2017年河北省衡水市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年河北省衡水市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=R，集合 M=x|2x 3 0， N=y|y=3，则 M （ （ ） A x| 1 x 1 B x| 1 x 1 C x|1 x 3 D x|1 x 3 2若复数 z 满足（ 3 4i） z=|4+3i|，则 z 的虚部为（ ） A 4 B C D 4 3设实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=x+2y，则 z 的最大值为（ ） A 1 B 4 C D 4若 =4，则 ） A B C D 5若 m R，则 “ 1”是 “直线 x+21=0 与 3m 1） x =0 平行 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 3， 4），则此双曲线的方程为（ ） A B C D 7设 f（ x） =+a）是奇函数，则使 f（ x） 0 的 x 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 1） C（ ， 0） D（ ， 0） （ 1， + ） 8已知四棱锥，它的底面是边长为 2 的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9执行如图所示的程序框图，则输出结果 S 的值为（ ） A B 0 C D 1 10甲、乙、丙三人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人， 同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A 258 B 306 C 336 D 296 11在 ， B=3， M， N 是斜边 的两个动点，且 ，则 的取值范围为（ ） A B 2， 4 C 3， 6 D 4， 6 12设 三边长分别为 n=1， 2， 3， ，若 b1+a1，=， ，则 最大值为（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸 上） 13抛物线 y=4a 0）的焦点坐标是 14已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 15设 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a=4， A= ， B= ，则 面积 S= 16已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） 2x 恰有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在各项均为正数的等比数列 ， ，且 23 等差数列 （ ） 求等比数列 通项公式； （ ） 若数列 足 1 2数列 前 n 项和 最大值 18一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗 “的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由 4 位该病毒的感染者组成，其中 2 人试用甲种抗病毒药物，2 人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为 “甲类组 ”， （ 1）求一个试用组为 “甲类组 ”的概率； （ 2）观察 3 个试用组，用 表示这 3 个试用组中 “甲类组 ”的个数，求 的分布列和数学期望 19如图，在四棱锥 P ， D=2，E， F 分别为 中点， C （ 1）求证：平面 平面 （ 2）设 PA=a，若平面 平面 成锐二面角 ，求 20设 F（ ， 0），点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且 =2 ， =0 （ 1）当点 B 在 y 轴上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）设点 P 是轨迹 E 上的动点，点 R， N 在 y 轴上，圆（ x 1） 2+ 内切于 面积的最小值 21设函数 f（ x） =42g（ x） =a R （ 1）若 a=1，求 f（ x）的递增区间； （ 2）若 f（ x）在 R 上单调递增，求 a 的取值范围； （ 3）记 F（ x） =f（ x） +g（ x），求证： 选修 4何证明选讲 22如图，直线 圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， 角平分线圆于点 E， 直 圆于点 D （ ）证明： C； （ ）设圆的半径为 1， ， 延长 点 F，求 接圆的半径 选修 4标系与参数方程 23直线 l 的参数方程为 ，曲线 C 的极坐标方程（ 1+2=2 （ 1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于两点 A、 B，若点 P 为（ 1， 0），求 + 选修 4等式选讲 24设实数 a， b 满足 2a+b=9 （ i）若 |9 b|+|a| 3，求 x 的取值范围； （ a， b 0，且 z= z 的最大值 2017 年河北省衡水市高考数学一模试卷（文科 ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=R，集合 M=x|2x 3 0， N=y|y=3，则 M （ （ ） A x| 1 x 1 B x| 1 x 1 C x|1 x 3 D x|1 x 3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解一元二次不等式求得 M，求函数的值域得到 N，根据补集的定义求得 根据两个集合的交集的定义求得 M （ 【解 答】 解： 集合 M=x|2x 3 0=x| 1 x 3， N=y|y=3=y|y 