2016教师资格证数学学科知识与教学能力(高中数学)

第一章 课程知识 1. 高中数学课程的地位和作用： 1 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的 内容，是培养公民素质的基础课程。 2 高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解 决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 3 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 4 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 2. 高中数学课程的基本理念： 1 高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。 2 高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、 特长提供空间。 3 让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。 4 提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学 习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。 5 强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探 究、数学建模。 6 重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本 质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。 7 强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；新课标强调了数学文化 的重要作用。 8 全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价 和过程性评价。 3. 高中数学课程的目标： 1 总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要 的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 2 三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观 3 把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。 4 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理 能力 4. 高中数学课程的内容结构： 1 必修课程（每模块 2 学分，36 学时）：数学 1（集合、函数） 、数学 2（几何） 、数学 3（算法、统计和概率） 、数学 4（三角函数、向量） 、数学 5（解三角形、数列、不等 式） 2 选修课程（每模块 2 学分，36 学时；每专题 1 学分，18 学时）： 选修系列 1（文科系列，2 模块）：1-1（“或且非” 、圆锥曲线、导数） 、1-2（统 计、推理与证明、复数、框图） 选修系列 2（理科系列，3 模块）：2-1（“或且非” 、圆锥曲线、向量与立体几何） 、 2-2（导数、推理与证明、复数） 、2-3（技术原理、统计案例、概率） 选修系列 3（6 个专题） 选修系列 4（10 个专题） 5. 高中数学课程的主线： 函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 6. 教学建议： 1 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划 2 帮助学生打好基础，发展能力： 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 重视基本技能的训练 与时俱进地审视基础知识与基本能力 3 注重联系，提高对数学整体的认知 4 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力 5 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成 6 改善教与学的方式，使学生主动地学习 7 恰当运用现代信息技术，提高教学质量 7. 评价建议： 1 重视对学生数学学习过程的评价 2 正确评价学生的数学基础知识和基本能力 3 重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评） 4 实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象） 5 根据学生的不同选择进行评价 第二章 教学知识 8. 教学原则 抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进” ） 、理论与实际相结合 原则（“学以致用” ） 、巩固与发展相结合原则（“温故而知新” ） 9. 教学过程 备课（备教材、备学生、备教法） 、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固 新课、布置作业） 、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动） 、成绩的考核与 评价（口头考察、书面考察） 、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈 与决策调控作用） 10.教学方法 1 讲授法：科学性、系统性（循序渐进） 、启发性、量力性（因材施教） 、艺术性（教 学语言） 2 讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。 3 自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学 4 发现法：又称问题教学法（布鲁纳） ，步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨 问题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。 11.概念教学 1 概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩 小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。 