2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位，则 =（ ） A B C D 2已知集合 A=x|1 4， B=x|x 1 0，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B 1， 2） C（ 1， 2） D 1， 2） 3已知命题 q： x R， 0，则（ ） A命题 q： x R， 0 为假命题 B命题 q： x R， 0 为真命题 C 命题 q： x R， 0 为假命题 D命题 q： x R， 0 为真命题 4设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为（ ） A 5 B 6 C D 7 5执行如图所示的程序框图，输出的 s=（ ） A 5 B 20 C 60 D 120 6设向量 满足 ，则 =（ ） A 2 B C 3 D 7已知 是等差数列，且 ， ，则 ） A B C D 8已知椭圆 =1（ a b 0）的左，右焦点为 心 率为 e P 是椭圆上一点，满足 Q 在线段 ，且 若 =0，则 ） A B C D 9已知函数 ，若 f（ f（ 则一定有（ ） A D 10中国古代数学有着很多令人惊叹的成就北宋沈括在梦澳笔谈卷十八技艺篇中首创隙积术隙积术意即：将木捅一层层堆放成坛状，最上一层长有 有 b 个，共计 木桶每一层长宽各比上一层多一个，共堆放 n 层，设最底层长有 c 个，宽有 d 个，则共计有木桶 个假设最上层有 长 2 宽 1 共 2 个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放 15层则木桶的个数为（ ） A 1260 B 1360 C 1430 D 1530 11锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足（ a b）（ （ c b） ，则 b2+取值范围是（ ） A（ 5， 6 B（ 3， 5） C（ 3， 6 D 5， 6 12已知函数 f（ x） = （ a+1） x+a（ a 0），其中 e 为自然对数的底数若函数 y=f（ x）与 y=ff（ x） 有相同的值域，则实数 a 的最 大值为（ ） A e B 2 C 1 D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知双曲线 的离心率为 ，则它的渐近线方程为 14某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为 110， 114， 121，119， 126，则这组数据的方差是 15几何体三视图如图所示，其中俯视图为边长为 1 的等边三角形，则此几何体的体积为 16已知数列 ， ，且 ，则其前 9 项的和 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 证明过程或演算步骤 .） 17已知函数 f（ x） = 0）的最小正周期为 （ 1）求函数 y=f（ x）图象的对称轴方程； （ 2）讨论函数 f（ x）在 上的单调性 18某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查现从高一年级学生中随机抽取 180 名学生，其中男生 105 名；在这名 180 学生中选择社会科学类的男生、女生均为 45 名 （ 1）试问：从高一年级学生中随机抽取 1 人，抽到男生的概率约为多少？ （ 2）根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成下列列联表并 判断能否在犯错误的概率不超过 前提下认为科类的选择与性别有关？ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 0 9如图 1，平面五边形 ， ，将 起，使点 D 到 P 的位置如图 2，且 ，得到四棱锥 P （ 1）求证： 平面 （ 2）记平面 平面 交于直线 l，求证： l 20如图，已知抛物线 E： p 0）与圆 O： x2+ 相交于 A， B 两点，且点 A 的横坐标为 2过劣弧 动点 P（ 圆 O 的切线交抛物线 ， D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 交于点M （ 1）求抛物线 E 的方程； （ 2）求点 M 到直线 离的 最大值 21已知 f（ x） =x+m（ m 为常数） （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）设 m 1，记 f（ x+m） =g（ x），已知 函数 g（ x）是两个零点，求证： x1+0 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =4 （ 1）求出圆 C 的直角坐标方程； （ 2）已知圆 C 与 x 轴相交于 A， B 两点，直线 l： y=2x 关于点 M（ 0， m）（ m 0）对称的直线为 l若直线 l上存在点 P 使得 0，求实数 m 的最大值 选修 4等式选讲 23已知函数 （ 1）求函数 f（ x）的定义域； （ 2）若当 x 0， 1时，不等式 f（ x） 1 恒成立，求实数 a 的取值范围 2017 