201704海淀区高三数学文一模试题及答案

2017 年 4 月北京市海淀区高三数学（文科）一模 一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.设集合 ，集合 ，则集合 等于（ ）|13Ax2|4BxAB A B C D |2|1|12x|2x 2.圆心为 且与直线 相切的圆的方程为（ ）(0,)2y A B C D 21x2()xy22()1xy22(1)xy 3.执行如图所示的程序框图，输出的 的值为（ ） A4 B3 C2 D1 4.若实数 ， 满足 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）ab0bablnlab A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ） A B C D3 562 6.在 上，点 满足 ，则（ ）AB A点 不在直线 上 B点 在 的延长线上 C点 在线段 上 D点 在 的延长线D BCB 上 7.若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ） cos,()1xaf1,a A B C D ,(,(0,(1,0) 8.如图，在公路 两侧分别有 ， ， 七个工厂，各工厂与公路 （图中粗线）之间有小MN1A27 MN 公路连接现在需要在公路 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小 越好” 则下面结论中正确的是（ ） 车站的位置设在 点好于 点； 车站的位置设在 点与 点之间公路上任何一点效果一样；CBBC 车站位置的设置与各段小公路的长度无关 A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9.已知复数 为纯虚数，则实数 (1)2zaia 10.已知等比数列 中， ， ，则公比 ，其前 4 项和 n4548q4S 11.若抛物线 的准线经过双曲线 的左焦点，则实数 2ypx 213yxp 12.若 ， 满足 则 的最大值是 x 40,1,xx 13.已知函数 （ ） ，若函数 （ ）的部分图象如图所示，则 ()sinf0()yfxa0 ， 的最小值是 a 14.阅读下列材料，回答后面问题： 在 2014 年 12 月 30 日 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“加入此次亚航失联航13CTV 班 被证实失事的话，2014 年航空事故死亡人数将达到 1320 人尽管如此，航空安全专家还是8501QZ 提醒： 飞机仍是相对安全的交通工具世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有 124 万 人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是 1972 年，其死亡数字也仅为 3346 人； 截至 2014 年 9 月，每百万架次中有 2.1 次（指飞机失事） ，乘坐汽车的百万人中其死亡人数在 100 人左 右 ” 对上述航空专家给出的、两段表述（划线部分） ，你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通 工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.） 15.已知等差数列 满足 ， na122310a （）求数列 的通项公式； （）求数列 的前 项和.n 16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有 ， 两种“共享单车” （以下简称 型车，aba 型车）.某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单车的使用情况b （）某日该学习小组进行一次市场体验，其中 4 人租到 型车，3 人租到 型车如果从组内随机抽 取 2 人，求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 型车的概率；a （）根据已公布的 2016 年该地区全年市场调查报告，小组同学发现 3 月，4 月的用户租车情况城现如 表使用规律例如，第 3 个月租 型车的用户中，在第 4 个月有 的用户仍租 型车 a60%a 第 3 个月 第 4 个月 租用 型车 租用 型车b 租用 型车a6050 租用 型车b4 若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同已知 2017 年 3 月该地区租用 ， 两种车ab 型的用户比例为 1:1，根据表格提供的信息，估计 2017 年 4 月该地区租用两种车型的用户比例 17.在 中， .ABC2 （）求证： ； （）若 ， ，求 的值.cosabB2b4cB 18.在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， ， 分别是PACDAPACD2PAEF ， 的中点. B （）求证： 平面 ；/F （）求三棱锥 的体积；E （）求证：平面 平面 ADC 19.已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，且 ，离心率为 .C 21(0)xyabAB|412 （）求椭圆 的方程； （）设点 ，若点 在直线 上，直线 与椭圆交于另一点 .判断是否存在点 ，使得(4,0)QP4xPMP 四边形 为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.AM 20.已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴平行.2()xfea()yfx0,()fx （）求 的值；a （）若 ，求函数 的最小值；()21xge()gx （）求证：存在 ，当 时， 0cc0f 高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案 一、选择题 1-4 A C C C 5-8 B D A C 二、填空题 9.2 10.2,15 11.4 12. 13.2， 3212 14.选，数据虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 选，数据两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关； 不选，数据两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞 机的乘机人数为 ，这样每百万人乘机死亡人数 2.1 人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数x 三、解答题 15.解：（）设数列 的公差为 ，nad 因为 ， ，所以 ，所以 ， 1262310314a24d2 又 ，所以 ，所以 ad()nn （）记 ，所以 ，1nnb()nb 又 ，所以 是首项为 6，公差为 4 的等差数列，14()24nb 其前 项和 21(6)4nnS 16.解：（）依题意租到 型车的 4 人为 ， ， ， ；租到 型车的 3 人为 ， ， ；a1A23b1B23 设事件 为“7 人中抽到 2 人，至少有一人租到 型车” ，Aa 则事件 为“7 人中抽到 2 人都租到 型车” b 如表格所示：从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况，事件 发生共有 3 种情况，A 所以事件 概率 A36()1()17PA （）依题意，市场 4 月份租用 型车的比例为 ，a50%650% 租用 型车的比例为 ，b504 所以市场 4 月租用 ， 型车的用户比例为 b19 17.解：（）因为 ，2AB 所以由正弦定理 ，得 ，siniasini2aAB 得 ，所以 2sicobcob （）由余弦定理， ，22sa 因为 ， ， ，所以 ，所以 ，b4AB216416cos223cos4B 因为 ，所以 ，所以 ，所以 2B33csB6 18.（）证明：连接 ，与 交于点 ，连接 ，DCOF 在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以 ，PFBPD/P 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 OAABAC （）解：因为 平面 ，所以 为棱锥 的高 因为 ，底面 是正方形，2C 所以 ，13PABDABDVSP14233 因为 为 中点，所以 ，所以 EEABS123PEADPABDV （）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 在等腰直角 中， ，PAB 又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，ED E 又 ，所以 平面 ，/OFFEAD 又 平面 ，所以平面 平面CFC 19.解：（）由 ，得 .|4AB2a 又因为 ，所以 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 1cec223bacC 2143xy （）假设存在点 ，使得四边形 为梯形. PPQM 由题意知，显然 ， 不平行，所以 ，所以 ，所以 A/A|BQMAP|12B 设点 ， ，过点 作 于 ，则有 ，1(,)Mxy(4,)PtH|H 所以 ，所以 ，所以 ，代入椭圆方程，求得 ，所以 |BH,01x132y(4,3) 20.解：（） ，由已知可得 ，所以 ，得 ()2xfea(0)f 0a （） ，令 ，得 ，g()gln2x 所以 ， ， 的变化情况如表所示：x()x(,l)l(ln2,)()g0x 极小值 所以 的最小值为 ()ln2(l)12lne （）证明：显然 ，且 ，)gxf0g 由（）知， 在 上单调递减，在 上单调递增(,ln2)(l,) 又 ， ，(ln2)0)5e 由零点存在性定理，存在唯一实数 ，满足 ，0(l,)x0()gx 即 ， ，021xe021xe 综上， 存在两个零点，分别为 ， ()gf 0x 所以 时， ，即 ， 在 上单调递增；0x0x()fx()f,) 时， ，