2016年高考数学理试题分类汇编08：圆锥曲线

2016 年高考数学理试题分类汇编 圆锥曲线 一、选择题 1、（2016 年四川高考）设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 上任意一点，M 是线段2(p0)yx PF 上的点，且 =2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为MF （A） （B） （C） （D ）1322 【答案】C 2、（2016 年天津高考）已知双曲线 （b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与 24=1xy 双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C 、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 243=1yx234=1yx24=1xyb24=1xy 【答案】D 3、（2016 年全国 I 高考）已知方程 =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取 x2m2+n y23m2n 值范围是 （A）(1,3) （B）(1, ) （C）(0,3) （D ）(0, )3 3 【答案】A 4、（2016 年全国 I 高考）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知 |AB|= ，|DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为25 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 【答案】B 5、 （ 2016 年全国 II 高考）圆 28130xy的圆心到直线 10axy的距离为 1，则 a=（ ） （A） 43 （B ） 34 （C） （D）2 【答案】A 6、 （ 2016 年全国 II 高考）圆已知 12,F是双曲线 2:1xyEab 的左，右焦点，点 M在 E上， 1F与 x轴垂 直， 21sin3MF,则 E 的离心率为（ ） （A） （B） （C） 3 （D）2 【答案】A 7、（2016 年全国 III 高考）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 21(0)xyab 的左焦点， A， B 分别为 C 的左，右顶点. P 为 C 上一点，且 Fx轴.过点 A 的直线 l 与线段 P交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点，则 C 的离心率为 （A） 13（B） 12（C） 3（D） 4 【答案】A 8、（2016 年浙江高考） 已知椭圆 C1： +y2=1(m1)与双曲线 C2： y2=1(n0)的焦点重合，e 1，e 2 分别xx 为 C1，C 2 的离心率，则 Am n 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Dm(,m 由 得 ，所以 在点 处的切线 的斜率为 ，yx2=xEPlm 因此切线 的方程为 ，l2= 设 ， ，),(),(21yxBA),(0yxD 将 代入 ，得=my1=4+2 0)4+1232x 于是 ， ，221=mx 2 32104+=mx 又 ，)4+(20y 于是 直线 的方程为 ODxmy1= 联立方程 与 ，得 的坐标为 xmy41=M)41(m, 所以点 在定直线 上M （ii）在切线 的方程为 中，令 ，得 ，l2=xy0=x2y 即点 的坐标为 ，又 ， ，G)m(0, 2)P(,)1F(, 所以 ；41+=21S 2F 再由 ，得)(m,4D(22 3 )1+4(8=1+1=S2232 于是有 221)(4m 令 ，得1+=2t 222 1+= )(1=Stt 当 时，即 时， 取得最大值 tt2149 此时 ， ，所以 点的坐标为 21=mP)1,2( 所以 的最大值为 ，取得最大值时点 的坐标为 21S49)4,P( 3、（2016 年上海高考） 有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到 点或河EFGHF 边运走。于是，菜地分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到 点较近，而1S21S2S 菜地内 和 的分界线 上的点到河边与到 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 为 的1S2C OE 中点，点 的坐标为（1,0），如图F （1）求菜地内的分界线 的方程C （2）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积的“经验值”为 。设 是 上纵坐1S2 1S38MC 标为 1 的点，请计算以 为一边、另一边过点 的矩形的面积，及五边形 的面积，并判断哪一EHMEOGH 个更接近于 面积的经验值S 【解析】 （1）因为 上的点到直线 与到点 的距离相等，所以 是以 为焦点、以CFCF 为准线的抛物线在正方形 内的部分，其方程为 （ ）G24yx02y （2）依题意，点 的坐标为 1,4 所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 5214 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ，而五边形面积与“经验值”之差58236 的绝对值为 ，所以五边形面积更接近于 面积的“经验值”184321S 4、（2016 年上海高考）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交于 两点。 