2 概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形” 、交叉 关系如“等腰三角形”和“直角三角形” 、包含关系如“菱形”和“四边形” ） 、不 相容关系（对立关系如“正数”和“负数” 、矛盾关系如“负数”和“非负数” ） 3 概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差， 如“有一个角是直角的平行四边形是矩形” ） 、解释外延定义法（不易揭示其内涵， 如“有理数和无理数统称实数” ） 、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“ ”）()= 4 数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现） 、概念同化（教师直接展示定 义） 12.命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系） 、准备性策略（教学实施 之 前） 、问题性策略（激发学生的积极性） 、情境化教学、过程性策略（暴露命 题产生于证明的“所以然”过程） 、产生式策略（变式练习） 13.推理教学 1 推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的 2 推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前 提，得推理） 、归纳推理（由特殊到一般） 、类比推理（由特殊到特殊） 14.问题解决教学 1 数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则 2 纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所 得到的解） 3 非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解 数学模型；检验；交流和评价；推广） 15.学习方式：自主学习、探究学习、合作学习 第三章 教学技能 16.教学设计 1 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科 学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动 进行系统安排的过程。 2 教学设计与教案的关系： 内容不同： 教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景 分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源 的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说 明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧 重教什么、如何教。 核心目的不同： 教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达 到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好 教学内容。 范围不同： 从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。 3 数学课堂教学设计的意义： 使课堂教学更规范、操作性更强 使课堂教学更科学 使课堂教学过程更优化 4 数学课堂教学设计的基本要求： 充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本 适应学生的学习心理和年龄特征 重视课程资源的开发和利用 注重预设与生成的辩证统一 辩证认识和处理教学中的多种关系 整体把握教学活动的结构 5 数学教学设计的准备： 认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求 全面关注学生需求 认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计 制定学期教学计划、单元教学计划 6 教材分析 分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务 整体系统的观念用教材 理解教材的编排意图 突出教材的重点和难点 7 学情分析 分析学生原有的认知基础 分析学生的个体差异 了解学生的生理、心理 了解学生对本学科学习方法的掌握情况 分析学习知识时可能要遇到的困难 8 制定合理教学目标的要求 反映学科特点，体现内容本质 要有计划性，可评价性 格式要规范，用词要考究 要全面，不能“重知轻思” 、 “重知轻情”等 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究） 要实在具体，不浮华 9 教学反思 教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思 教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题； 个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文 10 教学设计的撰写： 教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用） ；过程与方法（提高能力） ；情感 态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法） 学情分析 教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析 教学理念 教学策略 教学环境 教学过程 教学反思 17.教学实施 1 课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法） 、趣味导入法、 悬念导入法 2 课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进 性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则 3 课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分 析综合提问、评价提问 4 学生活动： 学生活动体现了学生在学习中的主体地位 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分 学生活动的目的是促进学生的理解 从总体上说，学生活动必须是思维活动 5 课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和 启下法、发散法和拓展法 6 结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外 沟通，立疑开拓 18.教学评价 1 数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、 学生行为、教学效果 2 数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能 第四章 常用数学公式 一、 函数、导数 1. 