2017年广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 S=x|x 5 或 x 5， T=x| 7 x 3，则 S T=（ ） A x| 7 x 5 B x|3 x 5 C x| 5 x 3 D x| 7 x 5 2在区间 1， m上随机选取一个数 x，若 x 1 的概率为 ，则实数 m 的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3设 f（ x） = ，则 f（ f（ 2）的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4已知双 曲线 =1 的左、右焦点分别为 抛物线 P 为两曲线的一个公共点，则 面积为（ ） A 18 B 18 C 36 D 36 5若实数 x、 y 满足 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A B C 1 D 2 6已知命题 p： x R， 2 0；命题 q： ， R， +） 下列命题中的真命题为（ ） A（ p） q B（ p q） C（ p） q D p （ q） 7若函数 f（ x）为区间 D 上的凸函数，则对于 D 上的任意 n 个值 、有 f（ +f（ + +f（ ），现已知函数 f（ x）= 0， 上是凸函数，则在锐角 ， 最大值为（ ） A B C D 8三棱柱 侧棱垂直于底面，且 C=，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A 48 B 32 C 12 D 8 9执行如图所示的程序框图，若 x a， b， y 0， 4，则 b a 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 10已知向量 、 、 满足 = + ， | |=2， | |=1， E、 F 分别是线段中点，若 = ，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 11一块边长为 6正方形铁皮按如图（ 1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（ 2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（ 3），则该容器的体积为（ ） A B C D 12已知 椭圆 E： + =1 的一个顶点为 C（ 0， 2），直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点，若 E 的左焦点为 重心，则直线 l 的方程为（ ） A 6x 5y 14=0 B 6x 5y+14=0 C 6x+5y+14=0 D 6x+5y 14=0 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若复数 a+i 是纯虚数，则实数 a= 14曲线 y= 在点（ 0， 1）处的切线方程为 15已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x）满足 f（ x+2） = f（ x），当 0x 1 时， f（ x） =x，则 f（ 于 16函数 f（ x） =（ 0）的最小正周期为 ，当 x m， n时， f（ x）至少有 5 个零点，则 n m 的最小值为 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17在 ，内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，已知 A=60， b=5，c=4 （ 1）求 a； （ 2）求 值 18设等差数列 公差为 d，且 2a1=d， 2an=1 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 19某 市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为 A、 B、 C、 D 四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩，得到如图所示分布图： （ ）试确定图中实数 a 与 b 的值； （ ）若将等级 A、 B、 C、 D 依次按照 90 分、 80 分、 60 分、 50 分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值； （ ）从两校获得 A 等级的同学中按比例抽取 5 人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选 2 人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率 20如图，三 棱锥 P ， C，底面 正三角形 （ ）证明： （ ）若平面 平面 ， 三棱锥 P 体积 21已知圆 C：（ x 6） 2+0，直线 l： y=圆 C 交于不同的两点 A、 B （ ）求实数 k 的取值范围； （ ）若 =2 ，求直线 l 的方程 22已知函数 f（ x） =x，其中 a R （ ）若 a 0，讨论 f（ x）的单调性； （ ）当 x 1 时， f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 2017 年广东省广州市番禺区高考 数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 S=x|x 5 或 x 5， T=x| 7 x 3，则 S T=（ ） A x| 7 x 5 B x|3 x 5 C x| 5 x 3 D x| 7 x 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集定义和不等式性质求解 【解答】 解： 集合 S=x|x 5 或 x 5， T=x| 7 x 3， S T=x| 7 x 5 故选： A 2在区间 1， m上随机选取 一个数 x，若 x 1 的概率为 ，则实数 m 的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 几何概型 【分析】 利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于 m 的等式解之 【解答】 解：由题意 x 1 的概率为 ，则 ，解得 m=4； 故选 C 3设 f（ x） = ，则 f（ f（ 2）的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 分段函数的解析式求法及其图象的作法 【分析】 考查对分段函数的理解程度， f（ 2） =22 1） =1，所以 f（ f（ 2）=f（ 1） =21=2 【解答】 解： f（ f（ 2） =f（ 22 1） =f（ 1） =21=2，故选 C 4已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 抛物线 P 为两曲线的一个公共点，则 面积为（ ） A 18 B 18 C 36 D 36 