北师大版八年级数学下《第4章因式分解》单元测试含答案解析

第 1 页（共 12 页） 第 4 章 因式分解 一、选择题 1下列各式从左到右的变形，正确的是（ ） A x y=（ x y） B a+b=（ a+b） C（ y x） 2=（ x y） 2 D（ a b） 3=（ b a） 3 2把多项式（ m+1）（ m 1） +（ m 1）提取公因式（ m 1）后，余下的部分是（ ） A m+1 B 2m C 2 D m+2 3把 10x+y） 2 5a（ x+y） 3 因式分解时，应提取的公因式是（ ） A 5a B（ x+y） 2 C 5（ x+y） 2 D 5a（ x+y） 2 4将多项式 a（ b 2） 2 b）因式分解的结果是（ ） A（ b 2）（ a+ B（ b 2）（ a C a（ b 2）（ a+1） D a（ b 2）（ a 1） 5下列因式分解正确的是（ ） A m n） m（ n m） = m（ n m）（ n+1） B 6（ p+q） 2 2（ p+q） =2（ p+q）（ 3p+q 1） C 3（ y x） 2+2（ x y） =（ y x）（ 3y 3x+2） D 3x（ x+y）（ x+y） 2=（ x+y）（ 2x+y） 二、填空题 6把多项式（ x 2） 2 4x+8 因式分解开始出现错误的一步是 解：原式 =（ x 2） 2（ 4x 8） A =（ x 2） 2 4（ x 2） B =（ x 2）（ x 2+4） C =（ x 2）（ x+2） D 7 x+y） 3+x（ x+y） 2 的公因式是 ； （ 2） 4x（ m n） +8y（ n m） 2 的公因式是 8分解因式：（ x+3） 2（ x+3） = 9因式分解： n（ m n）（ p q） n（ n m）（ p q） = 10已知（ 2x 21）（ 3x 7）（ 3x 7）（ x 13）可分解因式为（ 3x+a）（ x+b）， 第 2 页（共 12 页） 其中 a、 b 均为整数，则 a+3b= 三、解答题 11将下列各式因式分解： （ 1） 5a b） 3 10b a） 2； （ 2）（ b a） 2+a（ a b） +b（ b a）； （ 3）（ 3a 4b）（ 7a 8b） +（ 11a 12b）（ 8b 7a）； （ 4） x（ b+c d） y（ d b c） c b+d 12若 x， y 满足 ，求 7y（ x 3y） 2 2（ 3y x） 3 的值 13先阅读下面的材料，再因式分解： 要把多项式 am+an+bm+式分解，可以先把它的前两项分成一组，并 提出 a；把它的后两项分成一组，并提出 b，从而得至 a（ m+n） +b（ m+n）这时，由于 a（ m+n）+b（ m+n），又有因式（ m+n），于是可提公因式（ m+n），从而得到（ m+n）（ a+b）因此有 am+an+bm+ am+（ bm+=a（ m+n） +b（ m+n） =（ m+n）（ a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了 请用上面材料中提供的方法因式分解： （ 1） ac+ （ 2） mn+ （ 3） 2y 4 14求使不等式成立的 x 的取值范围： （ x 1） 3（ x 1）（ 2x+3） 0 15阅读题：因式分解： 1+x+x（ x+1） +x（ x+1） 2 解：原式 =（ 1+x） +x（ x+1） +x（ x+1） 2 =（ 1+x） 1+x+x（ x+1） =（ 1+x） （ 1+x） +x（ 1+x） =（ 1+x） 2（ 1+x） =（ 1+x） 3 （ 1）本题提取公因式几次？ 第 3 页（共 12 页） （ 2）若将题目改为 1+x+x（ x+1） +x（ x+1） n，需提公因式多少次？结果是 什么？ 16已知 x， y 都是自然数，且有 x（ x y） y（ y x） =12，求 x、 y 的值 第 4 页（共 12 页） 第 4 章 因式分解 参考答案与试题解析 一、选择题 1下列各式从左到右的变形，正确的是（ ） A x y=（ x y） B a+b=（ a+b） C（ y x） 2=（ x y） 2 D（ a b） 3=（ b a） 3 【考点】完全平方公式；去括号与添括号 【分析】 A、 B 都是利用添括号法则进行变形， C、利用完全平方公式计算即可； D、利用立方差公式计算即可 【解答】解： A、 x y=（ x+y）， 故此选 项错误； B、 a+b=（ a b）， 故此选项错误； C、 （ y x） 2=2xy+ x y） 2， 故此选项正确； D、 （ a b） 3=3 （ b a） 3=3 （ a b） 3 （ b a） 3， 故此选项错误 故选 C 【点评】本题主要考查完全平方公式、添括号法则，熟记公式结构是解题的关键完全平方公式：（ a b） 2=2ab+号前是 “ ”号，括到括号里各项都变号，括号前是 “+”号，括到括号里各项不变号 2把多项式（ m+1）（ m 1） +（ m 1）提取公因式（ m 1）后，余下的部分是（ ） A m+1 B 2m C 2 D m+2 【考点】因式分解提公因式法 