2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 2，则 A B=（ ） A（ 2， 3 B 2， 3 C（ 2， 3） D 2， 3） 2已知 a， b R， i 为虚数单位，当 a+bi=i（ 1 i）时，则 =（ ） A i B i C 1+i D 1 i 3已知向量 ， 满足 | |=2， | |=3，（ ） =7，则 与 的夹角为（ ） A B C D 4已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点为 F（ c， 0），上顶点为 B，若直线 y= x 与 行，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 5已知 三个内角 A， B， C 依次成等差数列， 上的中线 ，则 S ） A 3 B 2 C 3 D 6 6从 5 种主料职工选 2 种， 8 种辅料中选 3 种烹制菜肴，烹制方式有 5 种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（ ） A 18 B 200 C 2800 D 33600 7 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 结 果 是 （ ）A 8 B 13 C 21 D 34 8如图，在边长为 2 的正方形 ， M 是 中点，则过 C， M， D 三点的抛物线与 成阴影部分的面积是（ ） A B C D 9设 公差为 2 的等差数列， bn=a ，若 等比数列，则 b1+b2+b3+b4+ ） A 142 B 124 C 128 D 144 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 11已知棱长为 的正四面体 个面都是正三角形），在侧棱 任取一点 P（与 A， B 都不重合），若点 P 到平面 平面 距离分别为a， b，则 + 的最小值为（ ） A B 4 C D 5 12设 f（ x） =f（ x） =g（ x） h（ x），且 g（ x）为偶函数， h（ x）为奇函数，若存在实数 m，当 x 1， 1时，不等式 x） +h（ x） 0 成立，则 ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） = 14已知函数 f（ x） =ax+b， 0 f（ 1） 2， 1 f（ 1） 1，则 2a b 的取值范围是 15已知三个命题 p， q， m 中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断： A： p 是真命题； B： p q 是假命题； C： m 是真命题 老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题 p， q， m 中的真命题是 16已知点 A（ a， 0），点 P 是双曲线 C： 右支上任意一点，若 |最小值为 3，则 a= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文 字说明、证明过程或演算过程 17已知 a， b 分别是 角 A， B 的对边，且 数f（ x） =x， x 0， （ ）求 A； （ ）求函数 f（ x）的值域 18如图，在五棱锥 P ， 等边三角形，四边形 直角梯形且 0， G 是 中点，点 P 在底面的射影落在线段 （ ）求证：平面 平面 （ ）已知 ， ，侧棱 底面 成角为 45， S ，点 M 在侧棱 ， 二面角 M D 的余弦值 19某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出 100 位学生对餐厅服务质量打分（ 5 分制），得到如图柱状图 （ ）从样本中任意选取 2 名学生，求恰好有 1 名学生的打分不低于 4 分的概率； （ ）若以这 100 人打分的频率作为概率，在该校随机选取 2 名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记 X 表示两人打分之和，求 X 的分布列和 E（ X） （ ）根据（ ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定 了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为 Y（单位：元），求 E（ Y） 服务质量评分 X X 5 6 X 8 X 9 等级 不好 较好 优良 奖惩标准（元） 1000 2000 3000 20已知 F 为抛物线 E： p 0）的焦点，直线 l： y=交抛物线 E 于A， B 两点 （ ）当 k=1， |8 时，求抛物线 E 的方程； （ ）过点 A， B 作抛物线 E 的切线 点为 P，若直线 直线 l 斜率之和为 ，求直线 l 的斜率 21已知函数 f（ x） =a 0）的最小值是 1 （ ）求 a； （ ）若关于 x 的方程 x） 6x） +9x=0 在区间 1， + ）有唯一的实根，求 m 的取值范围 从 22、 23 题中任选一题作答 .