2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题 1集合 A=x|x 0， B= 2， 1， 1， 2，则（ B=（ ） A（ 0， + ） B 2， 1， 1， 2 C 2， 1 D 1， 2 2已知 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的取值范围为（ ） A 6， 10 B（ 6， 10 C（ 2， 10 D 2， 10） 3如图所示的程序框图，输出 S 的值是（ ） A 30 B 10 C 15 D 21 4某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几 何体的侧面 面积是（ ） A B 2 C 1 D 5 ， 表示不重合的两个平面， m， l 表示不重合的两条直线若 =m， l， l，则 “l m”是 “l 且 l ”的（ ） A充分且不必要条件 B必要且不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知抛物线 p 0）的焦点 F 与双曲 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且 ，则 A 点的横坐标为（ ） A B 3 C D 4 7已知 边长为 1 的等边三角形，点 D、 E 分 别是边 中点，连接 延长到点 F，使得 的值为（ ） A B C D 8已知函数 f（ x） = ，若有三个不同的实数 a， b，c，使得 f（ a） =f（ b） =f（ c），则 a+b+c 的取值范围为（ ） A（ 2， 2017） B（ 2， 2018） C（ ， ） D（ ， 2017） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9设 i 为虚数单位，则复数 = 10在（ 2） 5 的二项展开式中， x 的系数为 11已知 三 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 b2= 12已知曲 C 的极坐标方程 =2直线 L 的参数方程 ，（ t 为参数）设直线 L 与 x 轴的交点 M， N 是曲线 C 上一动点，求 |最大值 13已知下列命题： 命题： x （ 0， 2）， 3x 否定是： x （ 0， 2）， 3x 若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x）； 若 f（ x） =x+ ，则 （ 0， + ）， f（ =1； 等差数列 前 n 项和为 ，则 1； 在 ，若 A B，则 其中真命题是 （只填写序号） 14定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ 2） =1，且对于任意的 x R，都有 f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15（ 13 分）已知函数 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期与单调递减区间； （ ）求函数 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 16（ 13 分）为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人 士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡 （ ）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率； （ ）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 17（ 13 分）在如图所示的几何体中，四边形 正方形， 平面 A A=4， （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值； （ ）在棱 是否存在一点 F，使得平面 平面 果存在，求的值；如果不存在，说明理由 18（ 13 分）已知等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ， 前 n 项和，求 19（ 14 分）已知函数 f（ x） =x 2a R （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若函数 f（ x）有两个极值点 a 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，证明： f（ 1 20（ 14 分）已知椭圆 E： （ a b 0）的离心率 ，且点在椭圆 E 上 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）直线 交于 A、 线段 求 O 为坐标原点）面积的最大值 2017 年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1集合 A=x|x 0， B= 2， 1， 1， 2，则（ B=（ ） A（ 0， + ） B 2， 1， 1， 2 C 2， 1 D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据补集和交集的定义，写出运算结果即可 【解答】 解：集合 A=x|x 0， B= 2， 1， 1， 2， 则 x|x 0， 所以（ B= 2， 1 故选： C 【点评】 本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题 2已知 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的取值范围为（ ） A 6， 10 B（ 6， 10 C（ 2， 10 D 2， 10） 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约 束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数为 y= 3x+z， 由图可知，当直线 y= 3x+z 过 A 时， z 取最大值， 由 ，得 A（ 4， 2），此时 4 2=10； 当直线 y= 3x+z 过点 B 时，由 ，解得 B（ 0， 2），故 z 3 0 2= 2 综上， z=3x+y 的取值范围为（ 2， 10 故选： C 