2017年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（文）含答案解析

2017 年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若复数 ，复数 是 z 的共轭复数，则 =（ ） A 2i B 2 C i D 2 2已知集合 A=x|x=0，集合 B=y| 1 y 1，则 A B=（ ） A 0 B C 0 D 3已知 ， ，且 ，则 m 的值为（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 4 f（ x） = +一个零点落在下列哪个 区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 5 “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6若 x、 y 满足不等式 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ） A 11 B 11 C 13 D 13 7已知 ， ， ，则（ ） A b a c B a b c C b c a D c a b 8已知圆 C 的圆心在坐标轴上，且经过点（ 6， 0）及椭圆 的两个顶点，则该圆的标准方程为（ ） A（ x 2） 2+6 B y 6） 2=72 C D 9某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ） A 3 B C D 4 10若正整数 n 除以正整数 m 后的余数为 N，则记为 n N（ 例如 10 4（ 下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 “中国剩余定理 ”，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ） A 11 B 13 C 14 D 17 11等差数列 ， ，前 6 项和和 6，设 ， Tn=b1+ + ） A B C D 12已知定义在 上的函数， f（ x）为其导函数，且 恒成立，则（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13在数列 ， ， =3 n N*），则 14设函数 向左平移 单位后得到的函数是一个偶函数，则 = 15已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， 平面 B=1，则球 O 的表面积为 16已知抛物线 x，圆 F：（ x 1） 2+，直线 y=k（ x 1）自上而下顺次与上述两曲线交于点 A， B， C， D，则 |值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， （ 1）若 等腰三角形，求顶角 C 的余弦值； （ 2）若 以 B 为直角顶点的三角形，且 ，求 面积 18某校为了了解 A， B 两班学生寒假期间观看中国诗 词大会的时长，分别从这两个班中随机抽取 5 名学生进行调查，将他们观看的时长（单位：小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字） （ 1）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长； （ 2）从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a，从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b，求 a b 的概率 19在图所示的几何体中，底面 正方形， 平面 D=2， N 为线段 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）求四棱锥 B 体积 20已知椭圆 的离心率 ，直线 y= 与圆 x2+ 相切 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知定点 E（ 1， 0），若直线 y=（ k 0）与椭圆相交于 C， D 两点，试判断是否存在实数 k，使得以 直径的圆过定点 E？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =1， x R （ 1）求函数 f（ x）的图象在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ 2）当 x R 时，求证： f（ x） x2+x； （ 3）若 f（ x） 任意的 x （ 0， + ）恒成立，求实数 k 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，直线 x= 2，曲线 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求直线 曲线 C 的极坐标方程； （ 2）若直线 极坐标方程为 （ R），设 曲线 C 的交点为 M， N，求 面积及 点的极坐标 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|2x 1|+|2x a| （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 2 的解 集； （ 2）当 x R 时， f（ x） 3a+2 恒成立，求实数 a 的取值范围 2017 年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若复数 ，复数 是 z 的共轭复数，则 =（ ） A 2i B 2 C i D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知求得 ，代入 整理得答案 【解答】 解： ， ， = ， 故选： A 2已知集合 A=x|x=0，集合 B=y| 1 y 1，则 A B=（ ） A 0 B C 0 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=x|x=0=0， 1，集合 B=y| 1 y 1， 则 A B=0， 故选： C 3已知 ， ，且 ，则 m 的值为（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 利用向量垂直与数量积的关系即可得出 【解答】 解： ， =m+2=0，解得 m= 2 故选： B 4 f（ x） = +一个零点落在下列哪个区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果 【解答】 解：根据函数的实根存在定理得到 f（ 1） f（ 2） 0 故选 B 5 “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条 件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 