2017年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)(解析版)

第 1 页（共 25 页） 2017 年北京市东城区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项） 1如果 A=xR|x0， B=0，1，2 ，3，那么集合 AB=（ ） A空集 B0 C 0，1 D1，2，3 2某高校共有学生 3000 人，新进大一学生有 800 人现对大学生社团活动情 况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取 300 人，那么应在大一抽取的人 数为（ ） A200 B100 C80 D75 3如果 a=log41，b=log 23，c=log 2，那么三个数的大小关系是（ ） Acba Bacb Cab c Db c a 4如果过原点的直线 l 与圆 x2+（y4） 2=4 切于第二象限，那么直线 l 的方程是 （ ） A B Cy=2x Dy=2x 5设函数 若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0 ，2 ） B （0，+） C （2，+） D （，0）（2，+） 6 “sin+cos=0”是“cos2=0” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 7如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形 第 2 页（共 25 页） 的有（ ） A1 B2 C3 D4 8如果函数 y=f（x）在定义域内存在区间a，b ，使 f（x）在a ，b上的值域 是2a，2b ，那么称 f（x）为“倍增函数”若函数 f（x）=ln（e x+m）为“倍增函 数”，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C （ 1，0） D 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9如果（x 21）+（x1）i 是纯虚数，那么实数 x= 10如果执行如图所示的程序框图，那么输出的 k= 第 3 页（共 25 页） 11如果直线 l：y=kx 1（k0）与双曲线 的一条渐近线平行，那么 k= 12 “墨子号 ”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于 2016 年 8 月 16 日发射升空 “墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆 盖全球的量子保密通信量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码， 比如，码元 0 对应光子偏振方向为水平或斜向下 45 度，码元 1 对应光子偏振方 向为垂直或斜向上 45 度如图所示 编码方式 1 编码方式 2 码元 0 码元 1 信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如， 信号发送端如果按编码方式 1 发送，同时接收端按编码方式 1 进行解码，这时 能够完美解码；信号发送端如果按编码方式 1 发送，同时接收端按编码方式 2 进行解码，这时无法获取信息如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完 美解码的概率是 ；如果发送端发送 3 个码元，那么恰有两个码元无法获取 信息的概率是 13已知ABC 中，A=120，且 AB=AC=2，那么 BC= ， = 14已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠 中生存 36 天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走 30 公里，每个人都可以在 沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回若组员甲与其他两个人合作， 且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 公里 三、解答题（共 6 小题，共 80 分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 第 4 页（共 25 页） 15已知点（ ，1）在函数 f（x ）=2asinxcosx +cos2x 的图象上 （） 求 a 的值和 f（x）最小正周期； （） 求函数 f（x）在（ 0， ）上的单调减区间 16已知数列a n是等差数列，前 n 项和为 Sn，若 a1=9，S 3=21 （）求数列a n的通项公式； （）若 a5，a 8，S k 成等比数列，求 k 的值 17如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形， ADBD 且 AD=BD，ACBD=O，PO平面 ABCD （I） E 为棱 PC 的中点，求证： OE平面 PAB； （II）求证：平面 PAD平面 PBD； （III） 若 PDPB，AD=2 求四棱锥 PABCD 体积 18某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中， 对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区 400 位居民某月的用 水量数据（单位：立方米） ，整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直 