2017中考数学正方形复习专题

正方形专题 1如图，点 F 是正方形 ABCD 边 CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线 EM 与对 角线 AC 相交于点 E，与 BF 相交于点 M，连接 BE、FE，EM=3， 求证：（1）BEFE；求 EBF 的周长 2如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、 CD 上的点，EBF=45， EDF 的周长为 8，求正方形 ABCD 的边长 3如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AEF 是等边三角形， 连接 AC 交 EF 于 G， 求证：BE=DF；DAF=15，AC 垂直平分 EF 4如图，正方形 ABCD 的三边中点 E、F、G ，连 ED 交 AF 于 M，GC 交 DE 于 N，求证：AFDE；AF CG ；CD=CM（三线合一或中垂线性质） ； 5如图，正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，DF CE 于 M，交 AC 于 N，交 AB 于 F，连接 EN、BM ， 求证：ADFDCE ；MN=FN；CN=2AN ；S ADN ：S 四边形 CNFB=2：5；ADF=BMFBM=BC （这一问很好，走到直角三角形斜边中线 上去了） 6如图，正方形 ABCD 中，F 为 AB 上一点，E 是 BC 延长线上一点，且 AF=EC，连结 EF，DE，DF，M 是 FE 中点，连结 MC，设 FE 与 DC 相交于点 N 求证：EDF=90；BFGEDGBDE；AD 2+AF2=DGDB； 若 MC= ，则 BF=2； 7如图，以正方形 ABCD 的一边向形外作等边ABE，BD 与 EC 交于点 F，且 DF=EF， （1）求证：AFD=AFE ， （2）求AFD 的度数 8如图，正方形 ABCD 的对角线相交于 O 点，BE 平分ABO 交 AO 于 E 点， CF BE 于 F 点，交 BO 于 G 点，连接 EG、OF 求证：CE=CB；四边形 ABGE 是等腰梯形；AE= OE；OF= CG 9如图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，A 恰好与 BD 上的点 F 重合，展开后，折痕 DE 分别 交 AB，AC 于点 E、G，连接 GF， 求证：AGD=112.5；四边形 AEFG 是菱形； BE=2OG 10如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 BC 边上一点， 连结 AE 交 BD 于点 F，G 是 AC 上一点，B、G 关于直线 AE 对称求证：四边形 BEGF 为菱形，并请直接写出图中与线段 AG 相等的所有线段 11如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 M，N 分别是边 BC，CD 上的 动点（不与点 B，C，D 重合） ，AM，AN 分别交 BD 于点 E，F，且MAN 始终 保持 45不变 （1）求证：AFFM ； （2）求证： = ； （3）请探索：在MAN 的旋转过程中，当BAM 等于多少度时， FMN= BAM？写出你的探索结论，并加以证明 （只让尖子生做这一问） 12如图 1，在正方形 ABCD 内作EAF=45，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，过点 A 作 AHEF，垂足为 H （1）如图 2，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG 求证：AGEAFE； 若 BE=2，DF=3，求 AH 的长 （2）如图 3，连接 BD 交 AE 于点 M，交 AF 于点 N请探究并猜想：线段 BM，MN，ND 之间有什么数量关系？并说明理由 （只让尖子生做这一问） 13如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上的一点，连接 BE，DE （1）如图 1，求证：BCEDCE ； （2）如图 2，延长 BE 交直线 CD 于点 F，G 在直线 AB 上，且 FG=FB 求证：DE FG； 已知正方形 ABCD 的边长为 2，若点 E 在对角线 AC 上移动，当BFG 为等边 三角形时，求线段 DE 的长（直接写出结果，不必写出解答过程） （只让尖子生 做这一问） 14如图 1，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，等腰 RtCMN 中，CMN=90 ， CM=MN，点 M 在 