【专题】压轴题 第 5 页（共 12 页） 【分析】先提取公因式（ m 1）后，得出余下的部分 【解答】解：（ m+1）（ m 1） +（ m 1）， =（ m 1）（ m+1+1）， =（ m 1）（ m+2） 故选 D 【点评】先提取公因式，进行因式分解，要注意 m 1 提取公因式后还剩 1 3把 10x+y） 2 5a（ x+y） 3 因式分解时，应提取的公因式是（ ） A 5a B（ x+y） 2 C 5（ x+y） 2 D 5a（ x+y） 2 【考点】公因式 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式 【解答】解： 10x+y） 2 5a（ x+y） 3 因式分解时，公因式是 5a（ x+y） 2 故选 D 【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键 4将多项式 a（ b 2） 2 b）因式分解的结果是（ ） A（ b 2）（ a+ B（ b 2）（ a C a（ b 2）（ a+1） D a（ b 2）（ a 1） 【考点】因式分解 提公因式法 【分析】找出公因式直接提取 a（ b 2）进而得出即可 【解答】解： a（ b 2） 2 b） =a（ b 2）（ 1+a） 故选： C 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键 5下列因式分解正确的是（ ） A m n） m（ n m） = m（ n m）（ n+1） B 6（ p+q） 2 2（ p+q） =2（ p+q）（ 3p+q 1） C 3（ y x） 2+2（ x y） =（ y x）（ 3y 3x+2） D 3x（ x+y）（ x+y） 2=（ x+y）（ 2x+y） 【考点 】因式分解提公因式法 第 6 页（共 12 页） 【分析】把每一个整式都因式分解，比较结果得出答案即可 【解答】解： A、 m n） m（ n m） =m（ m n）（ n+1） = m（ n m）（ n+1），故原选项正确； B、 6（ p+q） 2 2（ p+q） =2（ p+q）（ 3p+3q 1），故原选项错误； C、 3（ y x） 2+2（ x y） =（ y x）（ 3y 3x 2），故原选项错误； D、 3x（ x+y）（ x+y） 2=（ x+y）（ 2x y），故原选项错误 故选： A 【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化 二、填空题 6把多项式（ x 2） 2 4x+8 因式分解开始出现错误的一步是 C 解：原式 =（ x 2） 2（ 4x 8） A =（ x 2） 2 4（ x 2） B =（ x 2）（ x 2+4） C =（ x 2）（ x+2） D 【考点】因式分解提公因式法 【分析】利用提取公因式法一步步因式分解，逐一对比进行判定，得出答案即可 【解答】解：原式 （ x 2） 2（ 4x 8） A =（ x 2） 2 4（ x 2） B =（ x 2）（ x 2 4） C =（ x 2）（ x 6） D 通过对比可以发现因式分解开始出现错 误的一步是 C 故答案为： C 【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化 7 x+y） 3+x（ x+y） 2 的公因式是 x（ x+y） 2 ； （ 2） 4x（ m n） +8y（ n m） 2 的公因式是 4（ m n） 【考点】公因式 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式 【解答】解：（ 1） x+y） 3+x（ x+y） 2 的公因式是 x（ x+y） 2； 第 7 页（共 12 页） （ 2） 4x（ m n） +8y（ n m） 2 的公因式是 4（ m n） 故答案为： 4（ m n） x（ x+y） 2 【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键 8分解因式：（ x+3） 2（ x+3） = （ x+2）（ x+3） 【考点】因式分解提公因式法 【分析】本题考查提公因式法分解因式将原式的公因式（ x 3）提出即可得出答案 【解答】解：（ x+3） 2（ x+3）， =（ x+3）（ x+3 1）， =（ x+2）（ x+3） 【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式 9因式分解： n（ m n）（ p q） n（ n m）（ p q） = 2n（ m n）（ p q） 【考点】因式分解提公因式法 【分析】首先得出公因式为 n（ m n）（ p q），进而提取公因式得出即可 【解答】解： n（ m n）（ p q） n（ n m）（ p q） =n（ m n）（ p q） +n（ m n）（ p q） =2n（ m n）（ p q） 故答案为： 2n（ m n）（ p q） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键 10已知（ 2x 21）（ 3x 7）（ 3x 7）（ x 13）可分解因式为（ 3x+a）（ x+b），其中 a、 b 均为整数，则 a+3b= 31 【考点】因式分解提公因式法 【专题】压轴题 【分析】首先提取公因式 3x 7，再合并同类项即可得到 a、 b 的值，进而可算出 a+3 【解答】解：（ 2x 21）（ 3x 7）（ 3x 7）（ x 13）， =（ 3x 7）（ 2x 21 x+13）， 第 8 页（共 12 页） =（ 3x 7）（ x 8） =（ 3x+a）（ x+b）， 则 a= 7， b= 8， 故 a+3b= 7 24= 31， 故答案为： 31 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式 三、解答题 11将下列各式因式分解： （ 1） 5a b） 3 10b a） 2； （ 2）（ b a） 2+a（ a b） +b（ b a）； （ 3）（ 3a 4b）（ 7a 8b） +（ 11a 12b）（ 8b 7a）； （ 4） x（ b+c d） y（ d b c） c b+d 【考点】因式分解提公因式法 【分析】均直接提取公因式即可因式分解 【解答】解：（ 1） 5a b） 3 10b a） 2 =5a b） 2（ a b 2 （ 2）（ b a） 2+a（ a b） +b（ b a） =（ a b）（ a b+a b） =2（ a b） 2； （ 3）（ 3a 4b）（ 7a 8b） +（ 11a 12b）（ 8b 7a） =（ 7a 8b）（ 3a 4b 11a+12b） =8（ 7a 8b）（ b a） （ 4） x（ b+c d） y（ d b c） c b+d =（ b+c d）（ x+y 1） 【点评】考查了因式分解的知识，解题的关键是仔细观察题目，并确定公因式 12若 x， y 满足 ，求 7y（ x 3y） 2 2（ 3y x） 3 的值 【考点】因式分解的应用；解二元一次 方程组 第 9 页（共 12 页） 【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可 【解答】解： 7y（ x 3y） 2 2（ 3y x） 3， =7y（ x 3y） 2+2（ x 3y） 3， =（ x 3y） 27y+2（ x 3y） ， =（ x 3y） 2（ 2x+y）， 当 时，原式 =12 6=6 【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力 13先阅读下面的材料，再因式分解： 要把多项式 am+an+bm+式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a；把它的后两项分成一组，并提出 b，从而得至 a（ m+n） +b（ m+n）这时，由于 a（ m+n）+b（ m+n），又有因式（ m+n），于是可提公因式（ m+n），从而得到（ m+n）（ a+b）因此有 am+an+bm+ am+（ bm+=a（ m+n） +b（ m+n） =（ m+n）（ a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了 请 用上面材料中提供的方法因式分解： （ 1） ac+ （ 2） mn+ （ 3） 2y 4 【考点】因式分解分组分解法 【专题】阅读型 【分析】（ 1）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可； （ 2）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可； （ 3）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可 【解答】解：（ 1） ac+b2=a（ b c） +b（ c b） =（ a b）（ b c）； （ 2） mn+nx=m（ m n） +x（ m n） =（ m n）（ m x）； 第 10 页（共 12 页） （ 3） 2y 4 =y 2） +2（ y 2） =（ y 2）（ ） 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组进而提取公因式是解题关键 14求使不等式成立的 x 的取值范围： （ x 1） 3（ x 1）（ 2x+3） 0 【考点】因式分解提公因式法；解一元一次不等式 【分析】首先把 2x+3 因式分解为（ x 1）（ x 2），进一步利用提取公因式法以及非负数的性质，探讨得出答案即可 【解答】解：（ x 1） 3（ x 1）（ 2x+3） =（ x 1） 3（ x 1） 2（ x 2） =（ x 1） 2（ x+1）； 因（ x 1） 2 是非负数，要使（ x 1） 3（ x 1）（ 2x+3） 0， 只要 x+1 0 即可， 即 x 1 【点评】此题考查提取公因式法因式分解，结合非负数的性质来探讨不等式的解法 15阅