方图（图 1）： 组号 分组 频数 1 0.5，1 ） 20 2 1，1.5） 40 3 1.5，2 ） 80 4 2，2.5） 120 5 2.5，3 ） 60 6 3，3.5） 40 第 5 页（共 25 页） 7 3.5，4 ） 20 8 4，4.5） 20 （）求 a，b 的值； （）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于 3 立方 米的概率； （）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”假设同 组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小 区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为 65%，经过同学们 的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图 2 所 示，估计这时小区是否达到“节水小区” 的标准？并说明理由 19已知椭圆 W： =1（ab 0）的左右两个焦点为 F1，F 2，且 |F1F2|=2，椭圆上一动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=2 （）求椭圆 W 的标准方程及离心率； （）如图，过点 F1 作直线 l1 与椭圆 W 交于点 A，C ，过点 F2 作直线 l2l 1，且 l2 与椭圆 W 交于点 B，D ， l1 与 l2 交于点 E，试求四边形 ABCD 面积的最大值 第 6 页（共 25 页） 20设函数 ，aR （）若 x=2 是 f（x）的极值点，求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性； （）已知函数 ，若 g（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围； （）设 f（x）有两个极值点 x1，x 2，试讨论过两点（x 1，f （x 1） ） ， （x 2，f（x 2） ） 的直线能否过点（1，1） ，若能，求 a 的值；若不能，说明理由 第 7 页（共 25 页） 2017 年北京市东城区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项） 1如果 A=xR|x0， B=0，1，2 ，3，那么集合 AB=（ ） A空集 B0 C 0，1 D1，2，3 【考点】交集及其运算 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：A=x R|x0，B=0，1，2，3 ， 集合 AB=1，2，3 故选：D 2某高校共有学生 3000 人，新进大一学生有 800 人现对大学生社团活动情 况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取 300 人，那么应在大一抽取的人 数为（ ） A200 B100 C80 D75 【考点】分层抽样方法 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】解：设大一抽取的人数为 n 人，则用分层抽样的方法可得 = ， x=80 故选：C 3如果 a=log41，b=log 23，c=log 2，那么三个数的大小关系是（ ） Acba Bacb Cab c Db c a 【考点】对数值大小的比较 【分析】利用对数函数的单调性即可得出 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：a=log 41=0，1b=log 23c=log 2， cb a 故选：A 4如果过原点的直线 l 与圆 x2+（y4） 2=4 切于第二象限，那么直线 l 的方程是 （ ） A B Cy=2x Dy=2x 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】由已知得圆心坐标为（0，4） ，半径长为 2因为直线斜率存在设直 线方程为 y=kx，根据圆心到直线的距离等于半径，确定 k 的值，从而求出直线 方程 【解答】解：圆心坐标为（0，4） ，半径长为 2 由直线过原点，当直线斜率不存在时，不合题意， 设直线方程为；y=kx ，即 kxy=0 则圆心到直线的距离 d= =r=2 化简得：k 2=3 又切点在第二象限， 直线方程为；y= x 故选：B 5设函数 若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0 ，2 ） B （0，+） C （2，+） D （，0）（2，+） 【考点】函数单调性的判断与证明 【分析】分别讨论 2a3 1，与 1，求出 a 的范围即可 【解答】解：若 2a31，解得： a2，与 a0 矛盾， 第 9 页（共 25 页） 若 1，解得：a0， 故 a 的范围是（0，+） ， 故选：B 6 “sin+cos=0”是“cos2=0” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】cos2=0 （cos+sin） （cos sin）=0（cos+sin）=0 或 （cossin） =0，即可判断出结论 【解答】解：cos2=0 （ cos+sin） （cos sin）=0（cos+sin）=0 或 （cossin） =0， “sin+cos=0”是“cos2=0”的充分不必要条件 故选：A 7如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形 