CD 边上，连接 AN，点 E 是 AN 的中点，连接 BE （1）若 CM=2，AB=6，求 AE 的值； （2）求证：2BE=AC+CN ； （3）当等腰 RtCMN 的点 M 落在正方形 ABCD 的 BC 边上，如图 2，连接 AN，点 E 是 AN 的中点，连接 BE，延长 NM 交 AC 于点 F请探究线段 BE、 AC、CN 的数量关系，并证明你的结论 （只让尖子生做这一问） 15四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 BC 上（不与端点 B、C 重合） ，点 F 在对 角线 AC 上，且 EFAC，连接 AE，点 G 是 AE 的中点，连接 DF、FG （1）若 AB=7 ，BE= ，求 FG 的长； （2）求证：DF= FG； （3）将图 1 中的CEF 绕点 C 按顺时针旋转，使边 CF 的顶点 F 恰好在正方形 ABCD 的边 BC 上（如图 2） ，连接 AE、点 G 仍是 AE 的中点，猜想 BF 与 FG 之间 的数量关系，并证明你的猜想 （只让尖子生做这一问） 正方形专题素材 参考答案与试题解析 1 （2016南岗区模拟）如图，点 F 是正方形 ABCD 边 CD 上的一个动点，BF 的 垂直平分线 EM 与对角线 AC 相交于点 E，与 BF 相交于点 M，连接 BE、 FE，EM=3 ，则EBF 的周长是（ ） A6 +3 B6+6 C6 3 D3+3 【分析】如图作 EGBC 于 G，EHCD 于 H，先证明 EGBEHF，推出 BEF 是等腰直角三角形即可解决问题 【解答】解：如图作 EGBC 于 G，EHCD 于 H 四边形 ABCD 是正方形， ACB=ACD=45， EGBC，EHCD， EG=EH， EM 垂直平分 BF， EB=EF， 在 RtEGB 和 RtEHF 中， ， EGBEHF， BEG=FEH， BEF=GEH， EGC=GCH= EHC=90， GEH=90， BEF=90 ， EM=BM=MF=3，BE=EF=3 ， BEF 的周长为 6+6 ， 故选 B 【点评】本题看成正方形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的 判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题， 属于中考常考题型 2 （2016 春宝应县期末）如图，在正方形 ABCD 中，E 、F 分别是边 AD、CD 上 的点，EBF=45 ，EDF 的周长为 8，则正方形 ABCD 的边长为（ ） A2 B3 C5 D4 【分析】根据正方形的性质得 AB=BC，BAE=C=90，根据旋转的定义，把 ABE 绕点 A 顺时针旋转 90可得到BCG ，根据旋转的性质得 BG=BE，CG=AE，GBE=90，BAE=C=90 ，ABG=B=90 ，于是可判断点 G 在 CB 的延长线上，接着利用“SAS” 证明FBGEBF，得到 EF=CF+AE，然后 利用三角形周长的定义得到答案 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， AB=BC，BAE=C=90， 把ABE 绕点 A 顺时针旋转 90可得到BCG ，如图， BG=BE，CG=AE，GBE=90，BAE=C=90 ， 点 G 在 DC 的延长线上， EBF=45 ， FBG= EBGEBF=45， FBG= FBE， 在FBG 和EBF 中， FBGEBF（SAS） ， FG=EF， 而 FG=FC+CG=CF+AE， EF=CF+AE ， DEF 的周长=DF+DE +CF+AE=CD+AD=8， AD=4 ； 故选：D 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋 转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了全等三 角形的判定与性质和正方形的性质 3 （2016 春新泰市期末）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上， AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于 G，下列结论：BE=DF ；DAF=15， AC 垂直平分 EF，BE+ DF=EF，S AEC =SABC ，其中正确结论有（ ）个 A5 B4 C3 D2 【分析】由正方形和等边三角形的性质得出ABEADF ，从而得出 BAE=DAF，BE=DF ，正确；正确；由正方形的性质就可以得出 EC=FC， 就可以得出 AC 垂直平分 EF，正确；设 EC=x，由勾股定理和三角函数就可以 表示出 BE 与 EF，得出 