巧找等量关系,破解圆锥曲线求离心率类高考题

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 巧找等量关系,破解圆锥曲线求离心 率类高考题 【摘要】圆锥曲线求离心率类的 高考题如果能很好地抓住等量关系这一 思想，解这类题思路会非常清晰，而且 学生容易把握. 中国论文网 /9/view-13003175.htm 【关键词】圆锥曲线；离心率； 等量关系 求圆锥曲线的离心率的高考题， 对一些学生特别是基础中等以下的学生 来说，往往比较有迷惑性，有时随意列 出几个式子，但却不知道能不能解出自 已想要的结果来.众所周知，我们从小学 开始， “找等量关系，列方程，解应用题” 的思想就慢慢在我们的大脑中根深蒂固， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 这种思想曾经在我们解应用题时给我们 带来过极大方便.对于高中圆锥曲线的题 目来说，我们同样可以用这种思想获得 一些灵感.下面结合笔者长期的教学经验， 主要以椭圆、双曲线求离心率类的高考 题为例，谈一点教学心得，以供大家参 考. （一）椭圆隐含有等量关系 a2=b2+c2，双曲线隐含等量关系 c2=a2+b2，所以只要从这类题目中寻找 到另一个等量关系建立方程，即知道 a，b，c 三个字母中两个字母的等式， 就可以用一个字母把另外两字母表 示出来，从而把离心率求出来. 例 1（2016 高考山东卷理）已知 双曲线 E：x2a2-y2b2=1（a0 ，b0 ） ， 若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 . 解析假设点 A 在第一象限，点 B 在第四象限，则 Ac，b2a，Bc ，- b2a，所以|AB|=2b2a，|BC|=2c，由 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 2|AB|=3|BC|等量关系结合 c2=a2+b2 等 量关系，得离心率 e=2 或 e=-12（舍去） ， 所以 E 的离心率为 2. 例 2（2015 高考山东卷理）平面 直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2a2- y2b2=1（a0，b0 ）的渐近线与抛物线 C2：x2=2py（p0）交于点 O，A，B， 若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为. 解析设 OA 所在的直线方程为 y=bax，则 OB 所在的直线方程为 y=- bax， 解方程组 y=bax，x2=2py， 得 x=2pba，y=2pb2a2， 所以点 A 的坐标为 2pba，2pb2a2， 抛物线的焦点 F 的坐标为 0，p2. 因为 F 是 OAB 的垂心， 所以可以建立 kOB kAF=-1 等 量关系， 所以-ba2pb2a2-p22pba=- 1b2a2=54. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 所以 e2=c2a2=1+b2a2=94e=32. 例 3（2014 年浙江卷理）设直线 x-3y+m=0（m0）与双曲线 x2a2- y2b2=1（ab0）两条渐近线分别交于 点 A，B，若点 P（m，0 ）满足 |PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是. 解析由双曲线的方程可知，它的 渐近线方程为 y=bax，与 y=-bax，分别 于 x-3y+m=0，联立方程组，解得 A- ama-3b，-bma-3b ，B- ama+3b，bma+3b，设 AB 的中点为 Q，则 Q-ama-3b+-ama+3b2，-bma- 3b+bma+3b2，由|PA|=|PB|，则 PQAB ，所以得 kPQkAB=-1 等量关系， 故-bma-3b+bma+3b2-ama-3b+-ama+3b2- m=-3，解得 2a2=8b2=8（c2-a2） ，即 c2a2=54，ca=52. （二）常见等量关系 正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角形相似、垂直的两个向量之积为 0、斜率存在的两条直线斜率之积为-1 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 等等，这些往往是建立方程的依据.以上 只是抛砖引玉，读者只