2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析

2017 年上海市奉贤区高考数学一模试卷 一 大题共 12 题， 1题 4 分， 7题 5 分，共 54 分） 1已知集合 A= 2， 1， B= 1， 2， 3，则 A B= 2已知复数 z 满足 z（ 1 i） =2，其中 i 为虚数单位，则 z= 3方程 x 3） + 的解 x= 4已知 f（ x） =a 0， a 1），且 f 1（ 1） =2，则 f 1（ x） = 5若对任意正实数 a，不等式 1+a 恒成立，则实数 x 的最小值为 6若抛物线 焦点与椭 圆 的右焦点重合，则 p= 7中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 8如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为 1，那么这个几何体的表面积是 9已知互异复数 0，集合 m， n=则 m+n= 10已知等比数列 公比 q，前 n 项的和 任意的 n N*， 0 恒成立，则公比 q 的取值范围是 11参数方程 ， 0， 2）表示的曲线的普通方程是 12已知函数 f（ x） = 0）， x R，若函数 f（ x）在区间（ ，）内单调递增，且函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=对称，则 的值为 二 大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13 “0”是方程 “ 表示双曲线 ”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 14若方程 f（ x） 2=0 在（ ， 0）内有解，则 y=f（ x）的图象是（ ） A B C D 15已知函数 （ 0， 2）是奇函数，则 =（ ） A 0 B C D 16若正方体 棱长为 1，则集合 x|x= ， i1， 2， 3， 4， j 1， 2， 3， 4中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 三 大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17已知圆锥母线长为 5，底面圆半径长为 4，点 M 是母线 中点， 底面圆的直径，点 C 是弧 中点； （ 1）求三棱锥 P 体积； （ 2）求异面直线 成的角 18已知函数 （ a 0），且 f（ 1） =2； （ 1）求 a 和 f（ x）的单调区间； （ 2） f（ x+1） f（ x） 2 19一艘轮船在江中向正东方向航行，在点 P 观测到灯塔 A、 B 在一直线上，并与航线成角 （ 0 90），轮船沿航线前进 b 米到达 C 处，此时观测到灯塔 5方向，灯塔 B 在北偏东 （ 0 90）方向， 0 + 90，求 结果用 ， ， b 表示） 20过双曲线 的右支上的一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A、 B 两点，其中 P 是 中点； （ 1）求双曲线的渐近线方程； （ 2）当 P 坐标为（ 2）时，求直线 l 的方程； （ 3）求证： |一个定值 21设数列 前 n 项和为 （ n N*），则称 “紧密数列 ”； （ 1）若 ， ， a3=x， ，求 x 的取值范围； （ 2）若 等差数列，首项 差 d，且 0 d 断 否为 “紧密数列 ”； （ 3）设数列 公比为 q 的等比数列，若数列 是 “紧密数列 ”，求q 的取值范围 2017 年上海市奉贤区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一 本大题共 12 题， 1题 4 分， 7题 5 分，共 54 分） 1已知集合 A= 2， 1， B= 1， 2， 3，则 A B= 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集的定义求解 【解答】 解： 集合 A= 2， 1， B= 1， 2， 3， A B= 1 故答案为： 1 2已知复数 z 满足 z（ 1 i） =2，其中 i 为虚数单位，则 z= 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 复数方程两边同乘 1 i 的共轭复数，然后化简即可 【解答】 解：由 z（ 1 i） =2，可 得 z（ 1 i）（ 1+i） =2（ 1+i）， 所以 2z=2（ 1+i）， z=1+i 故答案为： 1+i 3方程 x 3） + 的解 x= 5 【考点】 对数的运算性质 【分析】 在保证对数式的真数大于 0 的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案 【解答】 解：由 x 3） +，得： ，即 ，解得： x=5 故答案为： 5 4已知 f（ x） =a 0， a 1），且 f 1（ 1） =2，则 f 1（ x） = 【考点】 对数函数图象与性质的综合 应用 【分析】 由题意可得 f（ 2） = 1；从而得到 a= ；再写反函数即可 【解答】 解：由题意， f 1（ 1） =2， f（ 2） = 1； 故 a= ； 故 f 1（ x） = ； 故答案为： 5若对任意正实数 a，不等式 1+a 恒成立，则实数 x 的最小值为 1 【考点】 二次函数的性质 【分析】 由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到 【解答】 解： 对任意正实数 a，不等式 1+a 恒成立， 等价于 a 1， a （ 1） （ 1） 1 x 1 实数 x 的最小值为 1 6若抛物线 焦点与椭圆 的右焦点重合，则 p= 4 【考点】 