错误；由三角形的面积得出错误；即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD，B= BCD=D=BAD=90 AEF 等边三角形， AE=EF=AF，EAF=60 BAE+DAF=30 在 RtABE 和 RtADF 中， ， RtABE RtADF （HL） ， BE=DF （故 正确） BAE=DAF， DAF+DAF=30， 即DAF=15（故正确） ， BC=CD， BC BE=CDDF，即 CE=CF， AE=AF， AC 垂直平分 EF （故正确） AC 垂直平分 EF （故正确） 设 EC=x，由勾股定理，得 EF= x，CG= x， AG=AEsin60=EFsin60=2CGsin60= x， AC= ， AB= ， BE=ABx= ， BE +DF= xx x， （故 错误） ， S AEC =CEAB，S ABC =BCAB，CE BC， S AEC S ABC ，故错误； 综上所述，正确的有， 故选：C 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用， 勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答 本题时运用勾股定理的性质解题时关键 4 （2016 春岱岳区期中）如图，正方形 ABCD 的三边中点 E、F、G，连 ED 交 AF 于 M，GC 交 DE 于 N，下列结论： AFDE； AFCG ； CD=CM； CMD= AGM 其中正确的有（ ） A B C D 【分析】由ADE BAF 得ADE=BAF，由此推出 正确；由四边形 AGCF 是平行四边形，推出正确；可以证明 CG 是 DM 的垂直平分线，由此推出 正确；假设成立推出AGM=60，显然不可能，由此即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD，BAC=ADC=DCB=B=90， AE=EB=AG=DG=BF=CF， 在ADE 和 ABF 中， ， ADE BAF， ADE= BAF ， ADE+AED=90， BAF+AEM=90， AME=90 ， AFDE，故 正确， AG=CF，AGCF， 四边形 AGCF 是平行四边形， AFCG ，故 正确， AFDE， CGDM， AG=GD， GM=GD， MN=DN， CM=CD，故正确， 若CMD= AGM，则AGM=CMD=2 GMD， GMD=30，AGM=60， 这个显然不可能，故错误 故选 A 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判 定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形， 属于中考常考题型 5 （2015开江县二模）如图，正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，DFCE 于 M，交 AC 于 N，交 AB 于 F，连接 EN、BM，有如下结论：ADF DCE；MN=FN ；CN=2AN；S ADN ：S 四边形 CNFB=2：5；ADF=BMFBM=BC 其中正确的结论有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】本题需先根据已知条件，得出ADF 与DCE 相似，即可得出结 果 本题需先根据 AE=AF，NAF= NAE，AN=AN 这三个条件，得出ANF ANE，即可得出结论 本题需先根据 AFCD，得出 CN 与 AN 的比值，即可求出结果 本题需先连接 CF，再设 SANF =1，即可得出 SADN 与 S 四边形 CNFB 的比值即可 在DEN 和MFB 中，根据已知条件，得出DEN 与MFB 全等，即可得出 结果 【解答】解：在ADF 和DCE 中， ， ADFDCE ， 故本选项正确； ADFDCE ， DE=AF ， AE=DE， AE=AF， 在ANF 和ANE 中 ， ANFANE， NF=NE， NMCE， NEMN， NF MN， MN=FN 错误， 故本选项错误； AFCD， CDN= NFA，DCN=NAF， DCNFAN ， 又ADFDCE ，且四边形 ABCD 为正方形， AF= AB= DC， = =2， CN=2AN， 故本选项正确； 连接 CF， 设 SANF =1， 则 SACF =3， SADN =2， S ACB =6， S 四边形 CNFB=5， S ADN ：S 四边形 CNFB=2：5， 故本选项正确； 延长 DF 与 CB 交于 G，则ADF=G， 根据的结论 F 为 AB 中点，即 AF=BF， 在DAF 与GBF 中， ， DAFGBF（AAS） ， BG=AD，又 AD=BC， BC=BG， 