2017年中考数学《二次函数》总复习训练含答案解析

第 1 页（共 19 页） 二次函数 一、选择题 1抛物线 y= 3x 1 的图象与坐标轴的交点情况是（ ） A没有交点 B只有一个交点 C有且只有两个交点 D有且只有三个交点 2已知直线 y=x 与二次函数 y=2x 1 的图象的一个交点 M 的横坐标为 1，则 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 3 D 4 3如图，二次函数 y=4x+3 的图象交 x 轴于 A， B 两点，交 y 轴于 C，则 面积为（ ） A 6 B 4 C 3 D 1 4函数 y=bx+c 中，若 a 0， b 0， c 0，则这个函数图象与 x 轴的交点情况是（ ） A没有交点 B有两个交点，都在 x 轴的正半轴 C有两个交点，都在 x 轴的负半轴 D一个在 x 轴的正半轴，另一个在 x 轴的负半轴 5若（ 2， 5）、（ 4， 5）是抛物线 y=bx+c 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A x= B x=1 C x=2 D x=3 6已知函数 y=bx+c 的图象如图所示，那么能正确反映函数 y=ax+b 图象的只可能是（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 二、填空题 7二次函数 y=24x+5 的最小值是 8某二次函数的图象与 x 轴交于点（ 1， 0），（ 4， 0），且它的形状与 y= 这个二次函数的解析式为 9若函数 y= 的函数值 y 0，则自变量 x 的取值范围是 10某品牌电饭锅成本价为 70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60 为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为 元 11函数 y= a 3） x+1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为 12某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 洞顶点 O 到水面的距离为 图中 直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是 三、解答题 13已知抛物线 y=2x 2 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，求过 A、 B 两点的直线的解析式 14抛物线 y=ax+ 的一部分如图所示，求该抛物线在 y 轴左侧与 x 轴的交点坐标 第 3 页（共 19 页） 15如图，已知抛物线 y=bx+c（ a 0）的顶点是 C（ 0， 1），直线 l： y= 与这条抛物线交于 P、 Q 两点，且点 P 到 x 轴 的距离为 2 （ 1）求抛物线和直线 l 的解析式； （ 2）求点 Q 的坐标 16工艺商场以每件 155 元购进一批工艺品、若按每件 200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品 100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？ 17杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收 33 万元而该游乐设施开放后，从第 1 个月到第 的维修保养费用累计为 y（万元），且 y=将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益 g（万元）， g 也是关于 x 的二次函数； （ 1）若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元求 y 关于 x 的解析式； （ 2）求纯收益 g 关于 x 的解析式； （ 3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；几个月后，能收回投资？ 18如图所示，图（ 1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为 30m，支柱 0m， 5 根支柱 5m，抛物线放在图（ 2）所示的直角坐标系中 （ 1）直接写出图（ 2）中点 ， ， ； （ 2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式是 ； （ 3）求图（ 1）中支柱 ， 第 4 页（共 19 页） 四、附加题 19如图，已知 A（ 2， 2）， B（ 3， 0）动点 P（ m， 0）在线段 移动，过点 l 与 x 轴垂直 （ 1）设 位于直线 l 左侧部分的面积为 S，写出 S 与 m 之间的函数关系式 ； （ 2）试问是否存在点 P，使直线 l 平分 面积？