1， y|y 1， M （ =x| 1 x 1， 故选： A 2若复数 z 满足（ 3 4i） z=|4+3i|，则 z 的虚部为（ ） A 4 B C D 4 【考点】 复数求模；复数的基本概念 【分析】 根据复数的有关概念进行运算即可 【解答】 解：由（ 3 4i） z=|4+3i|，得（ 3 4i） z=5， 即 z= = = + i， 故 z 的虚部为 ， 故选： C 3设 实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=x+2y，则 z 的最大值为（ ） A 1 B 4 C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A 时，直线 y=的截距最大，此时 z 最大 由 ，得 ， 即 A（ ， ）， 此时 z 的最大值为 z= +2 = ， 故选： C 4若 =4，则 ） A B C D 【考点】 二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系 【分析】 先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以 1，将 1 用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求 【解答】 解：= = = = 故选 D 5若 m R，则 “ 1”是 “直线 x+21=0 与 3m 1） x =0 平行 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据直线平行的等价条件求出 m，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：由 1 得 m= ， 若 x+21=0 与 3m 1） x 1=0 平行， 则直线斜率相等或斜率不存在， 解得 m=0 或 m= ， 则 “ 1”是 “直线 x+21=0 与 3m 1） x 1=0 平行 ”的充分不必要条件， 故选： A 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 3， 4），则此双曲线 的方程为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，点（ 3， 4）到原点的距离等于半焦距，可得 a2+5由点（ 3， 4）在双曲线的渐近线上，得到 = ，两式联解得出 a=3 且 b=4，即可得到所求双曲线的方程 【解答】 解： 点（ 3， 4）在以 |直径的圆上， c=5，可得 a2+5 又 点（ 3， 4）在双曲线的渐近线 y= x 上， = ， 联解，得 a=3 且 b=4， 可得双曲线的方程 =1 故选： C 7设 f（ x） =+a）是奇函数，则使 f（ x） 0 的 x 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 1） C（ ， 0） D（ ， 0） （ 1， + ） 【考点】 奇函数；对数函数的单调性与特殊点 【分析】 首先由奇函数定义，得到 f（ x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（ 0） =0），求出 a， 然后由对数函数的单调性解之 【解答】 解：由 f（ x） = f（ x）， ， ，即 = ， 1 2+a） 2 式恒成立，可得 且（ a+2） 2=1，所以 a= 1 则 即 解得 1 x 0 故选 A 8 已知四棱锥，它的底面是边长为 2 的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 由俯视图判断出 平面 线面垂直的定义、判定定理判断出侧面中直角三角形的个数 【解答】 解：由俯视图可得， 平面 ， 同理可证， 直角三角形， 侧视图为直角三角形， 直角三角形， 且 四棱锥的侧面中直角三角形的个数是 3，如图所示 故选： C 9执行如图所示的程序框图，则输出结果 S 的值为（ ） A B 0 C D 1 【考点】 程序框图 【分析】 算法的功能是求 S= 的值，根据条件确定跳出循环的 n 值，利用余弦函数的周期性求输出 S 的值 【解答】 解 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求S= 的值， 跳出循环的 n 值为 2014， = 故选 C 10甲、乙、丙三人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的 站法种数是（ ） A 258 B 306 C 336 D 296 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 由题意知本题需要分类解决，共有两种情况，对于 7 个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人，根据分类计数原理得到结果 【解答】 解：由题意知本题需要分类解决， 对于 7 个台阶上每一个只站一人有 ； 若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共有 ， 根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 3136 种 故选 C 11在 ， B=3， M， N 是斜边 的两个动点，且 ，则 的取值范围为（ ） A B 2， 4 C 3， 6 D 4， 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 通过建立直角坐标系求出 在直线的方程，设出 M， N 的坐标，将=2（ b 1） 2， 0 b 1，求出范围 【解答】 解：以 C 为坐标原点， x 轴建立平面坐标系， 则 A（ 3， 0）， B（ 0， 3）， 在直线的方程为： y=3 x， 设 M（ a， 3 a）， N（ b， 3 b），且 0 a 3， 0 b 3 不妨设 a b， ， （ a b） 2+（ b a） 2=2， a b=1， a=b+1， 0 