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中 档题 3如图所示的程序框图，输出 S 的值是（ ） A 30 B 10 C 15 D 21 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的 S 值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：当 S=1 时，满足进入循环的条件，执行循环体后 S=3， t=3 当 S=3 时，满足进入循环的条件，执行循环体后 S=6， t=4 当 S=6 时，满足进入循环的条件，执行循环体后 S=10， t=5 当 S=15 时，不满足进入循环的条件， 故输出的 S 值为 15 故选 C 【点评】 本题考查 的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理 4某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的侧面 面积是（ ） A B 2 C 1 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面 等边三角形，侧棱 底面 中点 D，连接 得 【解答】 解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面 等边三角形，侧棱 底面 取 中点 D，连接 则 ， = = S = 故选： A 【点评】 本题考查了三棱锥的三视图、三角形面积计算公式、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5 ， 表示不重合的两个平面， m， l 表示不重合的两条直线若 =m， l， l，则 “l m”是 “l 且 l ”的（ ） A充分且不必要条件 B必要且不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判 断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的性质进行判断即可 【解答】 解：充分性： =m， m， m， l m， l， l， l ， l ， 必要性：过 l 作平面 交 于直线 n， l ， l n， 若 n 与 m 重合，则 l m， 若 n 与 m 不重合，则 n， l ， n ， n， =m， n m， 故 l m， 故 “l m”是 “l 且 l ”的充要条件， 故选： C 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判定，根据空间直线和平面平行的位置关系是解决本题的 关键 6已知抛物线 p 0）的焦点 F 与双曲 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且 ，则 A 点的横坐标为（ ） A B 3 C D 4 【考点】 圆锥曲线的共同特征 【分析】 根据双曲线 得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得 K 的坐标，设 A（ 过 B，则 B（ 3， 根据 | | B=3） =，进而可求得 A 点坐标 【解答】 解： 双曲线 ，其右焦点坐 标为（ 3， 0） 抛物线 C： 2x，准线为 x= 3， K（ 3， 0） 设 A（ 过 A 点向准线作垂线 B（ 3， | |又 B= 3） =， 由 而 ） 2，即 12 ） 2， 解得 故选 B 【点评】 本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握 7已知 边长为 1 的等边三角形，点 D、 E 分别是边 中点，连接 延 长到点 F，使得 的值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意画出图形，把 、 都用 表示，然后代入数量积公式得答案 【解答】 解：如图， D、 E 分别是边 中点，且 = = = = = = = = 故选： B 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题 8已知函数 f（ x） = ，若有三个不同的实数 a， b，c，使得 f（ a） =f（ b） =f（ c），则 a+b+c 的取值范围为（ ） A（ 2， 2017） B（ 2， 2018） C（ ， ） D（ ， 2017） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 作出 y=f（ x）的函数图象，根据函数的对称性可得 a+b=，求出 c 的范围即可得出答案 【解答】 解：当 x 0， 时， f（ x） =x ） = f（ x）在 0， 上关于 x= 对称，且 x） =1， 又当 x （ ， + ）时， f（ x） =增函数， 作出 y=f（ x）的函数图象如图所示： 令 1 得 x=2017， f（ a） =f（ b） =f（ c）， a+b=， c （ ， 2017）， a+b+c=+c （ 2， 2018） 故选： B 【点评】 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9设 i 为虚数单位，则复数 = 4 3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 得答案 【解答】 解： = ， 故答案为： 4 3i 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念， 是基础题 10在（ 2） 5 的二项展开式中， x 的系数为 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，即可求出 x 的系数是什么 【解答】 解： 二项式（ 2x ） 5 展开式的通项公式是 = （ 25 r =（ 1） r 25 r 3r， 令 10 3r=1，解得 r=3； =（ 1） 3 22 x； x 的系数是 22 = 故答案为： 【点评】 本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目 11 已知 三内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 b2= 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由正弦定理与 解得 a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于 