若有，求出点 P 的坐标；若无，请说明理由 第 5 页（共 19 页） 二次函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1抛物线 y= 3x 1 的图象与坐标轴的交点情况是（ ） A没有交点 B只有一个交点 C有且只有两个交点 D有且只有三个交点 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】探究型 【分析】先令 3x 1=0，求出 的值即可判断出抛物线与 x 轴的交点情况，再根据抛物线与 y 轴总有一个交点解答 【解答】解： =22 4 （ 3） （ 1） = 8 0， 抛物线 y= 3x 1 的图象与 x 轴没有交点， 抛物线与 y 轴一定有一个交点， 此抛物线与坐标轴有一个交点 故选 B 【点评】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，此题的易错点是忽略了抛物线与 2已知直线 y=x 与二次函数 y=2x 1 的图象的一个交点 M 的横坐标为 1，则 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 3 D 4 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】已知直线与二次函数图象交点 M 的横坐标为 1，则点 M 纵坐标为 1，把点 M（ 1， 1）代入二次函数可求得 a 的值 【解答】解：由题意可得 M（ 1， 1），代入二次函数 1=a 2 1，解得 a=4 【点评】使用代入法求二次函数 3如图，二次函数 y=4x+3 的图象交 x 轴于 A， B 两点，交 y 轴于 C，则 面 第 6 页（共 19 页） 积为（ ） A 6 B 4 C 3 D 1 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】根据解析式求出 A、 B、 C 三点的坐标，即 底和高求出，然后根据公式求面积 【解答】解：在 y=4x+3 中，当 y=0 时， x=1、 3；当 x=0 时， y=3； 即 A（ 1， 0）、 B（ 3， 0）、 C（ 0， 3） 故 面积为： 2 3=3； 故选 C 【点评】本题考查根据解析式确定点的坐标 4函数 y=bx+c 中，若 a 0， b 0， c 0，则这个函数图象与 x 轴的交点情况是（ ） A没有交点 B有两个交点，都在 x 轴的正半轴 C有两个交点，都在 x 轴的负半轴 D一个在 x 轴的正半轴，另一个在 x 轴的负半轴 【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数 图象与系数的关系 【专题】探究型 【分析】先根据根的判别式 =40，即这个函数图象与 x 轴有两个交点，根与系数的关系可知 x1，由于 a 0， c 0，所以 x10， 【解答】解： =40， 这个函数图象与 x 轴有两个交点， 设这个函数图象与 x 轴两个交点的坐标为（ 0）、（ 0）， x1， a 0， c 0， 第 7 页（共 19 页） x10， 一个在 x 轴的正半轴，另一个在 x 轴的负半轴 故选 D 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系、根的判别式及根与系数的关系，解答此类题目时能把一元二次方程根的情况与二次函数的图象相结合是解答此类题目的关键 5若（ 2， 5）、（ 4， 5）是抛物线 y=bx+c 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A x= B x=1 C x=2 D x=3 【考点】二次函数的性质 【专题】函数思想 【分析】由已知，点（ 2， 5）、（ 4， 5）是该抛物线上 关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数 【解答】解：因为点（ 2， 5）、（ 4， 5）在抛物线上， 根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴， 所以，对称轴 x= =3； 故选 D 【点评】本题考查了二次函数的对称性二次函数关于对称轴成轴对称图形 6已知函数 y=bx+c 的图象如图所示，那么能正确反映函数 y=ax+b 图象的只可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系 【专题】计算题 第 8 页（共 19 页） 【分析】由图象开口向上可知 a 大于 0，又对称轴 x= 0可得 b 0，由此可得出此题答案 【解答】解：图象开口向上可知 a 大于 0， 又对称轴 x= 0可得 b 0， 所以，函数 y=ax+b 图象是递增趋势，且与 y 轴的交点坐标大于 0， 故选 B 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系及一次函数图象与系数的关系，难度不大，关键注意题图结合认真分析 二、填空题 7二次函数 y=24x+5 的最小值是 3 【考点】二次函数的最值 【分析】把此二次函数化为顶点式或直接用公式法求其最值即可 【解答】解： 二次函数 y=24x+5 可化为 y=2（ x 1） 2+3， 二次函数 y=24x+5 的最小值是 3 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法 8某二次函数的图象与 x 轴交于点（ 1， 0），（ 4， 0），且它的形状与 y= 这个二次函数的解析式为 y= x+4 或 y=3x 4 【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式 【专题】数形结合；待定系数法 【分析】根据图象与 x 轴交于点（ 1， 0），（ 4， 0）可设两点式解答，根据形状与 y= 知二次项系数为 1 或 1，于是可得 二次函数解析式 【解答】解： 函数图象与 x 轴交于点（ 1， 0），（ 4， 0）， 设解析式为 y=a（ x+1）（ x 4）， 又因为图象的形状与 y= 故 a= 1 或 1， 所以解析式为 y= （ x+1）（ x 4）， 第 9 页（共 19 页） 整理得， y= x+4 或 y=3x 4 