又ADF=DCE，ADF+CDM=90， DCE+CDM=90， DMC= CMG=90， CMG 是直角三角形， MB=BG=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， G=BMF， 因此ADF=BMF ，故选项正确 所以正确的有共 4 个 故选：B 【点评】本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相 似等知识的综合利用，在做题时要结合图形是解题的关键 6 （2014杭州模拟）如图，正方形 ABCD 中，F 为 AB 上一点，E 是 BC 延长线 上一点，且 AF=EC，连结 EF，DE，DF，M 是 FE 中点，连结 MC，设 FE 与 DC 相 交于点 N则 4 个结论： EDF=90；BFGEDGBDE；AD 2+AF2=DGDB；若 MC= ， 则 BF=2； 正确的结论有（ ） A B C D 【分析】根据正方形的性质可得 AD=CD，然后利用 “边角边”证明ADF 和CDE 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF=CDE，然后求出 EDF= ADC=90，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得 DE=DF，然 后判断出DEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 DEF=45 ， 再根据两组角对应相等的三角形相似得到BFGEDGBDE，判断出正 确；根据勾股定理可得 AD2+AF2=DF2，再利用相似三角形对应边成比例列式整理 可得 DGDB=DE2，然后求出 AD2+AF2=DGDB，判断出正确；连接 BM、DM， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 BM=DM= EF，然后判断出 直线 CM 垂直平分 BD，过点 M 作 MHBC 于 H，得到 MCH=45 ，然后求出 MH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 BF=2MH，判断出正确 【解答】解：正方形 ABCD 中，AD=CD， 在ADF 和CDE 中， ， ADFCDE （SAS） ， ADF=CDE， EDF= FDC+CDE=FDC+ADF= ADC=90 ，故正确； DE=DF， DEF 是等腰直角三角形， DEF=45， ABD=DEF=45，BGF=EGD（对顶角相等） ， BFGEDG ， DBE= DEF=45，BDE=EDG， EDGBDE， BFGEDG BDE，故正确； 在 RtADF 中，由勾股定理得，AD 2+AF2=DF2， 由EDGBDE 得， = ， DGDB=DE 2， DE=DF， AD 2+AF2=DGDB，故正确； 连接 BM、DM， M 是 EF 的中点， BEF、DEF 是直角三角形， BM=DM= EF， 又BC=CD， 直线 CM 是 BD 的垂直平分线， 过点 M 作 MHBC 于 H，则MCH=45， MC= ， MH= =1， M 是 EF 的中点， BFBC，MHBC， MH 是BEF 的中位线， BF=2MH=2 ，故正确； 综上所述，正确的结论有 故选 D 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相 似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相 等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的 一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键 7 （2014 春太仓市期中）如图，以正方形 ABCD 的一边向形外作等边 ABE，BD 与 EC 交于点 F，且 DF=EF，则AFD 等于（ ） A60 B50 C45 D40 【分析】分别求证DCFDAFEAF 可得DFC= AFD=AFE，根据 DFC+AFD +AFE=180，可得DFC=AFD=AFE=60 【解答】解：连接 AC， 不作辅助线也可以！ BD 为 AC 的垂直平分线， FA=FC， 四边形 ABCD 是正方形， AD=DC=AB， 在DCF 和DAF 中， ， DCFDAF ， 三角形 ABE 是等边三角形， AE=AB=AD， 在DAF 和EAF 中， ， DAFEAF， DCFDAF EAF， 得：DFC= AFD=AFE， 又DFC+AFD +AFE=180 DFC=AFD=AFE=60 故选 A 【点评】本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了正三角形各边长相等的 性质，本题中求证DCFDAFEAF 是解题的关键 8 （2008 春武汉期末）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于 O 点，BE 平分 ABO 交 AO 于 E 点，CFBE 于 F 点，交 BO 于 G 点，连接 EG、OF下列四个 结论：CE=CB；四边形 ABGE 是等腰梯形；AE= OE；OF= CG其中 正确的结论只有（ ） A B C D 【分析】由四边形 ABCD 是正方形，BE 平分ABO，易求得EBO=22.5，即可 得CBE=CEB=67.5，即可证得CE=CB 正确； 又由 CFBE，由三线合一，可得ECG=BCG=22.5，EF=BF，易证得 ABEBCG ，即可得 AE=BG，又由平行线分线段成比例定理，证得 EGAB， 即可得四边形 ABGE 是等腰梯形； 由OEG 是等腰直角三角形，可得 EG= OF，又易证得ECGBCG，即可 证得 AE= OE； 由AOB=90，EF=BF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证 得 OF= CG 正确 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABO= ACO=CBO=45，AB=BC，OA=OB=OC，BDAC， BE 平分ABO， OBE= ABO=22.5， CBE=CBO+EBO=67.5， 在BCE 中，CEB=180 BCOCBE=18045 67.5=67.5， CEB=CBE， CE=CB； 故正确； CF BE， ECG=BCG= BCO=22.5，EF=BF， ABE= ABO=22.5， ABE=BCG， AB=BC，EAB=GBC=45， ABEBCG ， AE=BG，BE=CG， OA=OB， AE ：OA=BG ：OB， EGAB， 四边形 ABGE 是等腰梯形； 故正确； OA=OB，AE=BG， OE=OG， AOB=90， OEG 是等腰直角三角形， EG= OE， ECG=BCG，EC=BC，CG=CG， ECGBCG ， BG=EG， AE=EG= OE； 故正确； AOB=90，EF=BF， BE=CG， OF= BE= CG 故正确 故正确的结论有 故选 D 【点评】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全 等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质此题难度较大，解题的关 键是注意数形结合思想的应用 9 （2015市北区二模）如图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，A 恰好与 BD 上的点 F 重合，展 开后，折痕 DE 分别交 AB，AC 于点 E、G ，连接 GF，有下列结论： AGD=112.5；AD=2AE；S AGD =SOGD ；四边形 AEFG 是菱形； BE=2OG其中正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】根据正方形性质和折叠性质得出GAD 和ADG，即可求解； 根据直角三角形的直角边小于斜边，即可得出结论； 根据角平分线的性质得出三角形的高相等，再分析底边长即可； 证明四条边相等即可； 由折叠的性质设 BF=EF=AE=1，进一步表示 AB，BD ，DF 的长度，结合相似三 角形进行求解即可 【解答】解：因为在正方形纸片 ABCD 中，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合， 所以GAD=45 ，ADG= ， 可求，AGD=112.5，所以正确 因为 tanAED= ， 因为 AE=EFBE， 所以 AE AB， 因为 AD=AB，因此 错 因为 AG=FG OG，AGD 与OGD 同高， 所以 SAGD S OGD ，所以错 根据题意可得：AE=EF，AG=FG，又因为 EFAC， 所以FEG=AGE，又因为AEG=FEG， 所以AEG=AGE，所以 AE=AG=EF=FG， 所以四边形 AEFG 是菱形，因此正确 由折叠的性质设 BF=EF=AE=1，则 AB=1+ ，BD=2+ ，DF=1 + ， 由此可求， = ， 因为 EFAC， 所以DOG DFE， 所以 ， EF=2OG， 在直角三角形 BEF 中，EBF=45 ， 所以BEF 是等腰直角三角形，同理可证OFG 是等腰直角三角形， 在等腰直角三角形 BEF 和等腰直角三角形 OFG 中， BE2=2EF2=2GF2=22OG2， 所以 BE=2OG因此正确 故答案为：C 【点评】此题主要考查四边形综合问题，熟悉正方形性质和菱形的判定，会用 