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位，则 =（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即 可得出 【解答】 解： = = = 故选： D 2已知集合 A=x|1 4， B=x|x 1 0，则 A B=（ ） A（ 1， 2） B 1， 2） C（ 1， 2） D 1， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式化简集合 A、 B，根据交集的定义写出 A B 【解答】 解：集合 A=x|1 4=x| 2 x 1 或 1 x 2， B=x|x 1 0=x|x 1， 则 A B=x|1 x 2=（ 1， 2） 故选： A 3已知命题 q： x R， 0，则 （ ） A命题 q： x R， 0 为假命题 B命题 q： x R， 0 为真命题 C命题 q： x R， 0 为假命题 D命题 q： x R， 0 为真命题 【考点】 命题的否定 【分析】 本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定，再进行判断即可 【解答】 解： 命题 q： x R， 0， 命题 q： x R， 0，为真命题 故选 D 4设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为（ ） A 5 B 6 C D 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ ）， 化目标函数 z=x+2y 为 y= 由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 故选： C 5执行如图所示的程序框图，输出的 s=（ ） A 5 B 20 C 60 D 120 【考点】 程序框图 【分析】 先根据已知循环条件和循环体判定循 环的规律，然后根据运行的情况判断循环的次数，从而得出所求 【解答】 解：第一次循环， s=1， a=5 3， s=5， a=4； 第二次循环， a=4 3， s=20， a=3； 第三次循环， a=3 3， s=60， a=2， 第四次循环， a=2 3，输出 s=60， 故选： C 6设向量 满足 ，则 =（ ） A 2 B C 3 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可以得到 ，这样代入 即可求出 的值，从而得出 的值 【解答】 解： = = =16 4 =12； 故选： B 7已知 是等差数列，且 ， ，则 ） A B C D 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 根据题意，设等差数列 的公差为 d，结合题意可得 =1， = ，计算可得公差 d 的值，进而由等差数列的通项公式可得 的值，求其倒数可得值 【解答】 解：根据题意， 是等差数列，设其公差为 d， 若 ， ，有 =1， = ， 则 3d= = ，即 d= ， 则 = +9d= ， 故 ； 故选： A 8已知椭圆 =1（ a b 0）的 左，右焦点为 心率为 e P 是椭圆上一点，满足 Q 在线段 ，且 若 =0，则 ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意求得 P 点坐标，根据向量的坐标运算求得 Q 点坐标，由=0，求得 b2=据离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率 【解答】 解：由题意可知： P（ c， ）， 由 ，（ xQ+c， =2（ c 则 Q（ ， ）， =（ 2c， ）， =（ ， ）， 由 =0，则 2c （ ） + =0，整理得： 则（ 2=2理得： 4，则 4=0，解得： ， 由 0 e 1，则 ， 故选 C 9已知函数 ，若 f（ f（ 则一定有（ ） A D 【考点】 三角函数的化简求值；正弦函数的图象 【分析】 把已知函数解析式变形，由 f（ f（ 得 | |再 由 范围可得 |2 |2即 | |得到 【解答】 解： f（ x） = 2 2 由 f（ f（ 得 ， | | ， ， 2 ， ， 2 ， 由 | |得 |2 |2即 | | 故选： D 10中国古代数学有着很多令人 惊叹的成就北宋沈括在梦澳笔谈卷十八技艺篇中首创隙积术隙积术意即：将木捅一层层堆放成坛状，最上一层长有 有 b 个，共计 木桶每一层长宽各比上一层多一个，共堆放 n 层，设最底层长有 c 个，宽有 d 个，则共计有木桶 个假设最上层有长 2 宽 1 共 2 个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放 15层则木桶的个数为（ ） A 1260 B 1360 C 1430 D 1530 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由已知条件求出 a， b， c， d，代入公式能求出结果 【解答】 解： 最上层有长 2 宽 1 共 2 个 木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放 15 层 最底层长有 c=a+15=17 个，宽有 d=b+15=16 个 