甘肃省兰州市2017年高考实战模拟考试数学试题（文）含答案

兰州市 2017 年高考实战模拟考试 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1, 0 , 1, 2 , 3M ， 2 | 2 0 N x x x ，则 （ ） A 3 B 2,3 C 1,3 D 0,1,2 z 满足 (1 ) | 1 |z i i i ，则 z 的实部为（ ） A 212B 21 C 1 D 212 1, )a x x ， ( 2 , 4 )b x x ，则“ ”是“ 2x ”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 1 3 21, , 22a a 9 1078 （ ） A 12 B 3 2 2 C. 12 D 3 2 2 该程序运行后输出的值是（ ） A 2014 B 2015 C. 2016 D 2017 4,0)M ， (0, 3)N ， ( , )Px y 的坐标 ,03 4 1 2 ，则 面积的取值范围是（ ） A 12,24 B 12,25 C. 6,12 D 256, 、美、俄等 21 国领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ） A 1818 B 2020 C. 2 3 103 18 10A A D 2 182 18下列说法正确的是（ ） 该几何体的体积为 16； 该几何体为正三棱锥； 该几何体的表面积为 3 32； 该几何体外接球的表面积为 3 . A B C. D 1 0 ( 0 , 0 )l a x b y a b 把圆 22: ( 4 ) ( 1 ) 1 6C x y 分成面积相等的两部分，则当 得最大值时，坐标原点到直线 l 的距离是（ ） A 4 B 8 17 C. 2 D 8 1 1A B C D A B C D中，1成的角分别为 60 和45 ，则异面直线 1角的余弦值为（ ） A 64B 14C. 26D 2 1 ( 0 , 0 )xy 的左、右焦点，以12一个交点为 P ，1 ，且1| | 2 | | F，则该双曲线的离心率为（ ） A 5 B 2 C. 3 D ，定义运算“ ”： ,1a a a b，函数 2( ) ( 2 ) ( 1 )f x x x ，若方程 ( ) 0f x a只有两个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2 , 1 (1, 2 ) B ( 2 , 1 (1, 2 C. 2, 1 1, 2 D ( 2 , 1 (1, 2 ) 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） s i n s i n 12 ， 1c o s c o ，则 ) 1， 1 2 1， 1 2 3 2 1 ， 1 2 3 4 3 2 1 ，由以上可推测出一个一般性结论：对于 *，则 1 2 2 1n ( ) 2 s i n ( 2 )3f x x ； ( ) 2 s i n ( 2 )6f x x ；1( ) 2 s i n ( )23f x x ； 1( ) 2 s i n ( )23f x x 小正周期为 且图象关于直线3x 对称的函数序号是 0, ) 的函数 () ) 2 ( 2 )f x f x，当 0,2)x 时，2( ) 2 4f x x x ，设 ()2 2, 2 )上的最大值为 *()na n N ，且数列 前 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或 演算步骤 .） 17. 在 中， ,对边分别为 , t a n t a n 3 ( t a n t a n 1 )A C A C . （ 1）求角 B ； （ 2）如果 2b ，求 面积的最大值 . 18. 现如今，“网购”一词不再新鲜，越来越多的人已经 接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易 200 例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为 服务的好评率为 中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 . （ 1）依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有 把握认为“商品好评与服务好评”有关； （ 2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了 5 次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X ，求 X 的分布列（概率用算式表示）、数学期望和方差 . 19. 如图所示的空间几何体 ，四边形 边长为 2 的正方形， 平面 /B ， /D ， 1G， 3. （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 . 20. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A ，左焦点为1( 2,0)F ，点(2, 2)B 在椭圆 C 上，直线 ( 0)y kx k与椭圆 C 交于 ,线 ,Q 分别与 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）以 直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由 . 21. 已知函数 2( ) l nf x a x b x x x 在 (1, (1)f 处的切线方程为 3 2 0 . （ 1）求实数 , （ 2）设 2()g x x x，若 ，且 ( 2 ) ( ) ( )k x f x g x 对任意的 2x 恒成立，求 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知点 (1,1)B ，曲线 C 的参数方程为 2 co s3 （ 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 点 A 的极坐标为 (4 2, )4，直线 l 的极坐标方程为 c o s ( )4 a，且 l 过点 A ；过点 B 与直线 l 平行的直线为1l，1 相交于两点 ,（ 1）求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值； （ 2）求 |值 . 