2017届上海市杨浦区高三二模数学卷(含答案)

- -1 杨浦区 2016 学年度第二学期高三年级质量调研 数学学科试卷 2017.4 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置 上 2本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分。考 生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律 得零分 1. 行列式 中, 元素 的代数余子式的值为_. 1234567895 2. 设实数 , 若函数 的最小正周期为 , 则0()cos()in()fxx _. 3. 已知圆锥的底面半径和高均为 1, 则该圆锥的侧面积为_. 4. 设向量 , 向量 . 若 与 的夹角为钝角, 则实数 的取值范围(23)a(6,)bt abt 为 _. 5. 集合 , 集合 . 若 , 则实数 _.21,A1,2BBAa 6. 设 是方程 的两根, 则 _.2z30z12|z 7. 设 是定义在 上的奇函数 , 当 时, . 则不等式()fxR0x3()2xf 的解为_.5f - -2 8. 若变量 满足约束条件 则 的最小值为_.,xy 12,0,xyzyx 9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点 数不大于 2或小红掷出的点数不小于 的概率为_.3 10. 设 是椭圆 上的动点, 点 的坐标为 , 若满足A 21 04xyaaF(20) 的点 有且仅有两个, 则实数 的取值范围为_.|10F 11. 已知 , , 当 取到最小值时, _.b2()bab 12. 设函数 . 当 在实数范围内变化时, 在圆盘 内, ()|afx21xy 且不在任一 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_. 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生 应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 13. 设 且 . “ 是纯虚数”是“ ”的 ( )zC0z2zR (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 14设等差数列 的公差为 , . 若 的前 项之和大于其nad0na10 前 项之和 , 则 ( )21 (A) (B) (C) (D) 0d1616a - -3 C3 C2 C1 O S N D C B A 15如图, 、 是球 直径的两个端点. 圆 是经过 和 点的大圆, 圆 和NSO1CNS2C 圆 分别是所在平面与 垂直的大圆和小圆. 圆 和 交于点 、 , 圆 和3C 2AB1 交于点 、 .设 、 、 分别表示圆 上劣弧 的弧长、圆 上半圆弧Dabc1 2 的弧长、圆 上半圆弧 的弧长. 则 的大小关系为 (AB3C,abc ) (A) bac (B) (C) c (D) ba 16 对于定义在 上的函数 , 若存在正常数 , 使得 对R()fxab()(fxafb 一切 均成立, 则称 是“控制增长函数” 。在以下四个函数中：x 2()1f|()fx2()sin)fx()sinfx 是“控制增长函数”的有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤 . - -4 A1 B1 C1D1 Q P D C BA 17 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分. 如图, 正方体 中, . 、 分别是棱 与 的中点.1ABCD4ABPQB1 (1) 求异面直线 和 所成的角的大小;PQ (2) 求以 四点为四个顶点的四面体的体积 . 1, - -5 18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数 .1()2 xf (1) 判断函数 的奇偶性, 并证明;f (2) 若不等式 有解，求 的取值范围.9()log1xcc - -6 R Q P C BA 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图所示: 扇形 是一块半径为 千米, 圆心角为 的风景区, 点在弧 上, ABC0PBC 现欲在风景区中规划三条商业街道. 要求街道 与 垂直, 街道 与 垂直,线PQABRA 段 表示第三条街道. RQ (1) 如果 位于弧 的中点,求三条街道的总长度;PBC (2) 由于环境的原因, 三条街道 , , 每年能产生的经济效益分别为每千米R 万元, 万元及 万元, 问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?30204 (精确到 万元).1 - -7 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 6 分. 设数列 满足 , 其中 是两个确定的实数, .na4nABA0B (1) 若 , 求 的前 项之和;1Bna (2) 证明: 不是等比数列;n (3) 若 , 数列 中除去开始的两项之外, 是否还有相等的两项? 并证明你的12an 结论. - -8 21、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 8 分. 设双曲线 的方程为 .