的有（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底 面，即可得出结论 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形， 有一侧棱垂直于底面，则四棱锥的四个侧面都是直角三角形， 故选 D 8如果函数 y=f（x）在定义域内存在区间a，b ，使 f（x）在a ，b上的值域 是2a，2b ，那么称 f（x）为“倍增函数”若函数 f（x）=ln（e x+m）为“倍增函 数”，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C （ 1，0） D 【考点】函数的值 【分析】由题意，函数 f（x ）在a，b 上的值域且是增函数；可得 ，可以转化为方程 e2xexm=0 有两个不等的实根，且两根都大于 0 的问题，从而求出 t 的范围 【解答】解：函数 f（x ）=ln（e x+m）为“倍增函数”， 且满足存在a，b，使 f（x）在a，b上的值域是2a ，2b， f（ x）在a，b上是增函数； ， 即 ； 方程 e2xexm=0 可化为 y2ym=0（其中 y=ex） ， 该方程有两个不等的实根，且两根都大于 0； 即 ， 解得 m0； 第 11 页（共 25 页） 满足条件的 m 的范围是（ ，0） ； 故选：D 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9如果（x 21）+（x1）i 是纯虚数，那么实数 x= 1 【考点】复数的基本概念 【分析】直接由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 【解答】解：（x 21）+（x 1）i 是纯虚数， ，解得：x= 1 故答案为：1 10如果执行如图所示的程序框图，那么输出的 k= 5 【考点】程序框图 【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论 第 12 页（共 25 页） 【解答】解：由程序框图知第一次运行 k=2，m= ； 第二次运行 k=3，m= ； 第三次运行 k=4，m= ； 第四次运行 k=5，m= ； 退出循环 故答案为：5 11如果直线 l：y=kx 1（k0）与双曲线 的一条渐近线平行，那么 k= 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得 到所求 k 的值 【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 y= x， 由直线 l：y=kx1（k 0）与双曲线 的一条渐近线平行， 可得 k= 故答案为： 12 “墨子号 ”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于 2016 年 8 月 16 日发射升空 “墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆 盖全球的量子保密通信量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码， 比如，码元 0 对应光子偏振方向为水平或斜向下 45 度，码元 1 对应光子偏振方 向为垂直或斜向上 45 度如图所示 编码方式 1 编码方式 2 码元 0 第 13 页（共 25 页） 码元 1 信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如， 信号发送端如果按编码方式 1 发送，同时接收端按编码方式 1 进行解码，这时 能够完美解码；信号发送端如果按编码方式 1 发送，同时接收端按编码方式 2 进行解码，这时无法获取信息如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完 美解码的概率是 ；如果发送端发送 3 个码元，那么恰有两个码元无法获 取信息的概率是 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数 n=2，接收端能够完美解码包含 的基本事件个数 m=1，由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美 解码的概率；进而利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公 式能求出发送端发送 3 个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率 【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数 n=2， 接收端能够完美解码包含的基本事件个数 m=1， 发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率 p1= = 发送端发送 3 个码元， 恰有两个码元无法获取信息的概率 p2= = 故答案为： ， 13已知ABC 中，A=120，且 AB=AC=2，那么 BC= 2 ， = 6 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】利用余弦定理求出 BC 的值，根据平面向量数量积的定义求出 的 第 14 页（共 25 页） 值 【解答】解：ABC 中，A=120，且 AB=AC=2， 由余弦定理得 BC2=AB2+AC22ABACcosA =22+22222cos120 =12， BC=2 ， =（ ） （ ） = + =22+22cos120 =6 故答案为：2 ，6 