可判断出 【解答】 解：由 “ “”的充分不必要条件 故选： A 6若 x、 y 满足不等式 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ） A 11 B 11 C 13 D 13 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到最大值 【解答】 解：不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x+y 得 y= 3x+z， 平移直线 y= 3x+z，则由图象可知当直线 y= 3x+z 经过点 A 时直线 y= 3x+ 此时 z 最大， 此时 M=z=3 +5 =17，由 ， 解得 ，即 A（ 4， 1）， 此时 z=3 4 1=11， 故选： A 7已知 ， ， ，则（ ） A b a c B a b c C b c a D c a b 【考点】 指数函数的单调性与特殊点 【分析】 根据底数的大小判断 a， c 的大小，根据指数的大小判断 a， b 的大小，从而判断出 a， b， c 的大小即可 【解答】 解： = = ， ， = ， 由 2 3 得： a c， 由 ，得： a b 故 c a b， 故选： A 8已知圆 C 的圆心在坐标轴上，且经过点（ 6， 0）及椭圆 的两个顶点，则该圆的标准方程为（ ） A（ x 2） 2+6 B y 6） 2=72 C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 求出椭圆的顶点坐标，然后求解圆的半径与圆心坐标，得到圆的方程 【解答】 解：圆 C 的圆心在坐标轴上，且经过点（ 6， 0）及椭圆 的两个顶点（ 0， 2）， 圆的圆心（ m， 0），可得 =（ 6 m） 2，解得 m= ，圆的 半径为： 6 = 则该圆的标准方程为： 故选： C 9某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ） A 3 B C D 4 【考点】 构成空间几何体的基本元素 【分析】 根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的高，由椎体、柱体的体积公式求出此几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱， 且圆锥的底面圆的半径 r=2、高是 2，圆柱的底面圆的 半径 r=2、高是 1， 所以此几何体的体积 V= = ， 故选 B 10若正整数 n 除以正整数 m 后的余数为 N，则记为 n N（ 例如 10 4（ 下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 “中国剩余定理 ”，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ） A 11 B 13 C 14 D 17 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 n=11，满足 11=2（ 3， 不满足 11=1（ n=12， 不满足条件 “n=2（ ） “， n=13， 不满足条件 “n=2（ ） “， n=14 满足条件 “n=2（ ） “，不满足条件 “n=1（ ） “， n=15 不满足条件 “n=2（ ） “， n=16， 不满足条件 “n=2（ ） “， n=17， 满足条件 “n=2（ ） ”， 满足条件 “n=1（ ） ”， 退出循环，输出 n 的值为 17， 故选： D 11等差数列 ， ，前 6 项 和和 6，设 ， Tn=b1+ + ） A B C D 【考点】 数列的求和 【分析】 利用等差数列通项公式与求和公式可得 用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ， 6， a1+d=8， 6d=66， 解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n+4 设 = = ， Tn=b1+ + + = 故选： D 12已知定义在 上的函数， f（ x）为其导函数，且 恒成立，则（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造函数 g（ x） = ，求出 g（ x）的导数，得到函数 g（ x）的单调性，从而判断出函数值的大小即可 【解答】 解：由 f（ x） f（ x） 则 f（ x） f（ x） 0， 构造函数 g（ x） = ， 则 g（ x） = ， 当 x （ 0， ）时，且 恒成立，即： 0恒成立 g（ x） 0， 即函数 g（ x）在（ 0， ）上单调递增， g（ ） g（ ）， f（ ） f（ ）， 故选： C 二、填空题（每 题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13在数列 ， ， =3 n N*），则 54 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 推导出数列 首项为 2，公比为 3 的等比数列，由此能求出 【解答】 解： 数列 ， ， =3 n N*）， =3， 数列 首项为 2，公比为 3 的等比数列， a4= 33=54 故答案为： 54 14设函数 向左平移 单位后得到的函数是一个偶函数，则 = 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，三角弦函数的奇偶性，求得 的值 【解答】 解：函数 向左平移 单位后得到的函数y=（ x+ ） +=2x+ +）的图象， 根据所得函数是一个偶函数，则 +=， k Z，可得 = ， 故答案为： 15已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， 平面 B=1，则球 O 的表面积为 5 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 四面体 S 外接球半 径等于以长宽高分别 边长的长方体的外接球的半径，由此有求出球 O 的表面积 【解答】 解： 平面 四面体 S 外接球半径等于以长宽高分别 边长的长方体的外接球的半径， B=1， ， 2R= = ，即 R= ， 球 O 的表面积 S=4 故答案为： 5 16已知抛物线 x，圆 F：（ x 1） 2+，直线 y=k（ x 1）自上而下顺次与上述两曲线交于点 A， B， C， D，则 |值是 1 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 利用抛物线的定义和 |1 就可得出 |理可得：|分 l x 轴和 l 不垂直 x 轴两种情况分别求值，当 l x 轴时易求，当 l 不垂直 x 轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得 【解答】 解： x，焦点 F（ 1， 0），准线 x= 1 由定义得： |， 又 |1， | 