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出 P 的坐标，即可求出 面积 【解答】 解：由题意， =6， p=12， 双曲线方程与抛物线方程联立，可得 P（ 9， 6 ）， 面积为 =36 ， 故选 D 5若实数 x、 y 满足 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A B C 1 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，变形目标函数，平移直线 y=2x 可得结论 【解答】 解：作出约束条件 ，所对应的可行域（如图 变形目标函数可得 y=2x z，平移直线 y=2x 可知当直线经过点 A 时， 直线的截距最小， z 取最大值，由 可得 ， A（ ， ） 代值计算可得 z=2x y 的最大值为 1， 故选： C 6已知命题 p： x R， 2 0；命题 q： ， R， +） 下列命题中的真命题为（ ） A（ p） q B（ p q） C（ p） q D p （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断出 p， q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可 【解答】 解：关于命题 p： x R， 2 0， =44 0，故 p 是真命题， 关于命题 q： ， R， +） 真命题， （ p） q 是真命题， 故选： C 7若函数 f（ x）为区间 D 上的凸函数，则对于 D 上的任意 n 个值 、有 f（ +f（ + +f（ ），现已知函数 f（ x）= 0， 上是凸函数，则在锐角 ， 最大值为（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用凸函数对于 D 上的任意 n 个值 、 有 f（ +f（ +f（ ），将函数 f（ x ） = 0， ，得到所求 【解答】 解：由已知凸函数的性质得到3 ； 所 以在锐角 ， 最大值为 ； 故选 D 8三棱柱 侧棱垂直于底面，且 C=，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A 48 B 32 C 12 D 8 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 以 棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积 【解答】 解： 三棱柱 侧棱垂直于底面，且 B=， 以 棱构造一个正方体， 则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上， 该球的半径 R= = ， 该球的表面积为 S=4 3=12 故选： C 9执行如图所示的程序框图，若 x a， b， y 0， 4，则 b a 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 程序框图 【分析】 写出分段函数，利用 x a， b， y 0， 4，即可 b a 的最小值 【解答】 解：由题意， y= ， x a， b， y 0， 4，则 b a 的最小值为 2，此时区间为 0， 2或 2， 4， 故选 A 10已知向量 、 、 满足 = + ， | |=2， | |=1， E、 F 分别是线段中点，若 = ，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意画出图形，结合 求得 ， 的值，即可求出向量 与的夹角 【解答】 解：如图所示， =（ ） （ ） = = ； 由 | |=| |=2， | |=| |=1， 可得 =1， ， = ， ， = ， 即向量 与 的夹角为 故选： B 11一块边长为 6正方形铁皮按如图（ 1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（ 2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（ 3），则该容器的体积为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 推导出 N=6，且 N， ， ，设 点为 O，则 平面 此能求出该容器的体积 【解答】 解：如图（ 2）， 该四棱锥 的正视图， 由图（ 1）知： N=6，且 N， 由 等腰直角三角形，知 ， ， 设 点为 O，则 平面 ， 该容器的体积为 = =9 故选： D 12已知椭圆 E： + =1 的一个顶点为 C（ 0， 2），直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点，若 E 的左焦点为 重心，则直线 l 的方程为（ ） A 6x 5y 14=0 B 6x 5y+14=0 C 6x+5y+14=0 D 6x+5y 14=0 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 先由椭圆左焦点 为 重心，得相交弦 中点坐标，再由点 A、 B 在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线 l 的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可 【解答】 解：设 A（ B（ 椭圆 + =1 的左焦点为（ 1， 0）， 点 C（ 0， 2），且椭圆左焦点 为 重心 = 1， =0 x1+ 3， y1+ ， ， 两式相减得： + =0 将 代入得： = ，即直线 l 的斜率为 k= = ， 直线 l 过 点（ ， 1） 直线 l 的方程为 y 1= （ x+ ） 故答案为 6x 5y+14=0， 故选 B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若复数 a+i 是纯虚数，则实数 a= 0 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用纯虚数的定义即可得出 【解答】 解： 复数 a+i 是纯虚数，则实数 a=0 故答案为： 0 14曲线 y= 在点（ 0， 1）处的切线方程为 x y+1=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先对函数 y= 进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线 y=在点 x=0 处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程 【解答】 解： y= 切线的斜率 k=y|x=0=1， 切线方程为 y 1=x 0， 即 x y+1=0 故答案为： x y+1=0 15已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x）满足 f（ x+2） = f（ x），当 0x 1 时， f（ x） =x，则 f（ 于 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 