b 2， =（ a， 3 a） （ b， 3 b） =23（ a+b） +9 =2（ 2b+3）， 0 b 2， b=1 时有最小值 4； 当 b=0，或 b=2 时有最大值 6， 的取值范围为 4， 6 故选： D 12设 三边长分别为 n=1， 2， 3， ，若 b1+a1，=， ，则 最大值为（ ） A B C D 【考点】 数列递推式 【分析】 根据数列的递推关系得到 bn+常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论 【解答】 解： = an= ， ， +=， + 2（ bn+2 又 b1+ 当 n=1 时， b2+2（ b1+ 2=0， 当 n=2 时， b3+2（ b2+ 2=0， bn+2， 即 bn+常数， ） n 1（ 当 n + 时， ，即 bnc n， 则由基本不等式可得 bn+2 ， （ 2， 由余弦定理可得 = 2 bn+2 22 即（ 2=（ 22 21+ 即 21+=3（ 2 2（ 2（ 1+ 即 3 2（ 1+ 解得 ， 0 ， 即 最大值是 ， 故答案为： 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13抛物线 y=4a 0）的焦点坐标是 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线方程直接求解抛物线的焦点坐标即可 【解答】 解：抛物线 y=4a 0）的标准方程为： ，所以抛物线的焦点坐标为： 故答案为： 14已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 半径为 2 的半圆的弧长是 2，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是 2，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的 高即可求解圆锥的体积 【解答】 解：一个圆锥的母线长为 2，它的侧面展开图为半圆， 圆的弧长为： 2，即圆锥的底面周长为： 2， 设圆锥的底面半径是 r， 则得到 2r=2， 解得： r=1， 这个圆锥的底面半径是 1， 圆锥的高为 h= = 所以圆锥的体积为： V= ， 故答案为： 15设 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a=4， A= ， B= ，则 面积 S= 6+2 【考点】 正弦定理 【分析】 先求角 C，然后由正弦定理可求得 b 的值，从而可求 面积 【解答】 解： A= ， B= ， C= = ， 又 由正弦定理知： b= = =2 ， S =4 4 ）=6+2 故答案为： 6+2 16已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） 2x 恰有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 （ 1， 2 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由题意知 g（ x）在 m， + ）上有一个零点，在（ ， m）上有两个零点；从而由一次函数与二次函数的性质判断即可 【解答】 解： 函数 g（ x） =f（ x） 2x 恰有三个不同的零点， g（ x）在 m， + ）上有一个零点，在（ ， m）上有两个零点； ； 解得， 1 m 2； 故答案为：（ 1， 2 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在各项均为正数的等比数列 ， ，且 23等差数列 （ ） 求等比数列 通项公式； （ ） 若数列 足 1 2数列 前 n 项和 最大值 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 （ ）设数列 公比为 q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出 q 的值，再代入等比数列的通项公式化简； （ ）由（ ）和题意化简 判断出数列 等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前 n 项和公式，再对 行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值 【解答】 解：（ ）设数列 公比为 q， 0 因为 23等差数列，所以 2 即 ， 所以 23q 2=0，解得 q=2 或 （舍去）， 又 ，所以数列 通项公式 （ ）由题意得， 1 21 2n， 则 ，且 2， 故数列 首项为 9，公差为 2 的等差数列， 所以 =（ n 5） 2+25， 所以当 n=5 时， 最大值为 25 18一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗 “的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由 4 位该病毒的感染者组成，其中 2 人试用甲种抗病毒药物，2 人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称 该组为 “甲类组 ”， （ 1）求一个试用组为 “甲类组 ”的概率； （ 2）观察 3 个试用组，用 表示这 3 个试用组中 “甲类组 ”的个数，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）设 示事件 “一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有 i 人 ”， i=0，1， 2， 示事件 “一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有 j 人 ”， j=0， 1，2，一个试用组为 “甲类组 ”的概率 P=P（ +P（ +P（ 由此能求出结果 （ 2） 的可能取值为 0， 1， 2， 3，且 B（ 