2017年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|22x+1 4， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A B x|x 2 C D 2复数 （ i 为虚数单位）所对应的点位于复平面内（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3从标有数字 1， 2， 3 的三个红球和标有数字 2， 3 的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都 不相同的概率为（ ） A B C D 4 “a=2”是 “函数 f（ x） =x2+ 在区间 1， + ）上为增函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 双曲线左支上有一点 2 距离为 18， N 为 点， O 为坐标原点，则 |于（ ） A B 1 C 2 D 4 6函数 f（ x） =a 0， 0）的图象如图所示，则实数 a 和 的最小正值分别为（ ） A a=2， =2 B a=2， =1 C a=2， D a=2， 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n， ， 2，则输出 v 的值为（ ） A 35 B 20 C 18 D 9 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 20 D 24 9在约束条件 下，若目标函数 z= 2x+y 的最大值不超过 4，则实数 m 的取值范围（ ） A（ ， ） B 0， C ， 0 D ， 10函数 的图象大致是（ ） A B C D 11已知等比数列 前 n 项和 ，则 =（ ） A（ 2n 1） 2 B C 4n 1 D 12已知方程 ln|x| =0有 4个不同的实数根，则实数 ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知 | |=1， | |=2， ， =60，则 | 2 |= 14已知 ， ，则 15底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥 P 五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 2 ，则这个球的表面积为 16已知抛物线 C： x，点 P 为抛物线上任意一点，过点 P 向圆 D： x2+x+3=0 作切线，切点分别为 A， B，则四边形 积的最小值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 a， b， c 分别为 个内角 A， B， C 的对边， b c=0 （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2， 面积为 ，求 b， c 18在等差数列 ， ， a3+7 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 通项公式为 ，求数列 an前 n 项的和 19 2015 年 12 月，京津冀等地数城市指数 “爆表 ”，北方此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到北方某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流 量与 数据如表： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期七 车流量 x（万辆） 1 2 3 4 5 6 7 浓度 y（微克 /立方米） 28 30 35 41 49 56 62 （ ）由散点图知 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （ ）（ ）利用（ ）所求的回归方程，预测该市车流量为 8 万辆时 浓度； （ ）规定：当一天内 浓度平均值在（ 0， 50内，空气质量等级为优；当一天内 浓度平均值在（ 50， 100内，空气质量等级 为良为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数） 参考公式：回归直线的方程是 = x+ ，其中 = ， = 20如图甲，在直角梯形 ， ， ， C=1，E 是 中点， O 是 交点，将 起到 位置，如图乙 （ 1）证明： 平面 2）若平面 平面 点 B 与平面 距离 21如图，已知圆 E： 经过椭圆 C： （ a b 0）的左右 焦点 椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 E， A 三点共线 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设与直线 O 为原点）平行的直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点当 直线 l 的方程 22已知函数 f（ x） =x（ 1+ （ ）求函数 f（ x）的最小值； （ ）设 F（ x） =f（ x）（ a R），讨论函数 F（ x）的单调性； （ ）若斜率为 k 的直线与曲线 y=f（ x）交于 A（ B（ 点，其中 证： 2017 年湖南省郴州市高考 数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|22x+1 4， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A B x|x 2 C D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 N 中 x 的范围确定出 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： 22x+1 4=22， 解得： x ，即 A=x|x ， 由 y=2 x），得到 2 x 0， 解得： x 2，即 B=x|x 2， 则 A B=x| x 2， 故选： D 2复数 （ i 为虚数单位）所对应的点位于复平面内（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 z，求出复数 z 所对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解： = ， 则复数 （ i 为虚数单位）所对应的点的坐标为：（ ， ），位于第二象限 故选： B 3从标有数字 1， 2， 3 的三个红球和标有数字 2， 3 的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数 n= =10，再求出取得两球的数字和颜色都不相同包含的基本事件个数 m=2+1+1=4，由此能求出取得两球的数字和颜色都不相同的概率 【解答】 解：从标有数字 1， 2， 3 的三个红球和标有数字 