则木桶的个数为： =1530 故选： D 11锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足（ a b）（ （ c b） ，则 b2+取值范围是（ ） A（ 5， 6 B（ 3， 5） C（ 3， 6 D 5， 6 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理可得 b2+a2=利用余弦定理可得 而可求 A，利 用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 b2+22B ），利用 B 的范围，可求 2B 的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围 【解答】 解： （ a b）（ =（ c b） 正弦定理可得：（ a b）（ a+b） =（ c b） c，化为 b2+a2= 由余弦定理可得： = = ， A 为锐角，可得 A= ， ， 由正弦定理可得： ， 可得： b2+ 22+2 B） 2=3+2+22B ）， B （ ， ），可得： 2B （ ， ）， 2B ） （ ， 1，可得： b2+22B ） （ 5， 6 故选： A 12已知函数 f（ x） = （ a+1） x+a（ a 0），其中 e 为自然对数的底数若函数 y=f（ x）与 y=ff（ x） 有相同的值域，则实数 a 的最大值为（ ） A e B 2 C 1 D 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求出函数的导数，得到函数 f（ x）的值域，问题转化为即 1， + ） ，+ ），得到关于 a 的 不等式，求出 a 的最大值即可 【解答】 解： f（ x） = （ a+1） x+a（ a 0）， f（ x） = ex+ a+1）， a 0， 则 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）递减， x 1 时， f（ x） 0， f（ x）递增， 而 x + 时， f（ x） + ， f（ 1） = ， 即 f（ x）的值域是 ， + ），恒大于 0， 而 ff（ x） 的值域是 ， + ）， 则要求 f（ x）的范围包含 1， + ）， 即 1， + ） ， + ）， 故 1，解得： a 2， 故 a 的最大值是 2， 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知双曲线 的离心率为 ，则它的渐近线方程为 y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用离心率公式和 a， b， c 的关系，可得 b= = a，即可得到所求双曲线的渐近线方程 【解答】 解：由题意可得 e= = ， 即 c= a， b= = a， 可得双曲线的渐近线方程 y= x， 即为 y= x 故答案为： y= x 14某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为 110， 114， 121，119， 126，则这组数据的方差是 【考点】 极差、 方差与标准差 【分析】 根据平均数与方差的计算公式，计算即可 【解答】 解：五次考试的数学成绩分别是 110， 114， 121， 119， 126， 它们的平均数是 = =118， 方差是 2+2+2+2+2= 故答案为： 15几何体三视图如图所示，其中俯视图为边长为 1 的等边三角形，则此几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为四棱锥，棱锥的高为俯视图三角形的高，底面为直角梯形 【解答】 解：由三视图可知，几何体为四棱锥，棱锥的高为俯视图中 等边三角形的高 ，棱锥的底面为直角梯形，梯形面积为 （ 1+2） 1= V= = 故答案为 16已知数列 ， ，且 ，则其前 9 项的和 1022 【考点】 数列的求和 【分析】 由题意整理可得： =2数列 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，利用等比数列的前 n 项和公式，即可求得 【解答】 解：由题意可知 2=4 则 2=4（ 2 4+4 整理得：（ 22=0，则 =2 数列 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 则前 9 项的和 = =1022， 故答案为： 1022 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知函数 f（ x） = 0）的最小正周期为 （ 1）求函数 y=f（ x）图象的对称轴方程； （ 2）讨论函数 f（ x）在 上的单调性 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得 ，可得其解析式，利用正弦函数的图象的对称求得函数 y=f（ x）图象的对称轴方程 （ 2）利用正弦函数的单调性求得函数 f（ x）在 上的单调性 【解答】 解：（ 1） ，且 T=， =2 于是 ，令 ，得 ， 即函数 f（ x）的对称轴方程为 （ 2 ）令 ，得函数 f （ x ）的单调增区间为 注意到 ，令 k=0， 得函数 f（ x）在 上的单调增区间为 ； 同理，求得其单调减区间为 18某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查现从高一年级学生中随机抽取 180 名学生，其 中男生 105 名；在这名 180 学生中选择社会科学类的男生、女生均为 45 名 （ 1）试问：从高一年级学生中随机抽取 1 人，抽到男生的概率约为多少？ （ 2）根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成下列列联表并判断能否在犯错误的概率不超过 前提下认为科类的选择与性别有关？ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计 90 90 180 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 0 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）根据从高一年级学生中随机抽取 180 名学生，其中男生 105 名，求出抽到男生的概率； （ 2）填写 2 2 列联表，计算观测值 照数表即可得出结论 【解答】 解：（ 1）从高一年级学生中随机抽取 1 人，抽到男生的概率约为 （ 2）根据统计数据，可得列联表如下： 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计 90 90 180 ， 所以，在犯错误的概率不超过 前提下认为科类的选择与性别有关 19如图 1，平面五边形 ， ，将 起，使点 D 到 P 的位置如图 2，且 ，得到四棱锥 P （ 1）求证： 平面 （ 2）记平面 平面 交于直线 l，求证： l 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1） 在 ，由已知结合余弦定理得 接 得 在 ，由 理， 后利用线面垂直的判定可得 平面 （ 2）由 面 面 得 平面 平面 平面 l，结合面面平行的性质可得 l 【解答】 证明：（ 1）在 ， ， ， 由余弦定理得 =2 连接 ， 0， 又 ， 在 ， 即 同理， 面 面 且 ， 故 平面 （ 2） 面 面 平面 又平面 平面 l， l 20如图，已知抛物线 E： p 0）与圆 O： x2+ 相交于 A， B 两点，且点 A 的横坐标为 2过劣弧 动点 P（ 圆 O 的切线交抛物线 ， D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 交于点M （ 1）求抛 物线 E 的方程； （ 2）求点 M 到直线 离的最大值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）由 2， p=1即可求得 p 的值，求得抛物线方程； （ 2）分别求得直线 程，联立，求得交点 M 坐标，求得足 ，利用点到直线的距离公式，根据函数的单调性即可求得点 M 到直线 离的最大值 【解答】 解：（ 1）由 得 ，故 2， p=1 于是，抛物线 E 的方程为 x （ 2）设 ， ，切线 ， 代入 x 得 ，由 =0 解得 ， 程为 ，同理 程为 ， 联立 ，解得 ， 易得 程为 ，其中 足 ， ， 联立方程 得 ，则 ， M（ x， y）满足 ，即点 M 为 点 M 到直线 的距离， 关于 调减， 故当且仅当 时， 21已知 f（ x） =x+m（ m 为常数） （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）设 m 1，记 f（ x+m） =g（ x），已知 函数 g（ x）是两个零点，求证： x1+0 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）利用导数判断 f（ x）的单 调性，得出 f（ x）的极值； （ 2）由 g（ =g（ =0 可得 ，故 h（ x） =x 有两解 断 h（ x）的单调性得出 范围，将问题转化为证明 h（ h（ 0，在判断 r（ =h（ h（ 单调性即可得出结论 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x+m， ，由 f（ x） =0 得 x=1， 且 0 x 1 时， f（ x） 0， x 1 时， f（ x） 0 故函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， 1），单调递减区间为（ 1， + ） 所以，函数 f（ x）的极大值为 f（ 1） =m 1，无极小值 （ 2）由 g（ x） =f（ x+m） =x+m） x， 函数 g（ x）是两个零点， ，即 ， 令 h（ x） =x，则 h（ x） =m 有两解 令 h（ x） =1=0 得 x=0， m x 0 时， h（ x） 0，当 x 0 时， h（ x） 0， h（ x）在（ m， 0）上单调递减，在（ 0， + ）上单调递增 h（ x） =m 的两解 别在区间（ m， 0）和（ 0， + ）上， 不妨设 0 要证 x1+0， 考虑到 h（ x）在（ 0， + ）上递增，只需证 h（ h（ 由 h（ =h（ ，只需证 h（ h（ 令 r（ x） =h（ x） h（ x） =2x e x， 则 r（ x） = 2 0， r（ x）单调递增， 0， r（