函数的单调性 1 设 、 且 。那么1 2, 10() , 2 设函数 在某个区间内可导，若 ，则在该区间内 为增函数；若=() ()0 () ，则在该区间内 为减函数()1 性质 为奇数， 为奇数 奇函数 为奇数， 为偶数 为偶数， 为奇数 偶函数 第一象 限图像 减函数 增函数 增函数 过定点 (1,1) 7. 求函数 的极值的方法 :解方程 。当 时：=() ()=0 (0)=0 1 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；0 (0)0 (0)0 (0) 8. 凹凸函数：设 在开区间 上存在二阶导数：() 1 若对任意 ，有 ，则 在 上为下凸函数； “()0 () 2 若对任意 ，有 ，则 在 上为上凸函数； “()0 = 2 =tan(+) +2 为常数，且 ， ）的周期 。， ， 0 0 = 14. 三角函数的图像变换： 1 函数 ， 即 横坐标伸长（ ）或缩短=sin(+) =sin 01 1 0 1 00 1 1 标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的 倍。1 0(0,0)()lglg 五、 解析几何与立体几何 34. 直线的五种方程 1 点斜式： （直线 过点 ，且斜率为 ）0=(0) l(0,0) k 2 斜截式： （b 为直线 在 y 轴上的截距）=+ 3 两点式： （直线 过点 ，且 ， ） 121=121 l(1,1)(2,2) 12 12 4 截距式： （ 、b 分别为直线的横、纵截距， ） +=0 ,0 5 一般式： （其中 A、B 不同时为 0）+=0 35. 两条直线的平行和垂直 若 ，1： =1+1 2： =2+2 1 ；121=2， 12 2 1212=1 36. 点 到直线 （的距离(0,0) ： +=0 =|0+0+|2+2 37. 角平分线所在直线的方程 ，其中 分别为角的边所在直线的斜率， 为原角的大小tan= 11+1=21+2 1、 2 2 38. 圆的三种方程 1 圆的一般方程： 2+2+=0(2+240) 2 圆的标准方程： ()2+()2=2 3 圆的参数方程： =+cos=+sin 39. 两个圆的公共弦所在方程 (2+2+1+1+1)(2+2+2+2+2)=0 40. 直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种： +=0 ()2+()2=2 相离 ； 相切 ； 相交 ，弦长= ; 0 222 其中 =|+|2+2 41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆： ，离心率 ，准线 ，参数方程 22+22=1(0)， 22=2 =0)， 22=2 =1 =2 程是 ，椭圆上的点与两个定点 的距离之差等于常数（ 22=22 1(,0)、 2(,0) ） 。2 抛物线： ，焦点 ，准线 ，焦半径 ，过抛物线焦点的弦2=2 ( 2,0) =2 |=0+2 长 ，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。|=1+2+ 42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为 。 2222=12222=0= 2 若渐近线方程为 双曲线可设为 。= =0 2222= 3 若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点 在轴上； 2222=1 2222= 0 ，焦点 在轴上）0 2 双叶双曲面： （ ） 22+2222=1 ,0 3 椭圆抛物面： （ ） ，当 时，曲面为旋转抛物面 2+2=2,0 = 4 双曲抛物面： （ ） 22=2,0 七、 概率统计 50. 平均数、方差、标准差、期望的计算 平均数： = 1+2+ 方差： 2=1(1)2+(2)2+()2 标准差： = 1(1)2+(2)2+()2 期望 51. 回归线方程 ，其中 ，=+ =1()()=1()2 =1=122 = 52. 独立性检验： 2= ()2(+)(+)(+)(+) 53. 排列数、组合数 排列数公式： ，其中 ， ； =(1)(+1)= !()! =!0=1 组合数公式： ，其中 = !()! =0=1 54. 二项式定理： 1 (+) =00+111+0 2 第 项： （ ， ）+1 +1= 0 3 系数和： ， 0+1+=2 0+2+4+=1+3+5+=21 4 当 的绝对值与 1 相比很小且 不大时，有 ， (1+)1+(1)1 55. 相对独立事件同时发生的概率 ()=()() 56. 正态分布记为 ，其中期望 ，方差 ，曲线关于直线 对称并(,2) = =2 = 在 时取最大值。= 57. 离散型随机变量的期望与方差的性质： 1 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量 取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 2 ； （ 为常数）=11+22+ ()= 3 ； （ 为常数）=(1) 21+(2)22+()2 ()=0 4 设 ，则 ， ，=+ ()=+ ()=2()=2()2 5 若 ，则 ， ；若 服从几何分布，且 ，(,) =(1) (=)=(,) 则 ， 。= 1 =12 八、 复数 58. 复数的除法运算：+ +=(+)()(+)()=(+)+()2+2 59. 复数 的模：=+ |=|+|=2+2 60. 复数之间不能进行大小比较 61. 设一元三次方程 （ ）的三个根分别是 ，则有：3+2+=0 0 1,2,3 1 ， ，1+2+3= 12+23+13= 123= 2 令 ，其中 ，=( 2)2+(3)3 =3232 =2729+23273 当 时，方程有一个实根，一对共轭复根；0 当 时，方程有三个实根，其中有一个二重根；=0 当 时，方程有三个不等实根。0 0 得当 时，有 。， |0 01， 级 数 =1发散， 且 lim=+=1 ， 此判 别 法失效 若 ； lim= 1， 级 数 =1发散， 且 lim=+=1 ， 此判 别 法失效 3 与 级数比较：设 ，当 时收敛，当 时发散。 =1=110 1 1 68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数 满足 ， =1(1)1 +1 ； ，则 收敛，且其和1 lim1=0 =1(1)1 ，余项 。0 =1(1)11 |+1 69. 幂级数收敛半径及收敛域： 设幂级数 ，则有 =0(0) 1 若 ，则其收敛半径为 ； lim|+1|= = 1， 0+ 0， =+， =0 2 判断 在 处的敛散性； =0(0) 0= 3 若该级数在 处收敛，则其收敛域为 ；若该级数在0= (+0,+0 处收敛，则其收敛域为 ；若该级数在 处都0= +0,+0) 0= 收敛，则其收敛域为 。+0,+0 十、 矩阵、线性空间与线性变换 70. 矩阵的转置： 1 对于 阶实矩阵 ，若满足 或 （为单位矩阵） ，则矩阵 称为正交矩 = = 阵