选修 4标系与参数方程选讲 22在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程分别为 =2 ） = （ ）求 点的极坐标； （ ）直线 l 的参数方程为： （ t 为参数），直线 l 与 x 轴的交点为P，且与 于 A， B 两点，求 | 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|2| （ ）当 a=2 时，解不等式 f（ x） x+1； （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） +f（ x） 有实数解，求 m 的取值范围 2017 年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 2，则 A B=（ ） A（ 2， 3 B 2， 3 C（ 2， 3） D 2， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A 和 B，由此利用交集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|x 2， A B=x|2 x 3=2， 3） 故选： D 2已知 a， b R， i 为虚数单位，当 a+bi=i（ 1 i）时，则 =（ ） A i B i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 a+bi=i（ 1 i） =1+i，求出 a， b 的值，然后代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 a+bi=i（ 1 i） =1+i， 得 a=1， b=1 则 = 故选： A 3已知向量 ， 满足 | |=2， | |=3，（ ） =7，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得 = 3，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角 【解答】 解：向量 ， 满足 | |=2， | |=3，（ ） =7， 可得 2 =4 =7，可得 = 3， ， = = = ， 由 0 ， ， 可得 ， = 故选： C 4已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点为 F（ c， 0），上顶点为 B，若直线 y= x 与 行，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出直线 斜率，利用直线 y= x 与 行，建立方程，求出 b=c，即可求出椭圆 C 的离心率 【解答】 解：由题意， ， b=c， a= c， e= = ， 故选 B 5已知 三个内角 A， B， C 依次成等差数列， 上的中线 ，则 S ） A 3 B 2 C 3 D 6 【考点】 正弦定理 【分析】 由于 三个内角 A、 B、 C 成等差数列，且内角和等于 180，故 B=60， ，由余弦定理可得 长，进而利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 解： 由于 三个内角 A、 B、 C 成等差数列，且内角和等于180， B=60， ，由余弦定理可得： 2D： 7=4+2 或 1（舍去），可得： ， S = =3 故选： C 6从 5 种主料职工选 2 种， 8 种辅料中选 3 种烹制菜肴，烹制方式有 5 种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（ ） A 18 B 200 C 2800 D 33600 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，分 3 步进行分析： 、从 5 种主料之中选 2 种， 、从 8种辅料中选 3 种烹制菜肴， 、从 5 种烹制方式选一种，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 3 步进行分析： 、从 5 种主料之中选 2 种，有 0 种选法； 、从 8 种辅料中选 3 种烹制菜肴，有 6 种选法； 、从 5 种烹制方式选一种，有 种选法； 则最多可以烹制出不同的菜肴种数为 10 56 5=2880； 故选： C 7 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 结 果 是 （ ） A 8 B 13 C 21 D 34 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量 a， b， c 的值，并输出满足退出循环条件时的b 的值，模拟程序的运行，对程序 运行过程中各变量的值进行分析，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a=1， b=1， i=1 执行循环体， c=2， a=1， b=2， i=2 不满足条件 i 5，执行循环体， c=3， a=2， b=3， i=3 不满足条件 i 5，执行循环体， c=5， a=3， b=5， i=4 不满足条件 i 5，执行循环体， c=8， a=5， b=8， i=5 不满足条件 i 5，执行循环体， c=13， a=8， b=13， i=6 满足条件 i 5，退出循环，输出 b 的值为 13 故选： B 8如图，在边长为 2 的正方形 ， M 是 中点， 则过 C， M， D 三点的抛物线与 成阴影部分的面积是（ ） A B C D 【考点】 定积分在求面积中的应用 【分析】 由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可 【解答】 解：由题意，建立如图所示的坐标系，则 D（ 2， 1）， 设抛物线方程为 入 D，可得 p= ， y= ， S= = = ， 故选 D 9设 公差为 2 的等差数列， bn=a ，若 等比数列，则 b1+b2+b3+b4+ ） A 142 B 124 C 128 D 144 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由已知得 an= n 1） 2=n 2，且（ 2=a2而 ， =2+2 2n 2=2n+1，由此能求出 b1+b2+b3+b4+值 【解答】 解： 公差为 2 的等差数列， bn=a ， an= n 1） 2=n 2， 等比数列， （ 2=a2 =（ 2）（ 6 2）， 解得 ， =2+2 2n 2=2n+1 b1+b2+b3+b4+2+23+24+25+26=124 故选： B 