等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | | |f x x x a . （ 1）当 3a 时，解关于 x 的不等式 | 1 | | | 6x x a ； （ 2）若函数 ( ) ( ) | 3 |g x f x a 存在零点，求实数 a 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D C C D B D A A B 二、填空题 13. 3214. 2n 15. 16. 214 2n三、解答题 17. 解：（ ） t a n t a n 3 ( t a n t a n 1 )A C A C ，即 t a n t a n 31 t a n t a t a n ( ) 3 又 B 由于 B 为三角形内角， 故3B （ ）在 中，由余弦定理得 2 2 2 1c o c bB ，所以 22 4a c 222a c 4，当且仅当 2 时等号成立 的面积 1 1 3s i n 4 32 2 2S a c B 面积的最大值为 3 18. 解：（ ） 根据题中条件可得关于商品和服务的 22 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 22 2 0 0 ( 8 0 1 0 4 0 7 0 ) 1 0 0= 1 1 . 1 1 1 1 0 . 8 2 81 5 0 5 0 1 2 0 8 0 9K 因此，有 的把握认为 “ 商品好评与服务好评 ” 有关 . （ ）由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 80 2200 5X 的所有可能的取值为 0,1, 2, 3, 4,5 ，则 X 2(5, )5B， 所以 53( 0 ) ( )5， 1 1 45 23( 1 ) ( ) ( )55P X C， 2 2 35 23( 2 ) ( ) ( )55P X C， 3 3 25 23( 3 ) ( ) ( )55P X C ， 445 23( 4 ) ( ) ( )55P X C ， 52( 5 ) ( )5 分布列为 ： X 0 1 2 3 4 5 由于 X 2(5, )5B， 所以 2( ) 5 25 ， 2 2 6( ) 5 ( 1 )5 5 5 19. 解：（ ）证明：连接 点 O ，则 设 中点分别为 M ， N ，连接 则 连接 则 N ，所以 所以 由于 平面 所以 所以 C ， E ，所以 平面 所以平面 平面 （ ）解法一： 平面 平面 成的锐二面角即为平面 平面 成的锐二面角 连接 平面 C C 为平面 平面 成二面角的一个平面角 3， 2 13 2 1 3c o B 即平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 2 1313解法二：建立如图所示空间直角坐标系 A ， P 53()51 1 45 23( ) ( )55 35 23( ) ( )55 25 23( ) ( )55 15 23( ) ( )55()5C 则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) ( 0 , 0 , 3 )A B C E， (0,1,3)G 依题意 (0, 0, 3) 为平面 一个法向量， 设 ( , , )n x y z 为平面 一个法向量，则 00n G 即 2 3 02 2 3 0x y zx y z 令 3x ， 则 0, 2，所以 (3, 0, 2)n 设平面 平面 成的锐二面角为 ，则 6 2 1 3c o s | |13| | | | 3 1 3A E n 即平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 2 131320. 解 ： （ ） 设椭圆 C 的方程为 22 1 ( 0 )xy 椭圆的左焦点为1( 2 0)F ， 224 点 ( 2)B 2, 在椭圆 C 上， 22421 解得， 2 8a ， 2 4b 所以椭圆 C 的方程为 22184 （ ）依题意点 A 的坐标为 ( 2 2,0) ， 设00( , )P x y（ 不妨设0 0x ），则00( , )Q x y由 22184y 得00222 2 2 2,1 2 1 2所以直线 的方程为2 ( 2 2 )1 1 2直线 的方程为2 ( 2 2 )1 1 2所以222( 0 , )1 1 2，222( 0 , )1 1 2所以， 2222 2 ( 1 2 )2 2 2 2| | | |1 1 2 1 1 2 设 中点为 E ， 则点 E 的坐标为 2(0, )k， 则以 直径的圆的方程为 22222 2 ( 1 2 )() ， 即 22 22 4x y 令 0y 得 2x 或 2x ， 即以 直径的圆经过两定点1( 2,0)P ，2(2,0)解： （ ） ( ) 2 1 l nf x a x b x ， 所以 2 1 3 且 =1， 解得 =1a ， 0b （ ）由（ ）与题意知 ( ) ( ) l x g x x x xk 对任意的 2x 恒成立 ， 设 ) ( 2 )2x x xh x ， 则24 2 l n() ( 2 )x ， 令 ( ) 4 2 l n ( 2 )m x x x x ，则 22( ) 1 0 ， 所以函数 () (2, ) 上的增函数 . 因为 2( 8 ) 4 2 l n 8 4 2 l n 4 4 0 ， 3( 1 0 ) 6 2 l n 1 0 6 2 l n 6 6 0 所以函数 () (8,10) 上有唯一零点0x，即有004 2 l n 0 成立， 所以004 2 l n 0 故 当02 时， ( ) 0，即 ( ) 0 ； 当0， ( ) 0，即 ( ) 0 所以函数 (), )0( , )x 上单调递增 所以 000 0 0 0m i n 0004( 1 )( ) ( )2 1 2x x xh x h 所以02因为0 (8,10)x ，所以0 (4,5)2x ， 又因 所以 k 最大 值 为 4 22. 解：（ ）因为 (4 2, )4A ，且 ，所以 4 2 c o s ( )44 a， 即 42a 所以 直线 l 的极坐标方程为 c o s ( ) 4 24所以 c o s c o s s i n s i n 4 244 即 直线 l 的直角坐标方程为 8 设 曲线 C 上的点到直线 l 距离为 d ，则 | 2 c o s 3 s i n 8 | | 7 s i n ( ) 8 |22d 所以 曲线 C 上的点到直线 l 距 离的最小值为 | 7 8 | 8 7 8 2 1 4222 （ ）设1x y m ， 由于1 ， 所以 2m ， 所以1 故1 （ t 为参数 ）， 曲线 C 的 普通 方程为 22143所以 22223 ( 1 ) 4 ( 1 ) 1 2 ， 即有 27 2 2 1 0 0 所以1 2 1 22 2 1 0+,77t t t t 所以 21 2 1 2 1 2| | | | ( + ) 4M N t t t t t t 8 4 0 1 2