14已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠 中生存 36 天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走 30 公里，每个人都可以在 沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回若组员甲与其他两个人合作， 且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 900 公里 【考点】进行简单的合情推理 【分析】因为要求最远，所以 3 人同去耗食物，即只一人去，另 2 人中途返回， 3 人一起出发12 天后两人都只剩 24 天的食物乙、丙分给甲 12+12=24 天的 食物后独自带 12 天的食物返回；甲独自前进 18 天后返回，甲一共走了 30 天， 他们每天向沙漠深处走 30 千米，据此解答即可 【解答】解：因为要求最远，所以 3 人同去耗水和食物，即只一人去， 3 人一起出发12 天后两人都只剩 24 天的食物 乙、丙分给甲 12+12=24 天的食物后独自带 12 天的水和食物返回 则甲有的食物：3612+12+12=48（天） 第 15 页（共 25 页） 甲再走：（4812）2=18（天） 30（12 +18）=900 公里 故答案为 900 三、解答题（共 6 小题，共 80 分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15已知点（ ，1）在函数 f（x ）=2asinxcosx +cos2x 的图象上 （） 求 a 的值和 f（x）最小正周期； （） 求函数 f（x）在（ 0， ）上的单调减区间 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin（x+）的形式，图象过点（ ，1 ） ，可得 a 的值利用周期公式求函 数的最小正周期 （）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单 调递减区间；根据 k 的取值，即可得 x 在（0， ）的减区间 【解答】解：（）函数 f（x ）=2asinxcosx +cos2x 化解可得：f（x）=asin2x+cos2x 图象过点（ ，1） ， 即 1=asin +cos 可得：a=1 f（ x）=sin2x +cos2x= sin（2x+ ） 函数的最小正周期 T= （）由 2k+ 2x+ ，k Z 可得： x ，k Z 函数 f（ x）的单调减区间为 ， ，kZ x（0，） 第 16 页（共 25 页） 当 k=0 时，可得单调减区间为 ， 函数 f（ x）在（0， ）上的单调减区间为 ， 16已知数列a n是等差数列，前 n 项和为 Sn，若 a1=9，S 3=21 （）求数列a n的通项公式； （）若 a5，a 8，S k 成等比数列，求 k 的值 【考点】等比数列的通项公式；数列递推式 【分析】 （）利用等差数列前 n 项和公式求出 d=2，由此能求出数列a n的通 项公式 （）由 a5，a 8，S k 成等比数列，得 ，由此能求出 k 【解答】解：（）数列a n是等差数列，前 n 项和为 Sn，a 1=9，S 3=21 ， 解得 d=2， a n=9+（n1 ）（ 2）= 2n+11 （）a 5，a 8，S k 成等比数列， ， 即（28+11） 2=（25+11） 9k+ ， 解得 k=5 17如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形， ADBD 且 AD=BD，ACBD=O，PO平面 ABCD （I） E 为棱 PC 的中点，求证： OE平面 PAB； （II）求证：平面 PAD平面 PBD； （III） 若 PDPB，AD=2 求四棱锥 PABCD 体积 第 17 页（共 25 页） 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （）由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 O 为 AC 中点，又 E 为 PC 中 点，由三角形中位线定理可得 OEPA，再由线面平行的判定可得 OE平面 PAB； （）由 PO平面 ABCD，得 POAD ，再由 ADBD，可得 AD平面 PBD，进 一步得到平面 PAD平面 PBD； （）由已知求出平行四边形 ABCD 的面积，进一步求出高 PO，再由体积公式 得答案 【解答】 （）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， O 为 AC 中点，又 E 为 PC 中点，OE 是PAC 的中位线 OEPA ，而 OE平面 PAB，PA平面 PAB， OE平面 PAB； （）证明：PO 平面 ABCD，POAD ， 又 ADBD，且 BDPO=O， AD平面 PBD，而 AD平面 PBD， 平面 PAD平面 PBD； （）由 ADBD ，且 AD=BD，AD=2，S 四边形 ABCD=22=4， 又 PDPB ，PO BD，可得 PO= ， 第 18 页（共 25 页） 18某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中， 对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区 400 位居民某月的用 水量数据（单位：立方米） ，整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直 方图（图 1）： 组号 分组 频数 