21(0)yxb12F、 l2FAB、 （1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；l21FAB （2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率. 3bl1()0FABl 【答案】（1） （2） .yx5 【解析】（1）设 ,xyA 由题意， ， ， ，2F,0c21b241cbA 因为 是等边三角形，所以 ，13y 即 ，解得 2443b2 故双曲线的渐近线方程为 yx （2）由已知， ， 1F2,02, 设 ， ，直线 显然 1,xyAy:l2ykx0k 由 ，得 23ykx22343k 因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 l 202610k 设 的中点为 A,xy 由 即 ，知 ，故 1F01FA1F1Fk 而 ， ， ， 23xk263ykxk123 所以 ，得 ，故 的斜率为 231k25l5 5、（2016 年四川高考）已知椭圆 E： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 22+22=1(0) 个顶点，直线 l:yx+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. （I）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （II）设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常 数 ，使得PT 2=PA PB ，并求 的值. 有方程组 得 . 21,3xyb22(18)0xb 方程的判别式为 ，由 ，得 ，2=4(3)b=023b 此方程的解为 ，x 所以椭圆 E 的方程为 . 2163y 点 T 坐标为（2,1）. 由得 . 21214=,33mxx 所以 ，221115()()3mPAyx 同理 ，2523mBx 所以 12()()43Px21215()()43mx 22541()()433mm .2109 故存在常数 ，使得 .52PTAB 6、（2016 年天津高考）设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知13 2yax3aFA ，其中 为原点， 为椭圆的离心率.|1|FAeOOe （）求椭圆的方程； （）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交lBxllMy 于点 ，若 ，且 ，求直线的 斜率的取值范围.HFBMOA 【解析】 （2）（）解：设直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 .设 ，由方程组lk0l)2(xky),(By ，消去 ，整理得 . )(1342xkyy 0161)34(222kx 解得 ，或 ，由题意得 ，从而 .234682k3482kxB 342kyB 由（）知， ，设 ，有 ， .由 ，得)0,1(F),(Hy),1(HF)1,9(22kFHFB ，所以 ，解得 .因此直线 的方程为 .HB0341292kky4Mkxy1249 设 ，由方程组 消去 ，解得 .在 中，),(Myx)2(1492xkyky)1(290kxMAO ，即 ，化简得 ，即 ，解得|OAOA 22Mx1)(290k 或 .46kk 所以，直线 的斜率的取值范围为 .l ),46,( 7、（2016 年全国 I 高考）设圆 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交2150xy 圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；E （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点， 求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 【解析】（）因为 ， ，故 ，|ADEB/ ADC 所以 ，故 .|EB | AD 又圆 的标准方程为 ，从而 ，所以 .A16)(2yx4| 4|EB 由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为： （ ）.)0,1(,|AB 13 2yx0 8、（2016 年全国 II 高考）已知椭圆 :E 213xyt 的焦点在 x轴上， A是 E的左顶点，斜率为 (0)k的 直线交 E于 ,AM两点，点 N在 上， MAN （）当 4|t时，求 的面积； （）当 2时，求 k的取值范围 【解析】 当 时，椭圆 E 的方程为 ，A 点坐标为 ，4t 2143xy20 则直线 AM 的方程为 yk 联立 并整理得， 2143xyk222341610kxk 解得 或 ，则2x 286k222813434AMk 因为 ，所以AMN 2 221141334Akk 因为 ， ，0k 所以 ，整理得 ， 222114343k2140kk 无实根，所以 240k 所以 的面积为 AMN 2211349A 直线 AM 的方程为 ，ykxt 联立 并整理得， 213xtykt22330tkxtktt 解得 或 ，xt 2tkt 所以 22 2236113tttAMkkk 所以 263tNk 因为 A 所以 ，整理得， 222661133ttkk 236kt 因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以 ，即 ，整理得t 23k2310k 解得 32k 9、（2016 年全国 III 高考）已知抛物线 C： 2yx的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 12,l分别交 C于AB 两点，交 C的准线于 PQ两点 （I）若 F在线段 A上， R是 的中点，证明 ARQ； （II）若 PQF的面积是 AB的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程. 10、（2016 年浙江高考）如图，设椭圆 （a1）. 2xy （ I） 求 直 线 y=kx+1 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 （ 用 a、 k 表 示 ） ； （ II）