过其右焦点 且斜率不为零的直线 与双曲线交于 213yxF1l 两点, 直线 的方程为 , 在直线 上的射影分别为AB2ltAB2l,CD (1) 当 垂直于 轴, 时, 求四边形 的面积 ;1lxt D (2) 当 , 的斜率为正实数, 在第一象限, 在第四象限时, 试比较0t1l B 和 的大小, 并说明理由 ;|ACFBD (3) 是否存在实数 , 使得对满足题意的任意直线 , 直线 和直线 的(1)t1lADBC 交点总在 轴上, 若存在, 求出所有的 的值和此时直线 与 交点的位置; 若不xt 存在, 说明理由. 数学评分参考 一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分。考 生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零 分 1. 2. 3. 4. 1222(,4) 5. 6. 7. 8. (,3) - -9 9. 10. 11. 12. 79(8,12)1434 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生 应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 13、 (A) 14、(C) 15、(D) 16、(C) 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤 . 17、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分. (1) 以 为原点 , 方向为 轴正方向, 方向为 轴正方向, 方向为 轴DA xDCy1Dz 正方向建立空间直角坐标系. （2 分） 得 , , , .1(04)(20)P1(4)(4,)Q 故 , . （4 分）, , 设 与 所成的角的大小为 .1DAQ 则 . （6 分）1|165cos320P 故 与 所成的角的大小为 . （8 分）1Aarcos5 (2) 该四面体是以 为底面, 为顶点的三棱锥. （10 分）1DQP 到平面 的距离 .P14h - - 10 - 的面积 . （12 分）1ADQ182ABCDS 因此四面体 的体积 . （14 分）1P13243VSh 18、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. (1) 奇函数 （2 分） 证明：定义域 （4 分）xR （6 分）1 12()2xxxf f 所以 为奇函数()f (2) 令： 则2xt0 原函数为 （8 分）1yt 值域为 （10 分）,2 因为不等式 有解9()log1fxc 所以 有解 （12 分）9log12c 即： 03 （14 分）2 - - 11 - 19、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 (1) 由题意, , 因此 , 同理 （2 分）30PAQsin30P1PR , 故 （4 分）696R3Q 因此三条步道的总长度为 千米 （6 分）2 (2) 设 . 则 , （8 分）0,3PAQsinP2sin3R 均在以 为直径的圆上,R 由正弦定理 得 （10 分）2sinA3Q 效益 302i0si403Tsincoin （12 分）207iart4032 当 时rctn53, 的最大值为 万元 （14 分）T207412 20、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， - - 12 - 第 3 小题满分 6 分. (1) , 故前 项之和4na . （2 分）2()(12)nnSn （4 分）41()43 n (2) , , .1aAB216aB63aAB 若 是等比数列, 则 （6 分）n 2()(4) 即 , 即 .22256456731A 因 , 故 , 且 . （8 分）0B1A0 此时, , , , 不满足 .2a34aA234a 因此 不是等比数列. （10 分）n (3) 即 , 即 , 且 .124162AB12B0 此时, . （12 分）()nna 设 .*,cN , 1 11(42()(412)3420nnnn 当且仅当 时等号成立, 故 .cc 即除 外, 的各项依次递增. （14 分）1cn - - 13 - 因此 中除去 和 之外, 没有其它的两项相等. （16 分）na12a 21、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 8 分. (1) 右焦点的坐标为 . 故 . （1 分）(2,0)F1:2lx 联立 解得 . 故 , （3 分）2 ,13xy3y|6AB 又 , 故四边形 的面积为 . （4 分）|4ACDC2 (2) 设 的方程为 , 这里 . 将 的方程与双曲线方程联立, 得到1lxmy01l , 即 . （6 分）23()30y2()9ym 由 知 , 此时, 12 （8 分） 2211|3| 3|ABAAByyxACFBD 由于 , 故 , 即 , 故 .2103ABmy0ABy|0ABy21ABy 因此 . （10 分）|CFBD - - 14 - (3) 设直线 , 与 联立得:2ABxmy 213yx . (有两交点表示 )2(31)90y 3m 设 , , 则 , .Ax()Bx)ACty(BDt 的绝对值不小于 , 故 , 且 . 又因直线斜率不为零, 故 .,B1xABy 直线 的方程为 .DBAAyt 直线 的方程为 . （12 分）BCBABxt