勾股定理进行线段求值，会根据平行论证相似是解题的关键 10 （2015杭州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 BC 边上一点，连结 AE 交 BD 于点 F，G 是 AC 上一点，B、G 关于直线 AE 对称求证：四边形 BEGF 为菱形，并请直接写出图中与线段 AG 相等的所 有线段 【分析】首先根据轴对称的性质可得 AE 垂直平分 BG，进而利用垂直平分线的 性质得到 AB=AG，BF=GF，BE=EG，然后结合正方形的性质可以求出 1，2，BEA，BFE 的度数，进而得到BEA=BFE ，并利用等角对等边 可知 BE=BF，从而得到 BE=EG=BF=GF，利用菱形的判定方法可知四边形 BEGF 是 菱形，再结合正方形的性质可知正方形的各边与 AG 相等，可求得 AFD=FAD=67.5，进而可知 DF=AD，即可得出与 AG 相等的线段 【解答】证明：在正方形 ABCD 中，CBA=90，CAB=45， 连结 BG， B、G 关于直线 AE 对称， AE 垂直平分 BG， AB=AG，BF=GF ，BE=EG， AE BG， 1=2= =22.5， BEA=901=67.5 ， BFE=1+DBA=67.5， BEA=BFE， BE=BF， BE=EG=BF=GF， 四边形 BEGF 为菱形， 与 AG 相等的线段有 AB、BC、CD、AD、DF 【点评】本题综合考查了菱形的判定，轴对称的性质，垂直平分线的性质，正 方形的性质，等腰三角形的判定等知识，具有一定的综合性，正确识图并熟知 各个性质与判定是解题的关键 11 （2016淄博）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 M，N 分别是 边 BC， CD 上的动点（不与点 B，C ，D 重合） ，AM，AN 分别交 BD 于点 E，F， 且MAN 始终保持 45不变 可做相似问题训练题 （1）求证： = ； （2）求证：AFFM ； （3）请探索：在MAN 的旋转过程中，当BAM 等于多少度时， FMN= BAM？写出你的探索结论，并加以证明 【分析】 （1）先证明 A、B 、M、F 四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可 证明AFM=90 ，根据等腰直角三角形性质即可解决问题 （2）由（1）的结论即可证明 （3）由：A、B、M 、F 四点共圆，推出 BAM= EFM，因为BAM=FMN ， 所以EFM=FMN，推出 MNBD，得到 = ，推出 BM=DN，再证明 ABMADN 即可解决问题 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABD=CBD=45， ABC=90， MAN=45， MAF=MBE ， A、B、M 、 F 四点共圆， ABM+ AFM=180， AFM=90 ， FAM=FMA=45 ， AM= AF， = 补充不用四点共圆的方法：由EAFEBM ，推出 = ，即 = ，即可 推出AEBFEM，推出EMF= ABE=45 ，由此即可解决问题 （2）由（1）可知AFM=90， AFFM （3）结论：BAM=22.5 时，FMN=BAM 理由：A、B、M、F 四点共圆， BAM=EFM， BAM=FMN ， EFM=FMN， MNBD， = ， CB=DC， CM=CN， MB=DN， 在ABM 和 ADN 中， ， ABM ADN， BAM=DAN， MAN=45， BAM+ DAN=45， BAM=22.5 【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有 点难，用到四点共圆 12 （2016贵港）如图 1，在正方形 ABCD 内作 EAF=45，AE 交 BC 于点 E， AF 交 CD 于点 F，连接 EF，过点 A 作 AHEF，垂足为 H （1）如图 2，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG 求证：AGEAFE； 若 BE=2，DF=3，求 AH 的长 （2）如图 3，连接 BD 交 AE 于点 M，交 AF 于点 N请探究并猜想：线段 BM，MN，ND 之间有什么数量关系？