2017年中考数学二轮复习真题演练：探究型问题

1 二轮复习真题演练 探究型问题 一、选择题 1 （2013永州）如图，下列条件中能判定直线 l1l 2 的是（ ） A1=2 B 1=5 C1+ 3=180 D3=5 1C 2 （2013安顺）如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无 法判定ADFCBE 的是（ ） AA=C BAD=CB CBE=DF DADBC 2 B 3 （2013湘潭）如图，在ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE ，如果 只添加一个条件使DAB= EAC，则添加的条件不能为（ ） ABD=CE BAD=AE CDA=DE DBE=CD 3C 二、填空题 4 （ 2013娄底）如图，AB=AC，要使ABE ACD ，应添加的条件是 （添加 一个条件即可） 2 4 B=C 或 AE=AD 5 （ 2013白银）如图，已知 BC=EC，BCE= ACD，要使ABC DEC ，则应添加 的一个条件为 （答案不唯一，只需填一个） 5AC=CD 6 （2013上海）如图，在ABC 和DEF 中，点 B、F 、C 、E 在同一直线上， BF=CE，ACDF，请添加一个条件，使ABCDEF ，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线） 6AC=DF 7 （2013黑龙江）如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，试添加 一个条件： ，使得平行四边形 ABCD 为菱形 7AD=DC 8 （ 2013西城区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，有一只电子青蛙在点 A（1，0）处 第一次，它从点 A 先向右跳跃 1 个单位，再向上跳跃 1 个单位到达点 A1； 第二次，它从点 A1 先向左跳跃 2 个单位，再向下跳跃 2 个单位到达点 A2； 第三次，它从点 A2 先向右跳跃 3 个单位，再向上跳跃 3 个单位到达点 A3； 第四次，它从点 A3 先向左跳跃 4 个单位，再向下跳跃 4 个单位到达点 A4； 依此规律进行，点 A6 的坐标为 ；若点 An 的坐标为（2013，2012） ，则 n= 8 （-2-3） ，4023 9 （2013湛江）如图，所有正三角形的一边平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上从内到外， 它们的边长依次为 2，4 ，6 ， 8，顶点依次用 A1、A 2、A 3、A 4表示，其中 A1A2 与 x 轴、底边 A1A2 与 A4A5、A 4A5 与 A7A8、均相距一个单位，则顶点 A3 的坐标是 ，A 92 的坐标是 3 9 （0， 3） ， （31，-31） 10 （2013绍兴）如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，若 AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，则A 的度数是 1012 三、解答题 11 （2013茂名）如图，在ABCD 中，点 E 是 AB 边的中点， DE 与 CB 的延长线交于点 F （1）求证：ADE BFE； （2）若 DF 平分 ADC，连接 CE试判断 CE 和 DF 的位置关系，并说明理由 11解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC 又点 F 在 CB 的延长线上， ADCF， 1=2 4 点 E 是 AB 边的中点， AE=BE 在ADE 与BFE 中， 12DABE ， ADEBFE（AAS） ； （2）解：CE DF理由如下： 如图，连接 CE 由（1）知，ADE BFE， DE=FE，即点 E 是 DF 的中点， 1= 2 DF 平分ADC， 1=3， 3=2， CD=CF， CEDF 12 （2013白银）如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF （1）BD 与 CD 有什么数量关系，并说明理由； （2）当ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由 12解：（1）BD=CD 理由如下：AFBC， AFE= DCE， E 是 AD 的中点， AE=DE， 在AEF 和 DEC 中， AFEDC ， AEF DEC （AAS） ， 5 AF=CD， AF=BD， BD=CD； （2）当ABC 满足：AB=AC 时，四边形 AFBD 是矩形 理由如下：AFBD，AF=BD， 四边形 AFBD 是平行四边形， AB=AC，BD=CD ， ADB=90， AFBD 是矩形 13 （2013无锡）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，在 ABCD； AO=CO；AD=BC 中任意选取两个作为条件， “四边形 ABCD 是平行四边 形”为结论构造命题 （1）以作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例； （2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明 （命题请写成“如 果，那么 ”的形式） 13 （1）以作为条件构成的命题是真命题， 证明：ABCD ， AOB COD， AOBCD， AO=OC， OB=OD， 四边形 ABCD 是平行四边形 （2）根据作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等 的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形； 根据作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形 ABCD 的对角线交于 O，且 OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图， 根据已知不能推出 OB=OD 或 ADBC 或 AB=DC，即四边形不是平行四边形 14 （ 2013宁波）已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0），且过点 6 C（0，-3） （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=-x 上，并写出平移后 抛物线的解析式 14解：（1）抛物线与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0）， 可设抛物线解析式为 y=a（x-1）（x-3）， 把 C（0，-3）代入得：3a=-3， 解得：a=-1， 故抛物线解析式为 y=-（x-1）（x-3）， 即 y=-x2+4x-3， y=-x 2+4x-3=-（x-2） 2+1， 顶点坐标（2，1）； （2）先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=-x2，平移 后抛物线的顶点为（0，0）落在直线 y=-x 上 15 （ 2013凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题： 材料：将二次函数 y=-x2+2x+3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后 的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变） 解：在抛物线 y=-x2+2x+3 图象上任取两点 A（0，3 ） 、B（ 1，4） ，由题意知：点 A 向左平移 1 个单位得到 A（-1 ，3） ，再向下平移 2 个单位得到 A （-1 ，1 ） ；点 B 向左平移 1 个单 位得到 B（0，4 ） ，再向下平移 2 个单位得到 B（0， 2） 设平移后的抛物线的解析式为 y=-x2+bx+c则点 A（-1，1） ，B（0 ，2）在抛物线 上可得： 12bc ，解得： 0bc所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x 2+2 根据以上信息解答下列问题： 将直线 y=2x-3 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，求平移后的直线的解析式 15解：在直线 y=2x-3 上任取一点 A（0，-3） ，由题意知 A 向右平移 3 个单位，再向上平 移 1 个单位得到 A（3，-2 ） ， 设平移后的解析式为 y=2x+b， 则 A（3，-2）在 y=2x+b 的解析式上， -2=23+b， 解得：b=-8 ， 7 所以平移后的直线的解析式为 y=2x-8 16 （2013湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在 RtABC 中，AB=BC，ABC=90 ，BOAC，于点 O，点 PD 分别在 AO 和 BC 上，PB=PD，DE AC 于点 E，求证：BPO PDE （1）理清思路，完成解答（2）本题 证明的思路可用下列框图表示： 根 据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程 （2）特殊位置，证明结论 若 PB 平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD （3）知识迁移，探索新知 若点 P 是一个动点，点 P 运动到 OC 的中点 P时，满足题中条件的点 D 也随之在直线 BC 上运动到点 D，请直接写出 CD与 AP的数量关系 （不必写解答过程） 16 （1）证明：PB=PD ， 2=PBD ， AB=BC，ABC=90， C=45 ， BO AC， 1=45， 1=C=45， 3=PBO-1 ，4=2-C ， 3=4， BO AC，DEAC， BOP=PED=90， 在BPO 和 PDE 中3=4BOPED ， BPO PDE（AAS） ； 8 （2）证明：由（1 ）可得：3= 4， BP 平分ABO， ABP=3 ， ABP=4 ， 在ABP 和 CPD 中ACBPD 。 ABP CPD（AAS） ， AP=CD （3）解：CD与 AP的数量关系是 CD= 23AP 理由是：如图， 设 OP=PC=x，则 AO=OC=2x=BO， 则 AP=2x+x=3x， 由（2）知 BO=PE， PE=2x，CE=2x-x=x， E=90，ECD=ACB=45， DE=x ，由勾股定理得：CD= 2x， 即 AP=3x，CD= 2x， CD与 AP的数量关系是 CD= 3AP 17 （ 2013淄博）分别以ABCD（CDA90）的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角 三角形，ABE，CDG，ADF （1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 GF，EF 请判断 GF 与 EF 的关系（只写结论，不需证明） ； （2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 