2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（文科）含答案

2017 年湖北省新联考高考数学四模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1已知全集 U=x|x=2n， n Z，集合 A= 2， 0， 2， 4， B= 2， 0， 4， 6，8，则 B=（ ） A 2， 8 B 6， 8 C 2， 4， 6 D 2， 4， 8 2设复数 z 满足 z（ 1+i） =i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 1 D 3在 1， 2内任取一 个数 a，则点（ 1， a）位于 x 轴下方的概率为（ ） A B C D 4若 x 23 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ） A 3， 3 B（ ， 3 3， + ） C（ ， 1 1， + ）D 1， 1 5已知圆 O： x2+ 与直线 y=x 交于点 A， B，直线 y= x+m（ m 0）与圆 ，则 面积为（ ） A +1 B + C +2 D 6 =（ ） A B C D 1 7已知定 义 x表示不超过的最大整数，如 2=2， 2， 2=2，执行如图所示的程序框图，则输出 S=（ ） A 1991 B 2000 C 2007 D 2008 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 9如图，四边形 矩形，平面 平面 D=， ，O， M 分别为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 10过抛物 线 y 在第一象限内的一点 P 作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 11已知函数 f（ x） =68（ 0）， y=f（ x） +1 的部分图象如图所示，且 f（ =4，则 f（ ） =（ ） A 6 B 4 C 4 D 6 12设定义在 R 上的可导函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若 f（ 3） =1，且 3f（ x）+ x） 1，则不等式（ x 2017） 3f（ x 2017） 27 0 的解 集为（ ） A B（ 0， 2014） C（ 0， 2020） D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知向量 | |=2， | |=1， ， 的夹角为 60，如果 （ + ），则 = 14已知点（ x， y）满足约束条件 （其中 a 为正实数），则 z=2x y 的最大值为 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ a） =f（ b）（ 0 a b），则 当取得最小值时， f（ a+b） = 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 b=2，且 面积为 ，则 a+c= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17已知各项均为正数的等比数列 足： 等差数列 （ 1）若 ，求 前 n 项和 2）若 bn=，且数列 前 n 项和 Tn=n，求 18某校高三子啊一次模拟考试后，为了解数学成绩是否与班级有关，对甲乙两个班数学成绩（满分 150 分）进行分析，按照不小于 120 分为优秀， 120 分以下为非优秀的标准统计成绩 ，已知从全班 100 人中随机抽取 1 人数学成绩优秀的概率为 ，调查结果如表所示 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 100 （ 1）请完成上面的列联表； （ 2）根据列联表的数据，问是否有 95%的把握认为 “数学成绩与班级有关系 ”； （ 3）若按下面的方法从甲班数学成绩优秀的学生中抽取 1 人：把甲班数学成绩优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数和被记为抽取人的编号，求抽到的编号为 6 或 10 的概率 附： P（ k） k 9如图，四边形 正方形， 平面 平面 B， 1） （ 1）求证： 2）若该几何体的体积被平面 成 V 多面体 ： 4 的两部分，求 的值 20在平面直角坐标系 ，过点 M（ 0， 1）的椭圆 ： =1（ a b 0）的离心率为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）已知直线 l 不过点 M，与椭圆 相交于 P， Q 两点，若 外接圆是以 直径，求证：直线 l 过定点，并求出该定点 的坐标 21已知函数 f（ x） =a+（ 1） a， b R） （ 1）如曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=x，求 a， b 的值； （ 2）若 a 1， b=2，关于 x 的不等式 f（ x） 整数解有且只有一个，求 选修 4数方程与极坐标系 22在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为2 24=0 （ 1）若直线 l 与曲线 C 没有公共点，求 m 的取值范围； （ 2）若 m=0，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 2a|+|x+ | （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ 2）若不等式 f（ x） m+2 