根据题意，由 f（ x+2） = f（ x）可得 f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x），即函数 f（ x）的周期为 4，即有 f（ =f（ 结合题意可得 f（ =f2+（ = f（ 结合函数的奇偶性可得 f（ = f（ 进而结合函数在 0 x 1 上的解析式可得 f（ 值，综合即可得答案 【解答】 解：根据题意，由于 f（ x+2） = f（ x），则有 f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x），即函数 f（ x）的周期为 4， 则有 f（ =f（ 9） =f（ 又由 f（ x+2） = f（ x），则有 f（ =f2+（ = f（ 又由函数为奇函 数，则 f（ = f（ 又由当 0 x 1 时， f（ x） =x，则 f（ = 则有 f（ =f（ = f（ =f（ = 故 f（ = 故答案为： 16函数 f（ x） =（ 0）的最小正周期为 ，当 x m， n时， f（ x）至少有 5 个零点，则 n m 的最小值为 2 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 将函数化简为 f（ x） =22x+ ） +1的最小正周期为 ，可得 f（ x） =22x+ ） +1可知在 y 轴左侧的第一个零点为 ，右侧的第一个零点为 ， x m， n时， f（ x）至少有 5 个零点，可得 n m 的最小值 【解答】 解：函数 f（ x） =（ 0） 化简可得： f（ x） =22x+ ） +1 最小正周期为 ，即 T=， ，可得 =1 f（ x） =22x+ ） +1 根据正弦函数的图象及性质可知：函数 f（ x）的 y 轴左侧的第一个零点为 ，右侧的第一个零点为 ， x m， n时， f（ x）至少有 5 个零点，不妨设 m= ，则 n= 此时 n m 可得最小值为 2 故答案为 2 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17在 ，内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，已知 A=60， b=5，c=4 （ 1）求 a； （ 2）求 值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出 a 的值； （ 2）由条件和正弦定理求出 值，代入式子求出答案 【解答】 解：（ 1）因为 A=60， b=5， c=4， 所以由余弦定理得， a2=b2+225+16 =21， 则 a= ； （ 2）由正弦定理得， = = ， 所以 = ， = 所以 = 18设等差数列 公差为 d，且 2a1=d， 2an=1 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ 1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出 （ 2）利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 等差数列 公差为 d， 2an=1 取 n=1，则 2a1=1=a1+d 1，与 2a1=d 联立，解得 d=2， +2（ n 1） =2n 1 （ 2） = = ， 数列 前 n 项和 + + ， = + + + ， = + + = ， 19某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为 A、 B、 C、 D 四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩，得到如图所示分布图： （ ）试确定图中实数 a 与 b 的 值； （ ）若将等级 A、 B、 C、 D 依次按照 90 分、 80 分、 60 分、 50 分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值； （ ）从两校获得 A 等级的同学中按比例抽取 5 人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选 2 人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）由甲校样本频数分布条形图能求出 a，由乙校样本频率分布条形图能求出 b （ ）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值 （ ）由样本数据可知集训的 5 人中甲校抽 2 人，分别记作 E， F，乙校抽 3 人，分别记作 M， N， Q，从 5 人中任选 2 人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率 【解答】 解：（ ） 测试成绩从高到低依次分为 A、 B、 C、 D 四个等级， 随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩， 由甲校样本频数分布条形图知： 6+a+33+6=60，解得 a=15， 由乙校样本频率分布条形图得： b+，解得 b= （ ）由数据可得甲校的平均值为 = =67， 乙校的平均值为 =90 0 0 0 3 （ ）由样本数据可知集训 的 5 人中甲校抽 2 人，分别记作 E， F，乙校抽 3 人，分别记作 M， N， Q， 从 5 人中任选 2 人，一共有 10 个基本事件，分别为： 其中 2 人来自同一学校包含中 两人来自同一学校的概率 p= 20如图，三棱锥 P ， C，底面 正三角形 （ ）证明： （ ）若平面 平面 ， 三棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置 关系 【分析】 （ ）取 点 O，连接 等腰三角形的性质可得 O 由线面垂直的判定可得 平面 （ ）由面面垂直的性质可得 平面 由已知求出三角形 面积，即 长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥 P 体积 【解答】 （ ）证明：如图， 取 点 O，连接 C， 又 底面 正三角形， ， 平面 （ ）解： 平面 平面 且平面 平面 C， 平面 又 ， 得 ，且 21已知圆 C：（ x 6） 2+0，直线 l： y=圆 C 交于不同的两点 A、 B （ ）求实数 k 的取值范围； （ ）若 =2 ，求直线 l 的方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）根据题意可得圆心 C（ 6， 0）到直线 l： y=距离小于半径 ，由此求得 k 的范围 （ ）把直线 l： y=入圆 C，化简后利用韦达定理，再根据 =2 ，可得而求得 k 的值 ，可得直线 l 的方程 【解答】 解：（ ）由题意可得，圆心 C（ 6， 0）到直线 l： y=距离小于半径 ， 即 ，求得 k （ ）把直线 l： y=入圆 C：（ x 6） 2+0，化简可得（ 1+12x+16=0， x1+， x1 若 =2 ，则 ， ， 则 x1 = ， k= 1， 故直线 l： y= x 22已知函数 f（ x） =x，其中 a R （