椭圆的简单性质；抛物线的简单性质 【分析】 求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解 p 即可 【解答】 解：椭圆 的右焦点（ 2， 0），抛物线 焦点与椭圆的右焦点重合， 可得： ， 解得 p=4 故答案为： 4 7中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 5 【考点】 等差数列 【分析】 由题意可得首项的方 程，解方程可得 【解答】 解：设该等差数列的首项为 a， 由题意和等差数列的性质可得 2015+a=1010 2 解得 a=5 故答案为： 5 8如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为 1，那么这个几何体的表面积是 【考点】 由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可 【解答】 解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角， 所 以几何体的表面积为： 3 个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和， 即： 3 = 故答案为： 9已知互异复数 0，集合 m， n=则 m+n= 1 【考点】 复数相等的充要条件 【分析】 互异复数 0，集合 m， n=可得： m=n=n=m2，m=0， m n解出即可得出 【解答】 解：互异复数 0，集合 m， n= m=n= n=m=0， m n 由 m=n=0， m n，无解 由 n=m=0， m n可得 n m=得 m+n= 1 故答案为： 1 10已知等比数列 公比 q，前 n 项的和 任意的 n N*， 0 恒成立，则公比 q 的取值范围是 （ 1， 0） （ 0， + ） 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 q 1 时，由 0，知 0，从而 0 恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比 q 的取值范围 【解答】 解： q 1 时，有 ， 0， 0， 则 0 恒成立， 当 q 1 时， 1 0 恒成立 ，即 1 恒成立，由 q 1，知 1 成立； 当 q=1 时，只要 0， 0 就一定成立； 当 q 1 时，需 1 0 恒成立， 当 0 q 1 时， 1 0 恒成立， 当 1 q 0 时， 1 0 也恒成立， 当 q 1 时，当 n 为偶数时， 1 0 不成立， 当 q= 1 时， 1 0 也不可能恒成立， 所以 q 的取值范围为（ 1， 0） （ 0， + ） 故答案为：（ 1， 0） （ 0， + ） 11参数方程 ， 0， 2）表示的曲线的普通方程是 x2=y（ 0 x ， 0 y 2） 【考点】 参数 方程化成普通方程 【分析】 把上面一个式子平方，得到 +入第二个参数方程得到 x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程 【解答】 解： 0， 2）， |=| + ） | 0， 1+ 2 0， 2 故答案为： x2=y（ 0 x ， 0 y 2） 12已知函数 f（ x） = 0）， x R，若函数 f（ x）在区间（ ，）内单调递增，且函数 y=f（ x）的图象关于直线 x= 对称，则 的值为 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由两角和的正弦函数公式化简解析式可得 f（ x） = x+ ），由2 x+ 2， k Z 可解得函数 f（ x）的单调递增区间，结合已知可得： ， ， k Z，从而解得 k=0，又由x+ =，可解得函数 f（ x）的对称轴为： x= ， k Z，结合已知可得： 2= ，从而可求 的值 【解答】 解： f（ x） =x+ ）， 函数 f（ x）在区间（ ， ）内单调递增， 0 2 x+ 2， k Z 可解得函数 f（ x）的单调递增区间为： ， ， k Z， 可得： ， ， k Z， 解得： 0 2 且 0 2 2k ， k Z， 解得： ， k Z， 可解得： k=0， 又 由 x+ =，可解得函数 f（ x）的对称轴为： x= ， k Z， 由函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=对称，可得： 2= ，可解得： = 故答案为： 二 大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13 “0”是方程 “ 表示双曲线 ”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 双曲线的简单性质；充要条件 【分析】 先证明充分性，把方程化为 + =1，由 “0”，可得 、 异号，可得方程表示双曲线，由此可得 “0”是方程 “ 表示双曲线 ”的充分条件；再证必要性，先把方程化为 + =1，由双曲线方程的形式可得 、 异号，进而可得 0，由此可得 “0”是方程 “ 表示双曲线 ”的必要条件；综合可得答案 【解答】 解： 若 “0”，则 m、 n 均不为 0，方程 ，可化为 + =1， 若 “0”， 、 异号，方程 + =1 中，两个分母异号，则其表示双曲线， 故 “0”是方程 “ 表示双曲线 ”的充分条件； 反之，若 表示双曲线，则其方程可化为 + =1， 此时有 、 异号，则必有 0， 故 “0”是方程 “ 表示双曲线 ”的必要条件； 综合可得： “0”是方程 “ 表示双曲线 ”的充要条件； 故选 C 14若方程 f（ x） 2=0 在（ ， 0）内有解，则 y=f（ x）的图象是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象与图象变化 