并说明理由 【分析】 （1）由旋转的性质可知：AF=AG ，DAF=BAG，接下来在证明 GAE=FAE，然后依据 SAS 证明GAEFAE 即可；由全等三角形的性质 可知：AB=AH ，GE=EF=5设正方形的边长为 x，接下来，在 RtEFC 中，依据 勾股定理列方程求解即可； （2）将ABM 逆时针旋转 90得ADM在NMD 中依据勾股定理可证明 NM2=ND2+DM2，接下来证明AMNANM，于的得到 MN=NM，最后再由 BM=DM证明即可 【解答】解：（1）由旋转的性质可知：AF=AG ，DAF=BAG 四边形 ABCD 为正方形， BAD=90 又EAF=45 ， BAE+DAF=45 BAG+BAE=45 GAE=FAE 在GAE 和FAE 中 ， GAEFAE GAEFAE，ABGE，AHEF， AB=AH，GE=EF=5 设正方形的边长为 x，则 EC=x2，FC=x3 在 RtEFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC2+EC2，即（x2） 2+（x 3） 2=25 解得：x=6 AB=6 AH=6 （3）如图所示：将ABM 逆时针旋转 90得ADM 四边形 ABCD 为正方形， ABD=ADB=45 由旋转的性质可知：ABM=ADM=45 ，BE=DM NDM=90 NM 2=ND2+DM2 EAM=90，EAF=45， EAF=FAM=45 在AMN 和 ANM中， ， AMN ANM MN=NM 又BM=DM， MN 2=ND2+BM2 【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性 质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的 性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键 13 （2016阜新）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上的一点，连接 BE， DE （1）如图 1，求证：BCEDCE ； （2）如图 2，延长 BE 交直线 CD 于点 F，G 在直线 AB 上，且 FG=FB 求证：DE FG； 已知正方形 ABCD 的边长为 2，若点 E 在对角线 AC 上移动，当BFG 为等边 三角形时，求线段 DE 的长（直接写出结果，不必写出解答过程） 【分析】 （1）利用判定定理（SAS ）可证； （2）利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明FDE+DFG=90 即可； 由 DEFG 可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求 DE 的 长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，AC 是其对角线， DCE=BCE，CD=CB 在BCE 与DCE 中， BCEDCE（SAS） （2）证明：由（1）可知BCEDCE ， FDE= FBC 又四边形 ABCD 是正方形， CDAB， DFG=BGF，CFB=GBF， 又FG=FB ， FGB= FBG ， DFG=CFB， 又FCB=90 ， CFB+CBF=90， EDF+DFG=90， DEFG 解：如下图所示， BFG 为等边三角形， BFG=60， 由（1）知DFG=CFB=60， 在 RtFCB 中，FCB=90， FC=CBcot60= ，DF=2 ， 又DEFG， FDE= FED=30，OD=OE， 在 RtDFO 中， OD=DFcos30= 1， DE=2 （ 1） 【点评】本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点， 解题的关键是掌握三角形全等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学 知识的能力 14 （2016重庆模拟）如图 1，正方形 ABCD 中， AC 是对角线，等腰 RtCMN 中，CMN=90，CM=MN，点 M 在 CD 边上，连接 AN，点 E 是 AN 的中点，连 接 BE （1）若 CM=2，AB=6，求 AE 的值； （2）求证：2BE=AC+CN ； （3）当等腰 RtCMN 的点 M 落在正方形 ABCD 的 BC 边上，如图 2，连接 AN，点 E 是 AN 的中点，连接 BE，延长 NM 交 AC 于点 F请探究线段 BE、 AC、CN 的数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质知ACN=90，运用 勾股定理计算即可； （2）延长 NC 与 AB 的延长线交于一点 G，AC+CN 转化为 GN，运用三角形的中 位线性质易得证； （3）类比（2）易得 BE= （AC CN） 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，AB=6， AC=6 ， 等腰 RtCMN 中，CMN=90，CM=MN ，CM=2， CN=2 ， ACN=90， AN= = =4 ， 点 E 是 AN 的中点， AE=2 ；