方程即可求出 【解答】 解：在 ， 由正弦定理得 a=2c， 由余弦定理得 b2=a2+2 将 b2= a=2c 代入上式解得： = = 故答案为： 【点评】 本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理 建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题 12已知曲 C 的极坐标方程 =2直线 L 的参数方程 ，（ t 为参数）设直线 L与 ， 上一动点，求 |最大值 【考点】 简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程 【分析】 首先将曲线 C 化成普通方程，得出它是以 P（ 0， 1）为圆心半径为 1 的圆，然后将直线 L 化成普通方程，得出它与 x 轴的交点 M 的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出 距离，从而得出曲 C 上一动点 N 到 M 的最大距离 【解答】 解： 曲线 C 的极坐标方程 =2成普通方程： x2+2y=0，即 y 1） 2=1 曲线 C 表示以点 P（ 0， 1）为圆心，半径为 1 的圆 直 L 的参数方程是： 直 L 的普通方程是： 4x+3y 8=0 可得 L 与 x 轴的交点 M 坐标为（ 2， 0） 由此可得曲 C 上一动点 N 到 M 的最大距离等于 故答案为： 【点评】 本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题 13已知下列命题： 命题： x （ 0， 2）， 3x 否定是： x （ 0， 2）， 3x 若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x）； 若 f（ x） =x+ ，则 （ 0， + ）， f（ =1； 等差数列 前 n 项和为 ，则 1； 在 ，若 A B，则 其中真命题是 （只填写序号） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 ，根据含有量词的命题的否定形式判定； ，若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x），； ，对于函数 f（ x） =x+ ，当且仅当 x=1 时， f（ x） =1； ， ，； ，若 A B，则 a b， 22 【解答】 解：对于 ，命题： x （ 0， 2）， 3x 否定是： x （ 0， 2），3x 确； 对于 ，若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x），正确； 对于 ，对于函数 f（ x） =x+ ，当且仅当 x=0 时， f（ x） =1，故错； 对于 ，等差数列 前 n 项和为 ， ，故正确； 对于 ，在 ，若 A B，则 a b22正确 故答案为： 【点评】 本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题 14定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ 2） =1，且对于任意的 x R，都有 f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为 x 丨 0 x 4 【考点】 利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法 【分析】 构造辅助函数，求导，由题意可知 F（ x） =f（ x） x 在 R 单调递减，原不等式转化成 F（ F（ 2），（ x 0），根据函数的单调性即可求得不等式的解 集 【解答】 解：设 F（ x） =f（ x） x，求导 F（ x） =f（ x） 0，则 F（ x）在 R 单调递减， 由 f（ ，即 f（ ， 由 f（ 2） 2= ， F（ F（ 2），（ x 0）， 则 2，解得： 0 x 4， 不等式的解集为： x 丨 0 x 4， 故答案为： x 丨 0 x 4 故答案为： x 丨 0 x 4 【点评】 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15（ 13 分）（ 2017红桥区一模）已知函数 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期与单调递减区间； （ ）求函数 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由三角函数化简可得 f（ x） =22x+ ） +3，由周期公式可得，解不等式 2 2x+ 2可得单调递减区间； （ ）由 x 结合三角函数的性质逐步计算可得 22x+ ） +3 2，5，可得最值 【解答】 解：（ ）化简可得 = 2 = +2 =22x+ ） +3， 函数 f（ x）的最小正周期 T= =， 由 2 2x+ 2可得 x 函数的单调递减区间为 ， （ k Z）； （ ） x ， 2x+ ， ， 2x+ ） ， 1， 22x+ ） 1， 2， 22x+ ） +3 2， 5， 函数的最大值和最小值分别为 5， 2 【点评】 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档 题 16（ 13 分）（ 2017红桥区一模）为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡 （ ）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率； （ ）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期 望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率 【分析】 （ ）由题意得，境外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；境内游客有 9人，其中 6 人持银卡记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出其对应的概率，能得到 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡设事件 B 为 “采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人 ”， 事件 “采访该团 3 人中， 1 人持金卡， 0 人持银卡 ”， 事件 “采访该团 3 人中， 1 人持金卡， 1 人持银卡 ” P（ B） =P（ +P（ = + = = 所以在该团中随机采访 3人，恰有 1人持金卡且持银卡者少于 2人的概率是 （ 6 分） （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3， ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 所以 （ 12 分） 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这 种题目高考必考，应注意解题的格式 17（ 13 分）（ 2017红桥区一模）在如图所示的几何体中，四边形 正方形， 平面 A=4， （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值； （ ）在棱 是否存在一点 F，使得平面 平面 果存在，求的值；如果不存在，说明理由 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 【分析】 （ ）设 点为 G，连结 证四边形 平 行四边形，又正方形 证四边形 平行四边形，得 面 面 证明 平面 （ ）如图建立空间坐标系，设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），由，令 x=1，则可得 =（ 1， 1， 2），设 平面 成角为 a，由向量的夹角公式即可得解 （ ）设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），由 ，可得 ，由 =0，可解 a，然后求得 的值 【解答】 （本小题共 14 分） 解：（ ）设 点为 G，连结 因为 ， ， 所以 G， 所以四边形 平行四边形 所以 B 因为正方形 以 B， 所以 D 所以四边形 平行四边形 所以 因为 平面 面 所以 平面 （ 4 分） （ ）如图建立空间坐标系，则 B（ 4， 0， 0）， C（ 4， 4， 0）， E（ 4， 0， 2）， P（ 0， 0， 4）， D（ 0， 4， 0）， 所以 =（ 4， 4， 4）， =（ 4， 0， 2）， =（ 0， 4， 4） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 所以 ，可得 令 x=1，则 ，所以 =（ 1， 1， 2） 设 平面 成角为 a， 则 ， |=| =| |= 所以 平面 成角的正弦值是 （ 9 分） （ ）依题意，可设 F（ a， 0， 0），则 ， =（ 4， 4， 2） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 令 x=2，则 ， 所以 =（ 2， ， a 4） 因为平面 平面 所以 =0，即 2+ +2a 8=0， 所以 a= 4，点 所以 （ 14 分） 【点评】 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题 18（ 13 分）（ 2017红桥区一模）已知等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ， 前 n 项和，求 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2可得 a3=22），解得 q进而得出 得 （ n 为奇数时， = = n 为偶数时， 分组求和，利用 “裂项求和 ”方法可得奇数项之和；利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式可得偶数项之和 【解答】 解：（ I） 等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2 a3=2得 2）， q 2=0，解得 q=2 a1+2，即 a1=2=22，解得 n （ n 为奇数时， = = n 为偶数时， + + + + + + = + + + = + + + 设 A= + + ， 则 A= + + + ， A= + + = ， A= + 【点评】 本题考查了 “错位相减法 ”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法、 “裂项求和 ”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 14 分）（ 2017红桥区一模）已知函数 f（ x） =x 2a R （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若函数 f（ x）有两个极值点 a 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，证明： f（ 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求出函数的定义域为（ 0， + ），函数的导数，令 f（ x） =0， 当 0， 当 0， a 1 时，若 a 0，若 a 0，分别判断导函数的符号， 得到函数的单调性当 0 a 1 时， （ 2）求出函数 f（ x）有两个极值点 价于方程 2x+a=0 在（ 0， + ），直接推出结果 （ 3）通过（ 1），（ 2），推出 0 a 1，构造新函数 g（ t） =t 21， 1 t 2，利用新函数的单调性证明 求解即可 【解答】 （本小题满分 14 分） （ 1 ）解：函数 的定义域为（ 0 ， + ）， （ 1 分） 令 f（ x） =0，得 2x+a=0，其判别式 =4 4a， 当 0，即 a 1 时， 2x+a 0， f（ x） 0，此时， f（ x）在（ 0， + ）上单 调递增； （ 2 分） 当 0，即 a 1时，方程 2x+a=0的两根为 ， ， （ 3 分） 若 a 0，则 0，则 x （ 0， ， f（ x） 0， x （ + ）时， f（ x） 0， 此时， f（ x）在（ 0， 单调递减，在（ + ）上单调递增； （ 4 分） 若 a 0，则 0，则 x （ 0， ， f（ x） 0， x （ ， f（ x） 0， x （ + ）时， f（ x） 0， 此时， f（ x）在（ 0， 单调递增，在（ 单调递减，在（ + ）上单调递增 综上所述，当 a 0 时，函数 f（ x）在（ 0， 单调递减，在（ + ）上单调递增； 当 0 a 1 时，函数 f（ x）在