对任意实数 x 及 a 恒成立，求实数 m 的取值范围 2017 年湖北省新联考高考数学四模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1已知全集 U=x|x=2n， n Z，集合 A= 2， 0， 2， 4， B= 2， 0， 4， 6，8，则 B=（ ） A 2， 8 B 6， 8 C 2， 4， 6 D 2， 4， 8 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 利用集合的基本运算即可得到结论 【解答】 解：全集 U=x|x=2n， n Z，集合 A= 2， 0， 2， 4， B= 2， 0， 4，6， 8，则（ B=6， 8， 故选： B 2设复数 z 满足 z（ 1+i） =i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 1 D 【考点】 复数求模 【分析】 先求出复数 z，然后利用求 模公式可得答案 【解答】 解：由 z（ 1+i） =i 得 z= = = + i， 则则 |z|= = ， 故选： B 3在 1， 2内任取一个数 a，则点（ 1， a）位于 x 轴下方的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解：在 1， 2内任取一个数 a，则点（ 1， a）位于 x 轴下方的概率为= ， 故选： C 4若 x 23 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ） A 3， 3 B（ ， 3 3， + ） C（ ， 1 1， + ）D 1， 1 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可 【解答】 解： x 23 是 1 x 4 的必要不充分条件， （ 1， 4） （ 23， + ）， 23 1， 解得 1 m 1， 故选： D 5已知圆 O： x2+ 与直线 y=x 交于点 A， B，直线 y= x+m（ m 0）与圆 ，则 面积为（ ） A +1 B + C +2 D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由点到直线的距离求得 m 的值，将直线代入圆的方程，求得切点 P，利用点到直线的距离公式求得 P 到直线 y=x 的距离 d，则 面积 S= 丨 d 【解答】 解：由直线 y=x 过圆心 O，则丨 =4，由 y= x+m 与圆相切，则=2， 则 m= 4，由 m 0，则 m=4， 由 ，解得： ，则 P（ ， 1）， 则点 P 到直线 y=x 的距离 d= = ， 面积 S= 丨 d= + ， 故选 B 6 =（ ） A B C D 1 【考点】 三 角函数的化简求值 【分析】 利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式对函数式化简即可得答案 【解答】 解： = = = 故选： A 7已知定义 x表示不超过的最大整数，如 2=2， 2， 2=2，执行如图所示的程序框图，则输出 S=（ ） A 1991 B 2000 C 2007 D 2008 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的 i， i=10 时，退出循环，输出的 S 的值为 2000 【解答】 解： i=1， s=2017， i=2； s=2016， i=3； s=2016， i=3； s=2016， i=4， s=2016， i=5； s=2015， i=6； s=2010， i=7； s=2009， i=8； s=2008， i=9； s=2007， i=10； s=2000，跳出循环，输出 s=2000， 故选： B 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的 底面半径为 1，高为 4，半球的半径为 1，即可求出几何体的体积 【解答】 解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体， 其中半圆柱的底面半径为 1，高为 4，半球的半径为 1， 几何体的体积为 = ， 故选 C 9如图，四边形 矩形，平面 平面 D=， ，O， M 分别为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 连接 其补角为异面直线 ，由余弦定理可得 【解答】 解：连接 其补角为异面直线 D 所成角 由条件 平面 ， ， ， ， ，由余弦定理可得 = ， 故选： C 10过抛物线 y 在第一象限内的一点 P 作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【 分析】 确定点（ a， 的切线方程，进而可求切线与两坐标轴围成的三角形的面积，即可求得 a 的值，利用抛物线的定义，可得结论 【解答】 解：抛物线 y，即 y= 导数可得 y= x，所以在点（ a， 的切线方程为： y a（ x a）， 令 x=0，得 y= y=0，得 x= a 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S= ， a=2， P（ 2， 1）， |1+1=2 故选 B 11已知函数 f（ x） =68（ 0）， y=f（ x） +1 的部分图象如图所示，且 f（ =4，则 f（ ） =（ ） A 6 B 4 C 4 D 6 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =52x） 1，其中 ， ，由函数图象可求周期 T，由 f（ =4，利用正弦函数的对称性可求 （ ） ） = 