GF，EF ， （1）中结 论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由 9 17解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，DAB+ADC=180， ABE ，CDG，ADF 都是等腰直角三角形， DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=ADF=BAE=45， GDF= GDC+CDA+ADF=90+CDA， EAF=360-BAE-DAF-BAD=270-（180-CDA）=90+CDA， FDG= EAF， 在EAF 和 GDF 中，DFAGE ， EAF GDF（SAS） ， EF=FG， EFA=DFG，即 GFD+GFA=EFA+GFA ， GFE=90， GF EF； （2）GFEF，GF=EF 成立； 理由：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，DAB+ADC=180， ABE ，CDG，ADF 都是等腰直角三角形， DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=ADF=BAE=45， BAE+FDA+EAF+ ADF+FDC=180， EAF+ CDF=45， CDF+GDF=45 ， FDG= EAF， 在EAF 和 GDF 中， DFAGE ， EAF GDF（SAS） ， EF=FG， EFA=DFG，即 GFD+GFA=EFA+GFA ， GFE=90， 10 GF EF 18 （2013张家界）如图， ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MNBC设 MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F （1）求证：OE=OF； （2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长； （3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由 18 （1）证明：如图， MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F， 2=5，4=6 ， MN BC， 1=5，3=6 ， 1=2， 3=4 ， EO=CO，FO=CO， OE=OF； （2）2= 5，4=6 ， 2+4=5+6=90， CE=12，CF=5， EF= 21=13， OC= EF=6.5； （3）答：当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形 证明：当 O 为 AC 的中点时， AO=CO， EO=FO， 四边形 AECF 是平行四边形， ECF=90 ， 平行四边形 AECF 是矩形 19 （ 2013衡阳）如图，P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，AE BP，CFBP， 垂足分别为点 E、F，已知 AD=4 （1）试说明 AE2+CF2 的值是一个常数； （2）过点 P 作 PMFC 交 CD 于点 M，点 P 在何位置时线段 DM 最长，并求出此时 DM 的值 11 19解：（1）由已知AEB=BFC=90 ，AB=BC， 又ABE+FBC=BCF+FBC， ABE=BCF， 在ABE 和 BCF 中，ABCEF ， ABE BCF （AAS ） ， AE=BF， AE 2+CF2=BF2+CF2=BC2=16 为常数； （2）设 AP=x，则 PD=4-x， 由已知DPM=PAE= ABP， PDMBAP， DMAPFB， 即 4x， DM= 2()14x， 当 x=2 时，DM 有最大值为 1 20 （ 2013宁夏）在ABCD 中，P 是 AB 边上的任意一点，过 P 点作 PEAB ，交 AD 于 E，连结 CE，CP 已知A=60； （1）若 BC=8，AB=6 ，当 AP 的长为多少时，CPE 的面积最大，并求出面积的最大 值 （2）试探究当CPE CPB 时，ABCD 的两边 AB 与 BC 应满足什么关系？ 20解：（1）如图，延长 PE 交 CD 的延 长线于 F， 12 设 AP=x，CPE 的面积为 y， 四边形 ABCD 为平行四边形， AB=DC=6，AD=BC=8， RtAPE ， A=60， PEA=30 ， AE=2x，PE= 3x， 在 RtDEF 中，DEF=PEA=30 ，DE=AD-AE=8-2x， DF= 12DE=4-x， ABCD，PFAB， PFCD， S CPE = PECF， 即 y= 12 3x（10-x ）=- 32x2+5 x， 配方得：y=- （x-5） 2+ 5， 当 x=5 时，y 有最大值 3， 即 AP 的长为 5 时，CPE 的面积最大，最大面积是 253； （2）当CPECPB 时，有 BC=CE，B=PEC=120， CED=180-AEP-PEC=30 ， ADC=120， ECD= CED=180-120-30=30 ， DE=CD，即EDC 是等腰三角形， 过 D 作 DMCE 于 M，则 CM= 12CE， 在 RtCMD 中，ECD=30， cos30= 3C， 13 CM= 32CD， CE= CD， BC=CE，AB=CD， BC= 3AB， 则当CPECPB 时，BC 与 AB 满足的关系为 BC= 3AB 21 （ 2013南平）在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，过 E 作 EFAC 于 F，G 为线段 AE 的中点，连接 BF、FG 、GB 设 ABC=k （1）证明：BGF 是等腰三角形； （2）当 k 为何值时，BGF 是等边三角形？ （3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等事 实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立 利用上述结论，探究：当BGF 分别为锐角、直角、钝角三角形时， k 的取值范围 21解：（1）证明：EFAC 于点 F， AFE=90在 RtAEF 中，G 为斜边 AE 的中点， GF= 2AE， 在 RtABE 中，同理可得 BG= 12AE， GF=GB， BGF 为等腰三角形； （2）当BGF 为等边三角形时， BGF=60 GF=GB=AG ， BGE=2 BAE，FGE=2CAE BGF=2BAC ， BAC=30， ACB=60， ABC=tanACB= 3， 14 当 k= 3时，BGF 为等边三角形； （3）由（1）得BGF 为等腰三角形，由（2）得BAC= 12BGF， 当BGF 为锐角三角形时，BGF90， BAC45， ABBC ， k= ABC1； 当BGF 为直角三角形时，BGF=90 ， BAC=45 AB=BC， k= B=1； 当BGF 为钝角三角形时，BGF90， BAC45AB BC， k= AC1； 0k1 22 （ 2013德阳）如图，已知 AB 是O 直径，BC 是O 的弦，弦 EDAB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 作O 的切线与 ED 的延长线交于点 P （1）求证：PC=PG ； （2）点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若点 G 是 BC 的中点，试探究 CG、BF、BO 三者之间的数量关系，并写出证明过程； （3）在满足（2 ）的条件下，已知O 的半径为 5，若点 O 到 BC 的距离为 5时，求弦 ED 的长 22 （1 ）证明：连结 OC，如图， 15 PC 为O 的切线， OCPC， OCG+PCG=90， EDAB，B+ BGF=90 ， OB=OC， B= OCG， PCG= BGF ， 而BGF=PGC， PGC= PCG， PC=PG； （2）解：CG、BF 、BO 三者之间的数量关系为 CG2=BOBF理由如下： 连结 OG，如图， 点 G 是 BC 的中点， OGBC，BG=CG， OGB=90， OBG=GBF， RtBOG RtBGF， BG： BF=BO： BG， BG 2=BOBF， CG 2=BOBF； （3）解：连结 OE，如图， 由（2）得 BGBC， OG= 5， 在 RtOBG 中，OB=5 ， BG= 2OBG=2 5， 16 由（2）得 BG2=BOBF， BF= 05=4， OF=1 ， 在 RtOEF 中，EF= 2OEF=2 6， ABED ， EF=DF， DE=2EF=4 23 （2013泉州）如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 A（-6，0 ） ，过点 E（-2，0 ）作 EFAB，交 BO 于 F； （1）求 EF 的长； （2）过点 F 作直线 l 分别与直线 AO、直线 BC 交于点 H、G； 根据上述语句，在图 1 上画出图形，并证明 OEBA； 过点 G 作直线 GDAB ，交 x 轴于点 D，以圆 O 为圆心，OH 长为半径在 x 轴上方作半 圆（包括直径两端点） ，使它与 GD 有公共点 P如图 2 所示，当直线 l 绕点 F 旋转时，点 P 也随之运动，证明： 2OPB，并通过操作、观察，直接写出 BG 长度的取值范围（不 必说理） ； （3）在（2）中，若点 M（2， 3） ，探索 2PO+PM 的最小值 23 （1）解：解法一：在正方形 OABC 中， FOE=BOA= 2COA=45 EFAB， FEO=BAO=90 ， EFO=FOE=45， 又 E（-2，0） ， EF=EO=2 解法二：A（-6，0） ，C（0 ，6） ，E（-2，0） ， OA=AB=6，EO=2， EFAB， 17 EFOAB，即 26， EF=6 2=2 （2）画图，如答图 1 所示： 证明：四边形 OABC 是正方形， OHBC， OFHBFG， OHFBG； EFAB， EA； 证明：半圆与 GD 交于点 P， OP=OH 由得： OPEBGA， 又 EO=2，EA=OA-EO=6-2=4， = 12 通过操作、观察可得，4BG12 （3）解：由（2 ）可得： OPBG= 12， 2OP+PM=BG+PM 如答图 2 所示，过点 M 作直线 MNAB 于点 N，交 GD 于点 K，则四边形 BNKG 为矩形， NK=BG 18 2OP+PM=BG+PM=NK+PMNK+KM， 当点 P 与点 K 重合，即当点 P 在直线 MN 上时，等号成立 又NK+KMMN=8， 当点 K 在线段 MN 上时，等号成立 当点 P 在线段 MN 上时，2OP+PM 的值最小，最小值为 8 24 （ 2013梅州）用如图， 所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标 出） ，完成以下两个探究问题： 探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC 和 ED 重合） ，在 BC 边上有一动点 P （1）当点 P 运动到CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长； （2）当点 P 在运动的过