211大学概率论试题

概率论 （A 卷） 第 1 页 共 10 页 xx 大学 20xx20xx 学年第一学期 概率论考试试卷（A 卷） （闭卷 时间 120 分钟） 院/系 年级 专业 姓名 学号 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1、设事件 与 互不相容，且 ，则下列结论中一定成立的是（ AB0)(,)(BPA ）. (A) ， 为对立事件 (B) ， 互不相容 (C) ， 不独立 (D) ， 相互独立 2、设 的概率密度函数为 ，且 ， 是 的分布函数，则对任意X()x()x()FxX 实 数 ，下列选项正确的是（ ）.a (A) (B) 0()1()aFxd 01()()2ad (C) (D) F 3、设随机变量 和 独立同分布，且其共同分布为 ，则下列式子中正确的XY /1 是（ ）. (A) (B) 2/1)(P 0)(YXP (C) (D) 4、设随机变量 和 都服从正态分布，且它们不相关，则下列说法正确的是（ ）.XY (A) 和 一定独立 (B) 服从二维正态分布 (,) (C) 和 未必独立 (D) 服从一维正态分布 XY 5、假设随机变量 相互独立， ，则根据 Lindeberg- 12,n 12nnSX Levy 中心极限定理，当 充分大时， 近似服从正态分布，只要 （ 12,nX ）. (A) 有相同的数学期望 (B) 有相同的方差 (C) 服从同一离散型分布 (D) 服从同一指数分布 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 得分 概率论 （A 卷） 第 2 页 共 10 页 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 6、设 ，则 _.()0.3,(|)0.,(|)0.5PABPAB()PB 7、设随机变量 的概率密度为 若 使得 ，则X 1/6,2,()29470,.xfx其 它 k2()3PXk 的取值范围是 _.k 8、设随机变量 和 相互独立，且 和 的概率分布列分别为：YXY 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8 则 _.(2)PXY 9、设随机变量 和 独立同分布，且方差存在. 记 , , 那么随机YXUV 变量 和 的协方差 _.UV),cov(VU 10、设 （二项分布） ，则 的特征函数为 _.(10,.6)XB:X()Xft 三、计算题（本大题共 4 小题，每小题 12 分，共 48 分） 11、某批产品中甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%，35%和 20%，各厂产品的次 品率分别为 4%，2% 和 5%，现从中任取一件. （1）求取到的是次品的概率； （2）若取到的是次品，求它是甲厂生产的概率. 得分Y -1 0 1 1/3 1/3 1/3 得分 概率论 （A 卷） 第 3 页 共 10 页 12、设随机变量 .（1）求概率 ；（2）若0,6XN:|10|4PX ，求常数 . （ , ）Pccc(0.25).987(.)813 13、设连续型随机变量 的概率密度函数为X,10,()0,xfk,其 他 其中 为常数 . 求：（1）常数 的值；（2）随机变量 的分布函数 ；（3）随机k X()Fx 变量 的概率密度函数 .2YX()Yfy 概率论 （A 卷） 第 4 页 共 10 页 14、设随机变量 在 1， 2，3 三个整数中等可能取值，另一个随机变量 在 中等X Y1X: 可能取一整数值求： （1）随机向量 的联合分布列；(,)Y （2）在 的条件下， 的条件分布列 四、证明题（本大题共 8 分） 15、设随机变量 和 相互独立，且均服从标准正态分布，令 . 证明：XYZXY .(0,2)ZN: 得分 概率论 （A 卷） 第 5 页 共 10 页 五、综合分析题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分） 16、设二维随机向量 具有联合概率密度函数:(,)XY21,1,(,)0.xyfxy （1）求随机变量 和 的相关系数，并判断 和 是否不相关？XY （2）求随机变量 和 的边缘密度函数 和 ，并判断 和 是否独立？XY()fx()fyXY 得分 概率论 （A 卷） 第 6 页 共 10 页 17、设随机变量 相互独立，且都服从均匀分布 . 记12,nX 0,U121,max,iinXX 其中 .1 nii （1）证明： ；12,E （2）比较方差 和 的大小.D 概率论 （A 卷） 第 7 页 共 10 页 20xx20xx 学年第一学期 概率论 （A 卷）考试试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1、C 2、B 3、A 4、C 5、D 二、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 6、0.6 7、 8、1/6 9、 10、,010(.6.4)ite 三、计算题（本大题共 4 小题，每小题 12 分，共 48 分） 11、解：以 分别表示产品是甲、乙、丙厂生产， 表示事件“取出的产品是123,A B 次品” 。由题意知 121()0.5,()0.35,()0.2,|45PAPBA （1）由全概率公式得 6 分 31()()|.iii （2）由 Bayes 公式得 12 分111 (|)(|) 0.54(PABA 12、解: （1） 6 分0|0|4|12()0.682XX （2）由于 所以 ，故 ,PccPc.5Xc10.c 12 分 13、解：（1）由于 ，所以 。01101()()fxdxkdxk 4 分 （2）利用分布函数的定义得 概率论 （A 卷） 第 8 页 共 10 页 8 分 20,1,10(),11.xFxPXxx （3）由于 所以2 0,()()2,Y yFyPXy 12 分1()0,.YfyF其 他 14、解：（1）由题意知， 的所有可能取值为 1，2，3，而 ，故 的所有可能XYX 取值也为 1，2，3。首先当 时， 。当 时，根据全概率公式，有ji(,)PiYjji(,)()| ,12,3.PiYXji 故得 的联合分布列为(,)X X 1 2 3 1 1/3 0 0 2 1/6 1/6 0 3 1/9 1/9 1/9 6 分 （2）由于 1(1)(,1)(2,1)(3,),8PYXYPXYPXY 故 概率论 （A 卷） 第 9 页 共 10 页 12 6(1|)(1,)/(1),32| 2, ,2(3|1)(3,1)/().1PXYPXYP 分 四、证明题（本大题共 8 分） 15、证明：由于 2 2/ /11(),(),x yX Yfxefye 所以 24()(,)()zZ XYfzfxzdfxzdxe 即 。(0,2)ZN: 8 分 五、综合分析题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分） 16、 （1）由于 (,)0,(,)0,EXYxyfdEXxfyd 所以 ，故 和 不相关。(,)XYCovYDD Y 6 分 （2）由于 21()(,),1,XY xfxfydyfyf 且 ，故 和 不独立。(,)()XYfxyf 12 分