2， 3 的两个白球中任取两个球， 基本事件总数 n= =10， 取得两球的数字和颜色都不相同包含的基本事件个数 m=2+1+1=4， 取得两球的数字和 颜色都不相同的概率 p= = 故选： B 4 “a=2”是 “函数 f（ x） =x2+ 在区间 1， + ）上为增函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数的性质 【分析】 函数 f（ x） =x2+ 在区间 1， + ）上为增函数，结合二次函数的图象求出 a 的范围，再利用集合的包含关系判断充要条件即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x2+ 在区间 1， + ）上为增函数， 抛物线的对称轴小 于等于 1， 1， a 2， “a=2”“a 2”，反之不成立 “a=2”是 “函数 f（ x） =x2+ 在区间 1， + ）上为增函数 ”的充分不必要条件 故选 A 5已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 双曲线左支上有一点 2 距离为 18， N 为 点， O 为坐标原点，则 |于（ ） A B 1 C 2 D 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用 中位线， 由双曲线的定义求出 而得到 |值 【解答】 解： 双曲线 =1 的左、右焦点分别为 左支上有一点 M 到右焦点 距离为 18， N 是 中点， 连接 中位线， 由双曲线的定义知， 5， ， 故选 D 6函数 f（ x） =a 0， 0）的图象如图所示，则实数 a 和 的最小正值分别为（ ） A a=2， =2 B a=2， =1 C a=2， D a=2， 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解 析式 【分析】 利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得 f（ x） = x+ ），由于点（ ， 2），（ 0， 2）在函数图象上，可求 a， + ） = ，进而结合 0，可得 的最小正值 【解答】 解： f（ x） =x+ ）， 由于点（ ， 2），（ 0， 2）在函数图象上， 可得： 2= + ），且 2= 解得： a=2， + ） = ， 可得： + =2， k Z，或 + =2， k Z，解得： =6k， k Z， 或 =6k+ ， k Z， 由于 0，可得， 的最小正值为 故选： C 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n， ， 2，则输出 v 的值为（ ） A 35 B 20 C 18 D 9 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答 】 解： 输入的 x=2， n=3， 故 v=1， i=2，满足进行循环的条件， v=4， i=1， 满足进行循环的条件， v=9， i=0， 满足进行循环的条件， v=18， i= 1 不满足进行循环的条件， 故输出的 v 值为： 故选： C 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 20 D 24 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由三棱柱去掉一个三棱锥剩下的图形 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由三棱柱去掉一个三棱锥剩下的图形， 该几何体的体积 V= =24 故选： D 9在约束条件 下，若目标函数 z= 2x+y 的最大值不超过 4，则实数 m 的取值范围（ ） A（ ， ） B 0， C ， 0 D ， 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，平移直线 y=2x 可知当直线经过点 A（ ， ）时，目标函数取最大值，由题意可得 m 的不等式，解不等式可得 【解答】 解：作出约束条件 所对应的可行域（如图阴影）， 变形目标函数可得 y=2x+z，解方程组 可得 平移直线 y=2x 可知当直线经过点 A（ ， ）时，目标函数取最 大值， 2 + 4，解得 m ， 实数 m 的取值范围为 ， 故选： D 10函数 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案 【解答】 解：令函数 =0，则 x=0，或 x= ， 即函数有两个零点，故排除 B； 当 0 x 时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除 C； 由 =0，可排除 D， 故选： A 11已知等比数列 前 n 项和 ，则 =（ ） A（ 2n 1） 2 B C 4n 1 D 【考点】 数列的求和 【分析】 利用递推关系与等比数列的定义可得 a， 利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解： ， a， a1+ a， a1+a2+ a， 解得 a， ， ， 数列 等比数列， 22=4（ 2 a），解得 a=1 公比 q=2， n 1， =22n 2=4n 1 则 = = 故选： D 12已知方程 ln|x| =0有 4个不同的实数根，则实数 ） A B C D 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 ln|x| =0 得 ln|x|+ ， x 0， 方程等价为 a= ， 设 f（ x） = ， 则函数 f（ x）是偶函数， 当 x 0 时， f（ x） = ， 则 f（ x） = = = ， 由 f（ x） 0 得 2x（ 1+ 0，得 1+0，即 1，得 0 x ，此时函数单调递增， 由 f（ x） 0 得 2x（ 1+ 0，得 1+0，即 1，得 x ，此时函数单调递减， 即当 x 0 时， x= 时，函数 f（ x）取得极大值 f（ ） = =（ 1+ ） 作出函数 f（ x）的图象如图： 要使 a= ， 有 4 个不同的交点， 则满足 0 a 故选： A 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知 | |=1， | |=2， ， =60，则 | 2 |= 【考点】 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角 【分析】 利用数量积 运算法则及其向量的模的平方与向量的平方相等的性质即可得出 【解答】 解： ， ， ； 故答案为： 14已知 ， ，则 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得 + ）的值，再利用两角差的正切公式，求得 + ） 的值 【 解 答】 解： 已知 ， ， + ）= = ， + ） = ， + ） = = ， 故答案为： 15底面为正方形，顶点在底面的投影为底 面中心的棱锥 P 