范围 . 数 1 02f x x a （ 1） 若不等式 1f x xf m 恒成立，求实数 m 的最大值 （ 2） 当 1 2a时 ，函数 | 2 |1g x f x x 有零点，求实数 a 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 14. 22 14y x6. 21 3724 2nn 三、解答题 17.（ 1） 2a , 由正弦定理得 22s s c o s B s . 2或 2 当 2时 ,即 与 矛盾 ,舍去 . 2 （ 2） 由 2 2 2 2a c b a c 及余弦定理及诱导公式得2s c o s B s , 即 =2,2A 18.（） 3510 0 . 50 3， 4510 0 . 50 4， 2010 0 甲乙两人采用不同分期付款方式的概率为： 1 0 . 6 3 5P A P A P B P B P C P C （） 0 . 1 2 2 5 2 0 . 3 1 5 3 0 . 3 4 2 5 4 0 . 1 8 5 0 . 0 4 6 3 . 7 19.（ 1） 证明： 四边形菱形 ， D 平面 C 平面 平面 平面 平面 （ 2） (向量）解：以点 O 为原点 ， 向为 x 轴， 向为 y 轴， 向为 z 轴建立空间直角坐标系，如图 。 做 中点 H ， 连接 因为 行且等于 1. 所以四边形 平行四边形 因为在 中， 1, 3F，所以 22，所以22 设 为 a ，则各点坐标为 2 2 , 0 , 0； 0, 2,1E ； 0, 2, 2F ； 2 2 , 0 , 0 所以 2 2 , 2A E a ； 0 , 2 2 ,1 ； 2 2 , 2 , 1C E a设 1 1 1 1,n x y z为面 法向量； 2 2 2 2,n x y z为面 法向量。 所以1 0n ；1 0n 得1 1 1 12322 2 ,2z y x 令 21 2得 221 3 2 , 2 , 2 2 4n a a 同理得 222 3 2 , 2 , 2 2 4n a a 因为二面角 A 是直二面角，所以120得 2a 由题可得： 为 平面 夹角 因为 2, 1E 所以 1t a B (几何） 四边形 菱形 ， ,A D F C D F A B E C B E ,A F C F A E C E， 过 A 作 F ，连接 则 为 A 二面角的平面角 设菱形的边长为 a 1, 2 , 3B E D F E F ,D ， 22 在 中， 2 2AO a， 222AC a A 二面角为直角 ， 为直角 224AM a 在 中 ， F ，设 AM x ，则 3MF x 224 , 1a A EA 222 2 224 3 1a x a x 2a 平面 成角为 120.（ 1） 由题意 知 3即 3， 2 2 2 24 , 3a c b c， 即 22143 31,2在 椭 圆 上 ， 22914 143， 2 2 21, 4 , 3c a b 所以椭圆 C 方程为22143（ 2） 存在 设 ,0 , 0, m N ， = N , 2 , , 2m Q , 1 1 2 2, , ,A x y B x kx m 2 2 23 4 8 4 1 2 0k x k m x m 1 2834m ， 21 24 1 234 2 30 联立221334 2 2 23 3 6 4 1 224 0k x k m x m 2 222 4 8=3 3 6 1 1 2m k m k mx k k k 12 22881 1 2 3 4m m k m k k k k k 12 228 8 21 1 2 3 4k m k m k k k 若 N 平分线段11222 8 8 21 1 2 3 4m k m k m mk k k k 即22881 1 2 3 4km ， 221 1 2 3 4 ， 2k 2 14k 把，代入，得2 3 2 1,77 所以直线 l 的方程为 1 2127或 1 2 127 21.（ 1） 2422 ff x 令 2x 2 1 2f a f 1a 设切点为 2 , 2 2 2 2 2In a f 2 2 2 2 2 2 2y I n a f f x 代入 4,2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 6 2I n I n a f f 12 4f 2212 10 0, 单调递减 （ 2）22 11 恒成立 221121 xI n x 令 212 n 2222 1 11 1 0x x x x x 在 0, 单调递减 10 0 , 1 , 01 , , 0 211 在 0, 恒大于 0 0m 22.（ 1）12 12x y，1 2 20 2 （ 2） 联立 ( 0) 与1221 联立 ( 0) 与2 24 OB 则 222 222224 s i n 4 1 s i n 41 s i n 1 s i O B 21 s i n , 1 , 2 则 2 2 2 44O A O B ，在 1,2