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可得，直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体，由图中数据可得该几何体的体积 【解答】 解：由三视图可得，直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体， 由图中数据可得几何体的体积为 = ， 故选 A 11已知棱长为 的正四面体 个面都是正三角形），在侧棱 任取一点 P（与 A， B 都不重合），若点 P 到平 面 平面 距离分别为a， b，则 + 的最小值为（ ） A B 4 C D 5 【考点】 基本不等式 【分析】 由题意可得： + = ，其中 S h 为正四面体 高，可得 h=2， a+b=2再利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：由题意可得： + = ，其中 S h 为正四面体 高 h= =2， a+b=2 + = = = ，当且仅当 a=2= 时取等号 故选： C 12设 f（ x） =f（ x） =g（ x） h（ x），且 g（ x）为偶函数， h（ x）为奇函数，若存在实数 m，当 x 1， 1时，不等式 x） +h（ x） 0 成立，则 ） A B C D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由 F（ x） =g（ x） +h（ x）及 g（ x）， h（ x）的奇偶性可求得 g（ x）， h（ x），进而可把 x） +h（ x） 0 表示出来，分离出参数后，求函数的最值问题即可解决 【解答】 解：由 f（ x） =g（ x） h（ x），即 ex=g（ x） h（ x） ，得 e x=g（x） h（ x）， 又 g（ x）， h（ x）分别为偶函数、奇函数，所以 e x=g（ x） +h（ x） ， 联立 解得， g（ x） = （ ex+e x）， h（ x） = （ e x） x） +h（ x） 0，即 m （ ex+e x） + （ e x） 0，也即 m ，即 m 1 存在实数 m，当 x 1， 1时，不等式 x） +h（ x） 0 成立， 1 ， m m 的最小值为 故选 A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） = 【考点】 函数的值 【分析】 由已知得 f（ 3） = = ，从而 ff（ 3） =f（ ），由此能求出结果 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 3） = = ， ff（ 3） =f（ ） = = = = 故答案为： 14已知函数 f（ x） =ax+b， 0 f（ 1） 2， 1 f（ 1） 1，则 2a b 的取值范围是 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 由题意可得 0 a+b 2， 1 a+b 1，作出可行域如图，设 z=2a b，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解 【解答】 解 ： f（ x） =ax+b， 0 f（ 1） 2， 1 f（ 1） 1， 0 a+b 2， 1 a+b 1， 作出可行域如图 设 z=2a b，得 b=2a z，则平移直线 b=2a z， 则由图象可知当直线经过点 B 时，直线 b=2a z 得截距最小， 由 可得 a= ， b= 此时 z 最大为 z=2 = ， 当直线经过点 A 时，直线 b=2a z 得截距最大， 由 可得 a= ， b= ， 此时 z 最小为 z=2 （ ） = ， 2a b 的取值范围是 ， 故答案为： ， 15已知三个命题 p， q， m 中只有一个是真命 题，课堂上老师给出了三个判断： A： p 是真命题； B： p q 是假命题； C： m 是真命题 老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题 p， q， m 中的真命题是 m 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据已知中老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，逐一分析论证，可得答案 【解答】 解：由已知中三个命题 p， q， m 中只有一个是真命题， 若 A 是错误的，则： p 是假命题； q 是假命题； m 是真命题满足条件； 若 A 是错误的，则： p 是真命题； q 的真假不能确定； m 是真命题不满足条件； 若 C 是错误的，则： p 是真命题； p q 不可能是假命题；不满足条件； 故真命题是 m， 故答案为： m 16已知点 A（ a， 0），点 P 是双曲线 C： 右支上任意一点，若 |最小值为 3，则 a= 1 或 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 P（ x， y）（ x 2），则 |=（ x a） 2+ 1，分类讨论，利用 |最小值为 3，求出 a 的值 【解答】 解：设 P（ x， y）（ x 2），则 |=（ x a） 2+ 1， a 0 时， x= a， |最小值为 1=3， ， a 0 时， 2 a=3， a= 1 故答案为 1 或 2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17已知 a， b 分别是 角 A， B 的对边，且 数f（ x） =x， x 0， （ ）求 A； （ ）求函数 f（ x）的值域 【考点】 余弦定理 【分析】 （ ）由已知结合正弦定理，求出 值，从而求出 A 的值； （ A 化简函数 f（ x）为正弦型函数，求出 x 0， 时 f（ x）的值域 【解答】 解：（ ） ， 由正弦定理得， = ， 又 A （ 0， ）， ； （ A= ， 函数 f（ x） =x = （ + ， = 