1 0.5，1 ） 20 2 1，1.5） 40 3 1.5，2 ） 80 4 2，2.5） 120 5 2.5，3 ） 60 6 3，3.5） 40 7 3.5，4 ） 20 8 4，4.5） 20 （）求 a，b 的值； （）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于 3 立方 米的概率； （）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”假设同 组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小 区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为 65%，经过同学们 的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图 2 所 示，估计这时小区是否达到“节水小区” 的标准？并说明理由 第 19 页（共 25 页） 【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （）由数据分组及频数分布表能求出 a，b 的值 （）设这名住户一个月用水量小于 3 立方米为事件 A，利用等可能事件概率 计算公式能求出这名住户一个月用水量小于 3 立方米的概率 （）由图可知小区人均月用水量低于 2.5 立方米，则称为“节水小区”，由图求 出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小 区”的标准 【解答】解：（）由数据分组及频数分布表知： a= =0.2， b= =0.6 （）设这名住户一个月用水量小于 3 立方米为事件 A， 则这名住户一个月用水量小于 3 立方米的概率 P（A）= =0.8 （）该小区居民月用水量低于这一标准的比例为 30%， 由图可知小区人均月用水量低于 2.5 立方米，则称为“节水小区”， 由图可知，三个月后的该小区人均用水量为： 10.1+1.50.15+20.25+2.50.3+30.1+3.50.05+40.05=2.252.5， 三个月后，估计小区能达到“节水小区” 的标准 19已知椭圆 W： =1（ab 0）的左右两个焦点为 F1，F 2，且 第 20 页（共 25 页） |F1F2|=2，椭圆上一动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=2 （）求椭圆 W 的标准方程及离心率； （）如图，过点 F1 作直线 l1 与椭圆 W 交于点 A，C ，过点 F2 作直线 l2l 1，且 l2 与椭圆 W 交于点 B，D ， l1 与 l2 交于点 E，试求四边形 ABCD 面积的最大值 【考点】直线与椭圆的位置关系 【分析】 （）由椭圆的定义及焦距|F 1F2|=2c=2，求得 a 和 c 的值，则 b2=a2c2=2，即可求得椭圆的方程及离心率 （）当直线的斜率不存在时，由 S= 丨 AC 丨丨 BD 丨=4 ，当直线斜率存在 时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得丨 AC 丨， 丨 BD 丨根据函数的单调性即可求得四边形 ABCD 面积的最大值 【解答】解：（）由题意可知：|F 1F2|=2c=2，c=1，2a=|PF 1|+|PF2|=2 ，a= ， b2=a2c2=2，离心率 e= = ， 椭圆的标准方程为： ； （）当直线 l2l 1，当斜率不存在时，EF 1EF 2，此时求得丨 EO 丨= 丨 F1F2 丨=1， E 点轨迹为以原点为圆心，半径为 1 的圆，显然点 E 在椭圆 W 上内部， 四边形 ABCD 面积 S=SABC +SADC = 丨 AC 丨丨 BE 丨+ 丨 AC 丨 丨 DE 丨= 丨 AC 丨丨 BD 丨， 第 21 页（共 25 页） 将 x=1 代入椭圆方程，求得 y= ，此时丨 BD 丨= ，丨 AC 丨=2 ， 则四边形 ABCD 面积 S= 丨 AC 丨丨 BD 丨=4， 当直线 l2，l 1 都存在时，设直线 l1，x=my 1， （m0） ， 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， ，整理得：（2m 2+3）y 24my4=0， 则 y1+y2= ，y 1y2= ， 则丨 AC 丨= = ， 同理直线 l1，x= x+1，同理求得丨 BD 丨= ， 四边形 ABCD 面积 S= 丨 AC 丨丨 BD 丨= ， = ， = =4 ， =4（1 ）4， 综上可知四边形 ABCD 面积的最大值 4，此时直线 l2，l 1 一条为椭圆的长轴，一 条与 x 轴垂直 20设函数 ，aR （）若 x=2 是 f（x）的极值点，求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性； （）已知函数 ，若 g（x）在区间（0，1）内有零点，求 第 22 页（共 25 页） a 的取值范围； （）设 f（x）有两个极值点 x1，x 2，试讨论过两点（x 1，f （x 1） ） ， （x 2，f（x 2） ） 的直线能否过点（1，1） ，若能，求 a 的值；若不能，说明理由 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （I） f（x）=x 2x+a，由 x=2 是 f（x）的极值点，可得 f（2）=0 ，解得 a=2代入 f（x ）进而得出单调性 （II） = +ax+ ，g（x）=x 2（1+a） x+a=（x1） （x a） 对 a 与 1 的大小关系分类讨论 可得 a 的取值范围 （III）不能，原因如下