1，利用正弦函数的周期性进而可求 f（ ）的值 【解答】 解： f（ x） =68 =341 =52x ） 1，其中 ， ， 设函数 f（ x）的最小正周期为 T，则 T=（ + ） = ，可得： T=2， f（ =4，可得： 2） =1，即 f（ x）关于 x=称，而 x= 与x=距离为半个周期， （ ） ） = 1， f（ ） =5（ ） 1=5 （ 1） 1= 6 故选： D 12设定义在 R 上的可导函数 f（ x） 的导函数为 f（ x），若 f（ 3） =1，且 3f（ x）+ x） 1，则不等式（ x 2017） 3f（ x 2017） 27 0 的解集为（ ） A B（ 0， 2014） C（ 0， 2020） D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 令 g（ x） =x），判断出 g（ x）在（ 0， + ）递增，原不等式转化为g（ x 2017） g（ 3），解出即可 【解答】 解： 3f（ x） + x） 1， 3x） + x） 0， 故 x） 0， 故 g（ x） =x）在（ 0， + ）递增， （ x 2017） 3f（ x 2017） 27f（ 3） 0， （ x 2017） 3f（ x 2017） 33f（ 3）， 即 g（ x 2017） g（ 3），故 x 2017 3，解得： x 2020， 故原不等式的解集是， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知向量 | |=2， | |=1， ， 的夹角为 60，如果 （ + ），则 = 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量的垂直的条件以及数量积运算即可求出 【解答】 解：向 量 | |=2， | |=1， ， 的夹角为 60， （ + ）， （ + ） =0， 2+ =0， 即 4+ 2 1 =0， 解得 = 4， 故答案为： 4 14已知点（ x， y）满足约束条件 （其中 a 为正实数），则 z=2x y 的最大值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可 【解答】 解：点（ x， y）满足约束条件 （其中 a 为正实数），可行域如图：目标函数的 z=2x y 在 B 处取得最大值，由 可得 B（ ， ） 所以 z 的最大值为 ： 2 =10，解得 a=4 故答案为： 4 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ a） =f（ b）（ 0 a b），则 当取得最小值时， f（ a+b） = 1 2 【考点】 基本不等式 【分析】 根据函数的性质可得 ，再根据基本不等式得到 当取得最小值，a， b 的值，再代值计算即可 【解答】 解：由 f（ a） =f（ b）可得 ，即 ， 则 = =4a+b 2 =4，当且仅当 b=4a 时， 取得最小值， 由 ，可得 a= ， b=2， f（ a+b） =f（ ） =1 2 故答案为： 1 2 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 b=2，且 面积为 ，则 a+c= 4 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得合 0，解得 ，利用同角三角函数基本关系式可求 用三角形面积公式可求 值，进而利用余弦定理可求 a+c 的值 【解答】 解： 由正弦定理有： ， 由已知 B+C） = 由于 0，解得： ， B 是 角， B 0， ，可得： = ， 面积为 = ， 解得： ， 由余弦定理 b2=a2+2得： 4=a2+得： a2+3=7， a+c= = = =4 故答案为： 4 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过 程 . 17已知各项均为正数的等比数列 足： 等差数列 （ 1）若 ，求 前 n 项和 2）若 bn=，且数列 前 n 项和 Tn=n，求 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）只需要根据： 等差数列建立方程求出公比，再代入等比数列的求和公式即可， （ 2）先求出数列 通项公式，再利用等差数列的求和公式求出 用已知条件建立方程即可求出 【解答】 解：（ 1）设 公比为 q，由条件可知 q 0， 由 等差数列， 2 a3+ 2=q， 解得 q=2 或 q= 1（舍去）， 又 ， 前 n 项和 =2n 1； （ 2）由（ 1）可知， an=n 1， 则 bn=2n+ +n ， 18某校高三子啊一次模拟考试后，为了解数学成绩是否与班级有关，对甲乙两个班数学成绩（满分 150 分）进行分析，按照不小于 120 分为优秀， 120 分以下为非优秀的标准统计成 绩，已知从全班 100 人中随机抽取 1 人数学成绩优秀的概率为 ，调查结果如表所示 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 100 （ 1）请完成上面的列联表； （ 2）根据列联表的数据，问是否有 95%的把握认为 “数学成绩与班级有关系 ”； （ 3）若按下面的方法从甲班数学成绩优秀的学生中抽取 1 人：把甲班数学成绩优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数和被记为抽取人的编号，求抽到的编号为 6 或 10 的概率 附： P（ k） k 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）根据题中所给条件，计算出两班数学成绩优秀的总人数为 30，从而确定乙班数学成绩优秀的人数，进而得到甲班数学成绩非优秀的人数； （ 