五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 2 ，则这个球的表面积为 36 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 画出图形，正四棱锥 P 外接球的球心在它的高 ，记为O，求出 出球的半径，求出球的表面积 【解答】 解：正四棱锥 P 外接球的球心在它的高 ， 记为 O， O=R， ， 4，或 R（此时 O 在 延长线上）， 在 ， +（ R 4） 2 得 R=3， 球的表面积 S=36 故答案为： 36 16已知抛物线 C： x，点 P 为抛物线上任意一点，过点 P 向圆 D： x2+x+3=0 作切线，切点分别为 A， B，则四边形 积的最小值为 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 P（ x， y）， D 为抛物线的焦点，故而 PD=x+2，利用勾股定理求出 出四边形面积关于 x 的函数，利用二次函数的性质及 x 的范围得出面积的最小值 【解答】 解：圆 D 的圆心为 D（ 2， 0），半径为 r=，与抛物线的焦点重合 抛物线的准线方程为 x= 2 设 P（ x， y）， 则由 抛物线的定义可知 M=x+2， 圆 D 的切线， = = S 四边形 S x 0， 当 x=0 时， S 四边形 得最小值 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 a， b， c 分别为 个内角 A， B， C 的对边， b c=0 （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2， 面积为 ，求 b， c 【考点】 正弦定理；余弦定 理 【分析】 （ 1）根据条件，由正弦定理可得 A+C） +简可得 A 30） = ，由此求得 A 的值 （ 2）若 a=2，由 面积 ，求得 ；再利用余弦定理可得 b+c=4 ，结合 求得 b 和 c 的值 【解答】 解：（ 1） ， b c=0， 利用正弦定理可得 A+C） + 化简可得 ， A 30） = ， A 30=30， A=60 （ 2）若 a=2， 面积为 bc， 再利用余弦定理可得 =b2+2bc b+c） 2 2 b+c） 2 34， b+c=4 结合 求得 b=c=2 18在等差数列 ， ， a3+7 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 通项公式为 ，求数列 an前 n 项的和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）利用等差数列的通项公式即可得出 （ 2）由（ 1）可知 利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d，则 an= n 1） d 由 ， a3+7，可得 解得 从而， n （ 2）由（ 1）可知 n， ，得： 故 19 2015 年 12 月，京津冀等地数城市指数 “爆表 ”，北方此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到北方某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 数据如表： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期七 车流量 x（万辆） 1 2 3 4 5 6 7 浓度 y（微克 /立方米） 28 30 35 41 49 56 62 （ ）由散点图知 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （ ）（ ）利用（ ）所求的回归方程，预测该市车流量为 8 万辆时 浓度； （ ）规定：当一天内 浓度平均值在（ 0， 50内，空气质量等级为优；当一天内 浓度平均值在（ 50， 100内，空气质量等级为良为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数） 参考公式：回归直线的方程是 = x+ ，其中 = ， = 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）根据公式求出回归系数，可写出线性回归方程； （ ）（ ）根据（ ）的性回归方程，代入 x=8 求出 浓度； （ ）根据题意信息得： 6x+19 100，即 x 得 x 的取值范围即可 【解答】 解 ： （ ） 由 数 据 可 得 ：， ， ， ， ， 故 y 关于 x 的线性回归方程为 （ ）（ ）当车流量为 8 万辆时，即 x=8 时， 故车流量为 8 万辆时， 浓度为 67 微克 /立方米 （ ）根据题意信息得： 6x+19 100，即 x 故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在 13 万辆以内 20如图甲，在直角梯形 ， ， ， C=1，E 是 中点， O 是 交点，将 起到 位置，如图乙 （ 1）证明： 平面 2）若平 面 平面 点 B 与平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据线面垂直的判定定理即可证明： 平面 （ 2）若平面 平面 用等体积即可求点 B 与平面 距离 【解答】 （ 1）证明：在图甲中， C=1， ， E 是 中点， ， 在图乙中， 又 ， 平面 E， 平行四边形， 平面 （ 2）解：由题意， E= ，平面 平面 平面 平面 设 B 到平面 距离为 d， 由 ， d= ，故 B 到平面 距离为 21如图，已知圆 E： 经过椭圆 C： （ a b 0）的左右焦点 椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 E， A 三点共线 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设与直线 O 为原点 ）平行的直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点当 直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）根据圆的性质求出焦点和 A 点坐标，利用椭圆的定义得 2a=| |从而得出 a，进而得出椭圆的方程； （ 直线 l 的方程为 y= +m，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出|用 m 表示出 面积，根据 m 的范围求出三角形的面积 【解答】 解：（ ） E， A 三点共线， 圆 E 的直径，且 ， 由 ，得 ， ， ， 2a=|4， a=2 a2=b2+ ， 椭圆 C 的方程为 （ ）由（ ）知，点 A 的坐标为 ， 直线 斜率为 设直线 l 的方程为 ， 联立 得， ， 设 M（ N（ 则 ， ， =24 0， 2 m 2 又 = ， 点 A 到直线 l 的距离 ， = ， 当且仅当 4 m2= 时等号成立， 此时直线