3， ），由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）设 示事件 “一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有 i 人 ”，i=0， 1， 2， 示事件 “一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有 j 人 ”， j=0， 1， 2， 依题意有 P（ = ， P（ = ， P（ = = ， P（ = = ， 一个试用组为 “甲类组 ”的概率： P=P（ +P（ +P（ = = （ 2） 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 且 B（ 3， ）， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） =（ ） 3= ， 的分布列为： 0 1 2 3 P B（ 3， ）， = 19如图，在四棱锥 P ， D=2，E， F 分别为 中点， C （ 1）求证：平面 平面 （ 2）设 PA=a，若平面 平面 成锐二面角 ，求 【考点】 用空间向量求平面间 的夹角；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由题目给出的条件，可得四边形 矩形，说明 证明 线面垂直的判定可得 面 根据面面垂直的判定得到平面 平面 （ 2）以 A 点为坐标原点， 在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得 a 的取值范围 【解答】 证明：如图， （ 1） D=2， F 为 中点， 矩形， C， ， 面 平面 平面 （ 2）解： C， 以 面 以 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴， 在直线为 z 轴建立空间坐标系， 则 B（ 1， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， a）， C（ 2， 2， 0）， E（ 1， 1， ） 平面 法向量 ， 设平面 法向量为 ， 由 ，即 ，取 y=1，得 x=2， z= 则 所以 因为平面 平面 成锐二面角 ， 所以 ，即 由 得： 由 得： 或 所以 a 的取值范围是 20设 F（ ， 0），点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且 =2 ， =0 （ 1）当点 B 在 y 轴上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）设点 P 是轨迹 E 上的动点，点 R， N 在 y 轴上，圆（ x 1） 2+ 内切于 面积的最小值 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ 1）设 M（ x， y），由 ，得点 B 为线段 中点，由 = x+ =0，即可得到动点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2）设 P（ R（ 0， b）， N（ 0， c），且 b c，可得 线的方程为：（ b） x ，由直线 题中的圆相切，运用距离公式算出（ 2） 、（ 2） ，可得 b、 c 是方程（ 2） 的两个根，运用根与系数的关系算出 |b c|关于 x 的式子，再代入计算 面积可得面积 S 关于 x 的表达式，最后利用基本不等式即可求出 【解答】 解：（ 1）设 M（ x， y），由 ，得点 B 为线段 中点， B（ 0， ）， A（ x， 0）， =（ x， ）， =（ ， ） 由 = x+ =0，得 x 所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 x； （ 2）设 P（ R（ 0， b）， N（ 0， c），且 b c， 线的方程为 y= ，整理得 b） x ， 圆（ x 1） 2+ 内切于 得 圆相切， =1， 注意到 2，化 简得：（ 2） ， 同理可得：（ 2） ， 因此， b、 c 是方程（ 2） 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，化简整理可得 |b c|= = ， 由此可得 面积为 S= 2） + +4 8， 当 2= 时，即当 时， 面积的最小值为 8 21设函数 f（ x） =42g（ x） =a R （ 1）若 a=1，求 f（ x）的递增区间； （ 2）若 f（ x）在 R 上 单调递增，求 a 的取值范围； （ 3）记 F（ x） =f（ x） +g（ x），求证： 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）分离参数，结合二次函数的性质求出 a 的范围即可； （ 3）求出 F（ x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论即可 【解答】 解：（ 1）当 a=1， f（ x） =42x， f（ x） =242， 令 f（ x） 0 得 ， f（ x）的递增区间为 （ 2） f（ x） =242a 0 在 R 上恒成立， 2a 0 在 R 上恒成立 = 在 R 上恒成立 e x 0， ， a 0 （ 3）证明： F（ x） =42ax+5 4x） a+x2+ ， 设 h（ x） =2x，则 h（ x） =2， 令 h（ x） 0，得 x h（ x）在（ ， 调递减； 令 h（ x） 0，得 x h（ x）在（ + ）单调递增； h（ x） h（ =2 0， 选修 4何证明选讲 22如图，直线 圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， 角平分线圆于点 E， 直 圆于点 D （ ）证明： C； （ ）设圆的半径为 1， ，延长 点 F，求 接圆的半径 【考点】 圆的切线的性质定理的证明 【分析】 （ I）如图所示，连接 于 ，可得 0即圆的直径由于 角平分线 圆于点 E，利用同圆