同理： | 当 l x 轴时，则 xD=， |1 当 l： y=k（ x 1）时，代入抛物线方程，得： 2） x+， ， |1 综上所述， |1， 故答案为 1 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， （ 1）若 等腰三角形，求顶角 C 的余弦值； （ 2）若 以 B 为直角顶点的三角形，且 ，求 面积 【考点】 余弦定理 【分析】 （ 1）由正弦定 理化简已知的条件列出方程，由条件求出三边的关系，由余弦定理求出 值； （ 2）由（ 1）和勾股定理可得 a=c，由条件求出 a、 c 的值，代入三角形的面积公式求出答案 【解答】 解：（ 1）由 正弦定理得： 又 等腰三角形，且顶角为 C， 则 a=b，即 b=2c， a=2c， 由余弦定理可得： ； （ 2）由（ 1）知， B=90， a2+c2= a2+（ a c） 2=0，则 a=c， 由 得 ， 所以 面积 S= =1 18某校为了了解 A， B 两班学生寒假期间观看中国诗词大会的时长，分别从这两个班中随机抽取 5 名学生进行调查，将他们观看的时长（单位：小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字） （ 1）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长； （ 2）从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a，从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b，求 a b 的概率 【考点】 茎叶图 【分析】 （ 1）计算 A、 B 班样本数据的平均值，比较即可得 出结论； （ 2）由 A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个， B 班的样本数据中不超过 21 的数据 b 也有 3 个； 利用列举法求出从 A 班和 B 班的样本数据中各随机抽取一个的基本事件数，计算对应的概率 【解答】 解：（ 1） A 班样本数据的平均值为 ， 由此估计 A 班学生平均观看时间大约为 17 小时； B 班样本数据的平均值为 ， 由此估计 B 班学生平均观看时间较长； （ 2） A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个，分别为： 9， 11， 14； B 班的样本数据中不超过 21 的数据 b 有 3 个，分别为： 11， 12， 21； 从 A 班和 B 班的样本数 据中各随机抽取一个共有： 9 种不同情况，分别为： （ 9， 11），（ 9， 12），（ 9， 21），（ 11， 11），（ 11， 12）， （ 11， 21），（ 14， 11），（ 14， 12），（ 14， 21）； 其中 a b 的情况有（ 14， 11），（ 14， 12）两种， 故 a b 的概率为 P= 19在图所示的几何体中，底面 正方形， 平面 D=2， N 为线段 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）求四棱锥 B 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线 与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连接 于点 F，连接 导出 出 此能证明 平面 （ 2）四棱锥 B 体积 由此能求出四棱锥 B体积 【解答】 证明：（ 1）连接 于点 F，连接 点 N 是中点， 又 ， C， 四边形 平行四边形， 又 平面 面 四边形 正方形 ， ， 平面 平面 解：（ 2） 平面 面 平面 平面 又 平面 四棱锥 B 高， D=2， ， 四棱锥 B 体积 20已知椭圆 的离心率 ，直线 y= 与圆 x2+ 相切 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知定点 E（ 1， 0），若直线 y=（ k 0）与椭圆相交于 C， D 两点，试判断是否存在实数 k，使得 以 直径的圆过定点 E？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）利用直线 l： y= 与圆 x2+ 相切，求出 b，利用椭圆的离心率求出 a，得到椭圆方程 （ 2）直线 y= 代入椭圆方程，消去 y 可得：（ 1+32=0，设 C（ x1， D（ 则利用韦达定理结合 解 k，说明存在实数 使得以 直径的圆过定点 E 【解答】 解：（ 1）因为直线 l： y= 与圆 x2+ 相切， ， b=1， 椭圆的离心率 ， ， ， 所求椭圆的方程是 （ 2）直线 y= 代入椭圆方程，消去 y 可得：（ 1+32=0 =3636 0， k 1 或 k 1， 设 C（ D（ 则有 ， ， 若以 直径的圆过点 E，则 ， ， （ 1）（ 1） + （ 1+ 2k 1）（ x1+5=0 ， 解得 ， 所以存在实数 使得以 直径的圆过 定点 E 21已知函数 f（ x） =1， x R （ 1）求函数 f（ x）的图象在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ 2）当 x R 时，求证： f（ x） x2+x； （ 3）若 f（ x） 任意的 x （ 0， + ）恒成立，求实数 k 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出切点坐标（ 0， 0），切线斜率，然后求解切线方程 （ 2）令 g（ x） =f（ x） +x，求出 g（ x） =1=0，得 x=0，判断函数的单调性，求出极小值，然后推出结 果 （ 3） f（ x） 任意的 x （ 0， + ）恒成立 对任意的 x （ 0，+ ）恒成立，构造函数，通过函数的导数求出函数的最小值，然后求出实数 【解答】 解：（ 1） f（ x） =1， f（ x） =2x， k=f（ 0） =1， 又切点坐标为（ 0， 0），故所求切线方程为 y=x； （ 2）证明：令 g（ x） =f（ x） +x=x 1， 令 g（ x） =1=0，得 x=0， 当 x （ ， 0）时， g（ x） 0， g（ x）单调递减； 当 x （ 0， + ）时， g（ x） 0， g（ x）单 调递增 g（ x） g（ 0） =0，从而 f（ x） x2+x （ 3） f（ x） 任意的 x （ 0， + ）恒成立 对任意的 x （ 0，+ ）恒成立 令 ， 由（ 2）可知当 x （ 0， + ）时， x 1 0 恒成立， 令 （ x） 0，得 x 1； （ x） 0，得 0 x 1 （ x）的增区间为（ 1， + ），减区间为（ 0， 1）， （ x） （ 1） =e 2 k （ x） （ 1） =e 2 实数 k 的取值范围是（ ， e 2） 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，直线 x= 2，曲线 （ 为参数）