2017年数学研习试题七

掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 第 13 题图 FGCA BED2017 年数学研习试题七1 （2016 济南，13，3 分）如图，在A ABCD 中，AB12，AD8，ABC 的平分线交 CD于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CGBE，垂足为 G，若 EF2，则 线段 CG 的长为（ ）A B4 C 2 152 3 D15 55 2（2016 济南，21，3 分）如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB8 ，AD 10，点 E 是3 CD 的中点将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2， 折痕为 MN，连接 ME、NE；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3，点 B 落在 B 处，折痕为 HG，连接 HE，则 tanEHG_ 第 21 题图 1 E(N)E(A)EA BCD D CBA A BCDBMNMNHG 第 21 题图 2 第 21 题图 3 3 （本小题满分 9 分）如图 1， OABC 的边 OC 在 x 轴的正半轴上，OC5，反比例函数 y (x0) 的图象经过点 A（1，4） （1）求反比例函数的关系式和点 B 的坐标；（2）如m 图 2，过 BC 的中点 D 作 DPx 轴交反比例函数图象于点 P，连接 AP、OP求AOP 的 面积；在 OABC 的边上是否存在点 M，使得POM 是以 PO 为斜边的直角三角形？若 存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 第 26 题图 1 第 26 题图 2 x y x yPDBA COBACO 4 （本小题满分 9 分）如图 1，抛物线 yax 2(a3)x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ， 与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m ，0） （0m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数 表达式；（2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若 ，求 m 的値；65 （3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 (0 90)，连接 EA、EB，求 EA EB 的最小值 23 第 28 题图 1 x yMNPB AOE 第 28 题图 2 x yMNPB AOEE 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 2017 年数学研习试题七 1 （2016 济南，13，3 分）如图，在A ABCD 中，AB12，AD8，ABC 的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CGBE，垂足为 G，若 EF2，则线段 CG 的长为（ ）A B4 C 2 D 152 3 15 55 第 13 题图 FGCA BED 【答案】C【解析】四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBCABEDFE，CBEEBE 平分 ABC，ABECBEDFEEDEDF ABE CBE， ABE DFE， CFBDFE， CBECFBCFCB8DFDCCF1284 AEBC， DEFCBF BF4 EFBF DFCF 2BF 48 CFCB， CGBE，FGBG BF2(三线合一) 12 在 RtCFG 中，CG 2 选项 C 正确CF2 FG2 82 22 15 2（2016 济南，21，3 分）如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB8 ，AD 10，点 E 是3 CD 的中点将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2， 折痕为 MN，连接 ME、NE；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3，点 B 落在 B 处，折痕为 HG，连接 HE，则 tanEHG_ 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 第 21 题图 1 E(N)E(A)EA BCD D CBA A BCDBMNMNHG 第 21 题图 2 第 21 题图 3 【答案】 【解析】在图 2 中，设 DMx，则 AMEM10x点 E 是 CD 的中点， 563 ABCD8 ，DECE CD4 在 RtDEM 中， DE 2DM 2EM 2，(4 )3 12 3 3 2x 2(10 x) 2解得 x2.6DM2.6，AMEM102.67.4过点 N 作 NFCD 于点 F（如答案图 1） ，则DEMFNE 解得 DEFN EMEN 7.4EN EN ANEN tan AMN 376 3 376 3 ANAM 563 第 21 题答案图 1 E(A)D CBAMNF 第 21 题答案图 2 KE(N)BD CBAMNHG 在答案图 2 中，MEEN，HGEN，MEHG NMENHK 又 NMEAMN，EHGNHK，AMNEHGtanEHGtan AMN 563 3 （本小题满分 9 分）如图 1， OABC 的边 OC 在 x 轴的正半轴上，OC5，反比例函数 y (x0) 的图象经过点 A（1，4） （1）求反比例函数的关系式和点 B 的坐标；m （2）如图 2，过 BC 的中点 D 作 DPx 轴交反比例函数图象于点 P，连接 AP、OP 求AOP 的面积；在 OABC 的边上是否存在点 M，使得 POM 是以 PO 为斜边 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第 26 题图 1 第 26 题图 2 x y x yPDBA COBACO 解:（1）把 A（ 1，4）代入 y ，得 4 m 4反比例函数的关系式为：y x m1 4x x BAB1516，y B4，点 B 的坐标为（6，4） （2）D 是 BC 的中点，且 B（6，4） ，C（5，0） ，D（5.5，2） 作 DP 的延长线，交 OA 于点 EDPOA，D 是 BC 的中点， 点 E 是 OA 的中 点E（0.5，2） 过点 A 作 AFOC 于点 F，交 PE 于点 G，则 AGP E 于点 G，且 AF4 点 P 的纵坐标与点 D 的纵坐标相同，点 P 的纵坐标为 2 把 y2 代入 y ，得 2 x2点 P 的坐标为（2，2） PE xPx E20.51.5 4x 4x AOP 的面积AEP 的面积EOP 的面积 PEAG PEFG PE(AGFG ) 12 12 12 PEAF 1.543 12 12 第 26 题答案图 2 x y M1M2P DB A CO 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 第 26 题答案图 1 x y FGEP DB A CO 在 OABC 的边上是否存在点 M，使得POM 是以 PO 为斜边的直角三角形 以 OP 为直径作圆，该圆交 OC 于点 M1，交 OA 于点 M2，则 M1，M 2 就是符合题意的点 PM 1OC ，且点 P 的坐标为（2，2） ， 点 M1 的坐标为（2，0） 可求得直线 OA 的解析式为 y4x PM 2OA ，可设直线 PM2 的解析式为 y xb 14 把点 P（2，2）代入，得 2 2b解得 b2.5 14 直线 PM2 的解析式为 y x2.5 14 由 解得 点 M2 的坐标为（ ， ） 10174017 综合以上可得，符合题意的点 M 的坐标为（2，0）或（ ， ） 10174017 4 （本小题满分 9 分）如图 1，抛物线 yax 2(a3)x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ， 与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m ，0） （0m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数 表达式；（2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若 ，求 m 的値；65 （3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 (0 90)，连接 EA、EB，求 EA EB 的最小值 23 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 第 28 题图 1 x yMNPB AOE 第 28 题图 2 x yMNPB AOEE 解：（1）把点 A（4，0）代入 yax 2( a3)x3，得 16a4(a3)30解得 a 抛物线的函数表达式为： y x2 x3 34 34 94 把 x0 代入上式，得 y3点 B 的坐标为（0，3） 由 A（4，0） ，B（0，3）可得直线 AB 的函数表达式为：y x3 34 （2）根据题意，得 OEm，AE4m，AB5，点 P 的坐标可表示为(m ， m 34 2 m3) PE m 2 m3 94 34 94 AENAOB， ANAB NEBO AE4 AN5 NE3 4 m4 AN (4m)， NE (4 m)PMN AEN ，且 ， 54 34 12C65 PN AN (4m) (4m) PNAN 656554 32 PENEPN (4m) (4m) (4m). 34 32 94 由、，得 m 2 m3 (4m)解得 m12，m 24(不合题意，舍去) 34 94 94 m 的値为 2 （3）在（2）的条件下，m 的値为 2，点 E（2，0）