2）计算观测值 比临界值即可判断其关联性； （ 3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值 【解答】 解：（ 1）数学考试优秀人数有 100 =30 人，所以乙班优秀人数为30 10=20 人； 补充完整列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 40 50 乙班 20 30 50 合计 30 70 100 （ 2）计算观测值 P（ = 1 5%， 有 95%的把握认为 “成绩与班级有关系 ”； （ 3）记事件 “抽到 6 号或 10 号 ”为事件 A，则所有的基本事件是 （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4）， ，（ 6， 6）共 36 个， 其中事件 A 包含的基本事件是 （ 1， 5），（ 2， 4），（ 3， 3），（ 4， 2），（ 5， 1），（ 4， 6），（ 5， 5），（ 6， 4）共 8个； 故所求的概率为 P（ A） = = 19如图，四边形 正方形 ， 平面 平面 B， 1） （ 1）求证： 2）若该几何体的体积被平面 成 V 多面体 ： 4 的两部分，求 的值 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）证明： 平面 可证明 （ 2）分别求出体积，利用 V 多面体 ： 4，求 的值 【解答】 （ 1）证明： 正方形， 平面 ， 平面 面 2）解：设 AB=a，则 E=a， = ， V 多面体 B P = ， V 多面体 ： 4， =2 20在平面直角坐标系 ，过点 M（ 0， 1）的椭圆 ： =1（ a b 0）的离心率为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）已知直线 l 不过点 M，与椭圆 相交于 P， Q 两点，若 外接圆是以 直径，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 【考点】 直线 与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由过点 M（ 0， 1）的椭圆 ： =1（ a b 0）的离心率为 ，得到 a， b， c 的方程组，解方程组求出 a， b，由此能求出椭圆方程 （ 2） 外接圆以 直径，可得到 直线 程，代入椭圆方程，求出点 P 的坐标，同理求出 Q 点坐标，从而求出直线 方程，即可求出直线 定点的坐标 【解答】 解：（ 1） 过点 M（ 0， 1）的椭圆 ： =1（ a b 0）的离心率为 ， ，解得 ， b=1， 椭圆 的方程为 （ 2）证明： 接圆是以 直径，故 直线 坐标轴不垂直， 由 M（ 0， 1）可设直线 方程为 y=，直线 方程为 y= （ k 0）， 将 y= 代入椭圆 的方程 ， 整理，得；（ 1+3， 解得 x=0，或 x= ， P（ ， +1），即 P（ ， ）， 同理，求得 Q（ ， ）， 直线 l 的方程为 y= （ x ） + ， 化简，得直线 l 的方程为 y= ， 直线 l 过定点（ 0， ） 21已知函数 f（ x） =a+（ 1） a， b R） （ 1）如曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=x，求 a， b 的值； （ 2）若 a 1， b=2，关于 x 的不等式 f（ x） 整数解有且只有一个，求 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）由曲线 y=f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=x，得 ，求出 a， b 的值即可； （ 2）构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出 a 的范围 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域是 R， f（ x） = 1） bx+b1） 曲线 y=f（ x）在点 （ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=x， ， ，解得： ； （ 2）当 b=2 时， f（ x） =a+（ 2x 1） a 1）， 关于 x 的不等式 f（ x） 整数解有且只有一个， 等价于关于 x 的不等式 a+（ 2x 1） 0 的整数解有且只有 1 个， 构造函数 F（ x） =a+（ 2x 1） x R， 故 F（ x） =2x+1） a， 1x 0 时， 1， 2x+1 1，故 2x+1） 1， 又 a 1，故 F（ x） 0，故 F（ x）在（ 0， + ）递增， F（ 0） = 1+a 0， F（ 1） =e 0， 在 0， + ）存在唯一整数 得 F（ 0，即 f（ 2当 x 0 时，为满足题意，函数 F（ x）在（ ， 0）上不存在整数使得 F（ x） 0， 即 F（ x）在（ ， 1上不存在整数使得 F（ x） 0， x 1， 2x+1） 0， 当 0 a 1 时，函数 F（ x） 0， F（ x）在（ ， 1递减， a 1； 当 a 0 时， F（ 1） = +2a 0，不合题意， 综上， a 的范围是 ， 1） 选修 4数方程与极坐标系 22在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为2 24=0 （ 1）若直线 l 与曲线 C 没有公共点，求 m 的取值范围； （ 2）若 m=0，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 【考点】