勾股定理的发现及证明

勾股定理的发现及证明 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，是人类最伟大的十个科学发现之一，被称为“几何学的 基石”。千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，给后代留下了众多神奇的传说。 一、勾股定理的发现 相传 4000 多年前，大禹曾在治理洪水的过程中，利用勾股定理来测量两地的地势差，在 3000 多年以前，中国人已经知道用边长为 3,4,5 的直角三角形进行测量，勾股定理的叙述最早见于周 髀算经（成书不晚于公元前 2 世纪的西汉时期），书中记载，周公问商高，天有没有台阶可以上 去，地又不能用尺子去度量，请问，怎么知道它们的高低长短呢？（周公与商高约是公元前 11 世纪左右的人）商高答：数是根据圆和方的道理得来的，圆从方得来，方又从矩得来，矩乃是从数 学计算得来的。以为“勾广三，股修四，径隅五”以上史实表明，商高在当时已经知道特殊情形下 的勾股定理。 那么，”什么是“ 勾、股” 呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股” 。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直 角边分别为 3（短边）和 4（长边）时，径隅（就是弦）则为 5。以后 人们就简单地把它说成“勾三股四弦五”。由此可见我国古代劳动人民 的聪明智慧。 勾股定理在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这么 多名称呢？毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比 商高晚出生五百多年。毕达哥拉斯有次应邀参加一次餐会，这位主人的餐厅铺着是正方形美丽的大 理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，一些饥肠辘辘的贵宾颇有不满；但这位善于观察的毕达哥拉斯却 凝视脚下这些排列规则、美丽的方形图案，毕达哥拉斯不只是欣赏地砖的美丽，而是想到它们和 “数”之间的关系，经过思考，发现了这个定理。后人就以毕达哥拉斯的名字命名“毕达哥拉斯定理”。 为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做 “百牛定理”。 二、勾股定理的证明方法 古今勾股定理的证明方法很多，到目前为止，大概有 400 多种，在这里仅举几个比较经典的证 明方法。 （一）、赵爽对勾股定理的证明 我国古代的劳动人民早在几千年前就已经掌握了勾股定理。并把它应用于实际的生产和生活 之中。现存数学典籍中最早给这一定理证明的，是赵爽在注解周髀算经注时给出的。 赵爽又名婴，字君卿，三国时吴国人，赵爽用“弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用 面积关系证明了勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智。 （二）、美国第二十任总统伽菲尔德对（勾股定理）的证明 美国第二十任总统伽菲尔德法在数学史上被传为佳话。总统在 1876 年一个周末的傍晚，在美 国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党 议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近有两个小孩正在谈论着什么，时而大声争论，时而小声 探讨。伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身 子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬 地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德 答到：“是 5 呀。” 小男孩又问道：“ 如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又 是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方。”小男孩 又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了 他对勾股定理的这一证法。 1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为 “总统证法”。 （三）、刘徽的青朱出入图证法 刘徽是中国魏晋时期数学家。 刘徽用了“出入相补法”证明了 勾股定理。也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不 同。 公元 263 年，刘徽为九章算术作注释。在注释中，他画了一幅图形来证明勾股定理。可 惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其 余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”后人根据这段文字补了一张图(见右图)。 只要把图中朱方（a2）的 I 移至 I，青方的 II 移至 II，III 移至 III，则刚好拼好一个以弦 为边长的正方形（c2 ）由此便可证得 a2+b2=c2。 （四）、欧几里得勾股定理的证明 著名的希腊数学家欧几里得（公元前 330 年-前 275 年）系统地研究了有关直线、平面、圆和 球的几何性质。 我们知道，在欧几里得之前，毕达哥拉斯定理即已闻名遐迩，因此，欧几里得决 不是