【分析】 根据方程 f（ x） 2=0 在（ ， 0）内有解，转化为函数 f（ x）的图象和直线 y=2 在（ ， 0）上有交点 【解答】 解： A：与直线 y=2 的交点是（ 0， 2），不符合题意，故不正确； B：与直线 y=2 的无交点，不符合题意，故不正确； C：与直线 y=2 的在区间（ 0， + ）上有交点，不符合题意，故不正确； D：与直线 y=2 在（ ， 0）上有交点，故正确 故选 D 15已知函数 （ 0， 2）是奇函数，则 =（ ） A 0 B C D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据奇函数的性质建立关系式求解 【解答】 解：由题意可知，函数 f（ x）是奇函数，即 f（ x） +f（ x） =0， 不妨设 x 0，则 x 0 则有： f（ x） = x2+x+）， f（ x） =么： x2+x+） + 解得： （ k Z） 0， 2） = 故选： D 16若正方体 棱长为 1，则集合 x|x= ， i1， 2， 3， 4， j 1， 2， 3， 4中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 子集与真子集 【分析】 ， ， i， j 1， 2， 3， 4，由此能求出集合x|x= ， i 1， 2， 3， 4， j 1， 2， 3， 4中元素的个数 【解答】 解： 正方体 棱长为 1， ， ， i， j 1， 2， 3， 4， = （ + + ） = + + =1 集合 x|x= ， i 1， 2， 3， 4， j 1， 2， 3， 4中元素的个数为 1 故选： A 三 大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17已知圆锥母线长为 5，底面圆半径长为 4，点 M 是母线 中点， 底面圆的直径，点 C 是弧 中点； （ 1）求三棱锥 P 体积； （ 2）求异面直线 成的角 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角 【分析】 （ 1）由已知得 ， ， ，由此能出三棱锥 P体积 （ 2）以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出异面直线 成的角 【解答】 解：（ 1） 圆锥母线长为 5，底面圆半径长为 4，点 M 是母线 中点， 底面圆的直径，点 C 是弧 中点， ， ， = =3， 三棱锥 P 体积 = =8 （ 2）以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 0， 4， 0）， P（ 0， 0， 3）， M（ 0， 2， ）， C（ 4， 0， 0）， O（ 0， 0， 0）， =（ 4， 2， ）， =（ 0， 0， 3）， 设异面直线 成的角为 ， = = ， 故异面直线 成的角为 18已知函数 （ a 0），且 f（ 1） =2； （ 1）求 a 和 f（ x）的单调区间； （ 2） f（ x+1） f（ x） 2 【考点】 指数式与对数式的互化 【分析】 （ 1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域， （ 2）根据函数的单调性得到关于 x 的不等式，解得即可 【解答】 解：（ 1）函数 （ a 0），且 f（ 1） =2， a2+a 2） =2= ， 解得 a=2， f（ x） =22x+2x 2）， 设 t=22x+2x 2 0，解得 x 0， f（ x）的递增区间（ 0， + ）； （ 2） f（ x+1） f（ x） 2， 22x+2+2x+1 2） 22x+2x 2） 2= 22x+2+2x+1 2 4（ 22x+2x 2）， 2x 3， x x 0 0 x 不等式的解集为（ 0， 19一艘轮船在江中向正东方向航行，在点 P 观测到灯塔 A、 B 在一直线上，并与航线成角 （ 0 90）， 轮船沿航线前进 b 米到达 C 处，此时观测到灯塔 5方向，灯塔 B 在北偏东 （ 0 90）方向， 0 + 90，求 结果用 ， ， b 表示） 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 由题意， B=90（ +）， ，运用正弦定理可得结论 【解答】 解：由题意， B=90（ +）， ， PC=b，由正弦定理可得 20过双曲线 的右支上的一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A、 B 两点，其中 P 是 中点； （ 1）求双曲线的渐近线方程； （ 2）当 P 坐标为（ 2）时，求直线 l 的方程； （ 3）求证： |一个定值 【考点】 直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质 【分析】 （ 1）求出双曲线的 a， b，由双曲线的渐近线方程为 y= x，即可得到所求； （ 2）令 y=2 代入双曲线的方程可得 P 的坐标，再由中点坐标公式，设 A（ m，2m）， B（ n， 2n），可得 A， B 的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程； （ 3）设 P（ A（ m， 2m）， B（ n， 2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得 m， n，运用两点的距离公式，即可得到定值 【解答 】 解：（ 1）双曲线 的 a=1， b=2， 可得双曲线的渐近线方程为 y= x， 即为 y= 2x； （ 2）令 y=2 可得 + =2， 解得 ，（负的舍去）， 设 A（ m， 2m）， B（ n， 2n）， 由 P 为 中点，可得 m+n=2 ， 2m 2n=4， 解得 m= +