故答案为： y= x+4 或 y=3x 4 【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式，由于知道二次函数图象与 x 轴交点，故设两点式较为简便 9若函数 y= 的函数值 y 0，则自变量 x 的取值范围是 2 x 2 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】由题意知，令 y 0，解得 x 的取值范围 【解答】解：如图， 函数 y= 的函数值 y 0， 0， 解得 2 x 2 【点评】本题主要考查二次函数与不等式 10某品牌电饭锅成本价为 70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60 为获得最大利润，销售商应将该品 牌电饭锅定价为 130 元 【考点】二次函数的应用 【分析】根据题中信息，进行计算比对即可得出结论 【解答】解：设定价为 x 元时，利润为 y 元， 当 x=100 时， y=（ 100 70） 80=2400 同理可求得： x=110， 120， 130， 140， 150 时， y=4000， 5500， 6000， 5600， 4800 第 10 页（共 19 页） 比较可知当 x=130 元时利润最大 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，难度一般 11函数 y= a 3） x+1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为 0， 1， 9， （ ， 0）（ 1， 0）或（ ， 0） 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】探究型 【分析】先根据函数 y= a 3） x+1 的图象与 x 轴只有一个交点可知 =0，或者是a=0，变为一次函数，求出 a 的值，再由坐标轴上坐标的特点求出函数图象与坐标轴的交点即可 【解答】解： 当 a=0 时，函数关系式变为： y=3x+1，交点坐标为：（ ， 0）； 函数 y= a 3） x+1 的图象与 x 轴只有一个交点， =（ a 3） 2 4a=0，解得 a=1 或 a=9 当 a=1 时，函数 y= a 3） x+1 可化为 y=x+1 当 y=0 时， x= 1， 函数与 x 轴交点的坐标为（ 1， 0）； 当 a=9 时，函数 y= a 3） x+1 可化为 y=96x+1， 当 y=0 时， x= ， 函数与 x 轴交点的坐标为（ ， 0） 故答案为： 0， 1， 9，（ ， 0），（ 1， 0）、（ ， 0） 【点评】本题考查的是二次函数的图象与 x 轴的交点问题，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键 12某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 洞顶点 O 到水面的距离为 图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是 y= 第 11 页（共 19 页） 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【专题】压轴题 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为 y=据 洞顶点 么 A 点坐标应该是（ 利用待定系数法即可求解 【解答】解：设函数关系式为 y= A 点坐标应该是（ 那么 a， 即 a= ， 即 y= 【点评】根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键 三、解答题 13已知抛物线 y=2x 2 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，求过 A、 B 两点的直线的解析式 【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求一次函数解析式 【分析】已知抛物线解析式，可求顶点坐标及 y 轴的交点坐标，根据 “两点法 ”求直线解析式 【解答】解： 抛物线 y=2x 2=（ x 1） 2 3 抛物线顶点坐标为（ 1， 3），与 y 轴的交点坐标为（ 0， 2）， 即 A（ l， 3）， B（ 0， 2） 设所求直线的解析式为 y=kx+b 则 ， 解得 ， 第 12 页（共 19 页） 所求直线的解析式为 y= x 2 【点评】本题考查了抛物线解析式的运用，待定系数法求一次函数解析式的方法 14抛物线 y=ax+ 的一部分如图所示，求该抛物线在 y 轴左侧与 x 轴的交点坐标 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】由函数图象知函数过点（ 1， 0），把点代入抛物线 y=ax+，解出 a 值，令 y=0，解方程 ax+=0，从而求出该抛物线在 y 轴左侧与 x 轴的交点坐标 【解答】解：如图知，抛物线 y=ax+ 过点（ 1， 0） a+2a+=0， a 0， 解得 a= 1 或 2， 抛物线与 x 轴交于两点， =44a（ ） 0， a 0， 解得， a 1， a= 2， y= 24x+6， 令 y=0，得 24x+6=0， 解得 x=1 或 3， 当 x= 3 时， y=0， 该抛物线在 y 轴左侧与 x 轴的交点坐标为：（ 3， 0） 【点评】 此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与 x 轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与 x 轴无交点， 其图象在 x 轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题 15如图，已知抛物线 y=bx+c（ a 0）的顶点是 C（ 0， 1），直线 l： y= 与这条抛物线交于 P、 Q 两点，且点 P 到 x 轴的距离为 2 （ 1）求抛物线和直线 l 的解析式； 第 13 页（共 19 页） （ 2）求点 Q 的坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】综合题 【分析】（ 1）已知抛物线的 顶点为（ 0， 1），说明抛物线的对称轴为 y 轴，即 b=0， c=1；由于两个函数交点 P 的纵坐标为 2，代入两个函数的解析式中，联立两个含 a 的表达式即可求得 a 的值，从而确定抛物线和直线的解析式 （ 2）联立（ 1）得到的两个函数解析式，即可求出 Q 点的坐标 【解答】解：（ 1）由抛物线的顶点为（ 0， 1）， 得： b=0， c=1， 即 y=； 由于抛物线经过 P 点， 则有： 2=， 即 ； 同理可得到： =2， x= ； 故 =（ ） 2，解得 a=1； 所以抛物线的解析式为： y=，直线 l 的解析式为： y= x+3 （ 2）联立抛物线和直线 l 的解析式，得： ， 解得 ， ； 故 Q（ 2， 5） 【点评】此题主要考查的是函数解 析式的确定方法以及函数图象交点坐标的求法；属于基础题，需要熟练掌握 第 14 页（共 19 页） 16工艺商场以每件 155 元购进一批工艺品、若按每件 200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品 100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】先根据题意设每件工艺品降价为 x 元出售，获利 y 元，则降价 x 元后可卖出的总件数为（ 100+4x），每件获得的利润为（ 200 x 155），此时根据获得的利润 =卖出的总件数 每件工艺品 获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可 【解答】解：设每件工艺品降价 x 元出售，获利 y 元， 则根据题意可得： y=（ 200 x 155）（ 100+4x） =4（ 0x+1125）； 当 x=10 时， y 取得最大值 4900 元 即降价 10 元时， y 最大 =4900（元） 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单 17杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收 33 万元而该游乐设施开放后， 从第 1 个月到第 y（万元），且 y=将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益 g（万元）， g 也是关于 x 的二次函数； （ 1）若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元求 y 关于 x 的解析式； （ 2）求纯收益 g 关于 x 的解析式； （ 3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；几个月后，能收回投资？ 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题；压轴题；分类讨论 【分析】（ 1）根据题意确定 x， y 的两组对应值求 y 的函数关系式； （ 2）根据纯收益 g=开放后每月可创收 33 万 元 月数 x游乐场投资 150 万元从第 1个月到第 x 个月的维修保养费用累计 y，列出函数关系式； （ 3）求函数最大值，及 g 0 时， x 的值，可确定回收投资的月份 【解答】解：（ 1）由题意得： x=1 时 y=2； 第 15 页（共 19 页） x=2 时， y=2+4=6 代入得： 解之得： y=x2+x； （ 2）由题意得： g=33x 150（ x2+x） = 2 x 150； （ 3） g= 2 x 150=（ x 16） 2+106， 当 x=16 时， g 最大 值 =106， 即设施开放 16 个月后，游乐场的纯收益达到最大， 又 当 0 x 16 时， g 随 x 的增大而增大； 当 x 5 时， g 0；而当 x 6 时， g 0， 6 个月后能收回投资 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 18如图所示，图（ 1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为 30m，支柱 0m， 5 根支柱 5m，抛物线放在图（ 2）所示的直角坐标系中 （ 1）直接写出图（ 2）中点 （ 30， 0） ， （ 0， 30） ，（ 30， 0） ； （ 2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式是 y= （ x 30）（ x+30） ； （ 3）求图（ 1）中支柱 m ， m 第 16 页（共 19 页） 【考点】二次函数综合题 【专题】综合题 【分析】（ 1）根据题意，不难得出 0m，因此 0，那么 坐标就应该是（ 30， 0），同理可得出 根据拱高为 30m 即可得出 0，因此 0， 30） （ 2）根据抛物线过 用交点式的二次函数通式来设此抛物线的解析式，然后根