2x ） + ， x 0， ， 2x ， 2x ） 1， 2x ） + ， 所以 f（ x）的值域为 18如图，在五棱锥 P ， 等边三角形，四边形 直角梯形且 0， G 是 中点，点 P 在底面的射影落在线段 （ ）求证：平面 平面 （ ）已知 ， ，侧棱 底面 成角为 45， S ，点 M 在侧棱 ， 二面角 M D 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 点 F，连接 题意得 A， F， G 三点 共线，过点 P 作 O，则 底面 导出 此能证明平面 平面 （ 接 导出 O 点与 F 点重合，以 O 为原点，分别以 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角 M D 的余弦值 【解答】 证明：（ ）取 点 F，连接 题意得 A， F， G 三点共线， 过点 P 作 O，则 底面 面 等边三角形， ， 平面 面 平面 平面 解：（ 接 又 5， 底面 O 点与 F 点重合 如图，以 O 为原点，分别以 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立空间直角坐标系 底面 一个法向量 ， ， 设平面 法向量 ， ， ， ， ，取 则 ， ， 二面角的法向量 分别指向二面角的内外， 即为二面角的平面角， = = 二面角 M D 的余弦值为 19某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出 100 位学生对餐厅服务质量打分（ 5 分制），得到如图柱状图 （ ）从样本中任意选取 2 名学生，求恰好有 1 名学生的打分不低于 4 分的概率； （ ）若以这 100 人打分的频率作为概率，在该校随机选取 2 名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记 X 表示两人打分之和，求 X 的分布列和 E（ X） （ ）根据（ ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为 Y（单位 ：元），求 E（ Y） 服务质量评分 X X 5 6 X 8 X 9 等级 不好 较好 优良 奖惩标准（元） 1000 2000 3000 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）计算 “从样本中任意选取 2 名学生，恰好有一名学生的打分不低于4 分 ”的概率值； （ ）由 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出 X 的分布列，计算数学期望； （ ）根据表格写出 Y 的分布列，计算对应的数学期望值 【解答】 解：（ ）设 “从样本中任意选取 2 名学生，求恰好有一名 学生的打分不低于 4 分 ”为事件 A， 则 P（ A） = = （ ） X 的可能取值为 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10； 则 P（ X=4） = P（ X=5） =2 P（ X=6） =2 P（ X=7） =2 P（ X=8） =2 P（ X=9） =2 P（ X=10） = X 的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9 10 P 的数学期望为 E（ X） =4 0 ； . （ ） Y 的分布列为 Y 1000 2000 3000 P 的数学期望为 E（ Y） = 1000 000 000 680 20已知 F 为抛物线 E： p 0）的焦点，直线 l： y=交抛物线 E 于A， B 两点 （ ）当 k=1， |8 时，求抛物线 E 的方程； （ ）过点 A， B 作抛物线 E 的切线 点为 P，若直线 直线 l 斜率之和为 ，求直线 l 的斜率 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）根据弦长公式即可求出 p 的值，问题得以解决， （ ）联立方程组，根据韦达定理，即可求出过点 A， B 作抛物线 E 的切线 l1，程，再求出交点坐标，根据斜率的关系即可求出 k 的值 【解答】 解：（ ）联立 ，消去 x 得 ， 题设得 ， p=2， 抛物线 E 的方程为 y （ 联立 ，消去 y 得 2， ， 由 得 ， 直线 方程分别为 ， 联立 得点 P 的坐标为 ， ， 或 ， 直线 l 的斜率为 k= 2 或 21已知函数 f（ x） =a 0）的最小值是 1 （ ）求 a； （ ）若关于 x 的方程 x） 6x） +9x=0 在区间 1， + ）有唯一的实根，求 m 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数 的单调区间，求出 f（ x）的最小值，问题转化为 1=0，记 g（ a） = 1，（ a 0），根据函数的单调性求出 a 的值即可； （ ）由条件可得 x） 6x） m=0，令 g（ x） =f（ x） 2问题等价于方程 6m=0 在区间 e， + ）内有唯一解，通过讨论 的符号，求出 m 的范围即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =2x = ，（ x 0）， 所以，当 0 x 时， f（ x） 0，当 x 时， f（ x） 0， 故 f（ x） f（ ） = 由题意可得： 1，即 1=0， 记 g（ a） = 1，（ a 0）， 则函数 g（ a）的零点即为方程 1 的根； 由于 g（ a） = 故 a=2 时， g（ 2） =0， 且 0 a 2 时， g（ a） 0， a 2 时， g（ a） 0， 所以 a=2 是函数 g（ a）的唯一极大值点， 所以 g（ a） g（ 2），又 g（ 2） =0， 所以 a=2 （ 条件可得 x） 6x） m=0， 令 g（ x） =f（ x） 2 则 g（ x） =（ x 2 令 r（