安徽省池州市2017届高三4月联考数学试题（理）含答案

池州市普通高中 2016理科数学 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 | 3 1 6 , xA x x N ， 2 | 5 4 0 B x x x ，则 () ） A 1 B 3 C 4 D 7 2设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数，若 2( )z z z i，则 z （ ） A 1 i B 1 i C 1i D 1i 3若 61( 2 )展开式的常数项为（ ） A 120 B 160 C 200 D 240 4若 101()2a， 121()5b ，150c ，则 , ） A B a c b C c b a D 5如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A 93 12 2 B 97 12 2 C 105 12 2 D 109 12 2 6“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前 300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“ 表示 a 除以 ，若输入的 ,75,125，则输出 的 a （ ） A 0 B 25 C 50 D 75 7将函数 2( ) 2 3 c o s 2 s i n c o s 3f x x x x 的图象向左平移 ( 0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则 t 的最小值为（ ） A 23B3C 2D68某学校有 2500名学生，其中高一 1000人，高二 900人，高三 600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100人，从高一和高二抽取样本数分别为 ,直线 80ax 与以 (1, 1)A 为圆心 的圆交于 ,120，则圆 C 的方程为（ ） A 22( 1 ) ( 1 ) 1 B 22( 1 ) ( 1 ) 2 C 22 18( 1 ) ( 1 )17 D 2212( 1 ) ( 1 )15 9已知 ,042 3 0 ，目标函数 23z x y的最大值是 2，则实数 a（ ） A 12B 1 C 32D 4 10已知正三棱锥 A 的外接球半径 32R， ,的点，且满足5B， Q ，则该正三棱锥的高为（ ） A 33B 233C 3 D 23 11已知抛物线 21 : 8 ( 0 )C y a x a，直线 l 倾斜角是 45 且过抛物线1线 l 被抛物线16，双曲线2C： 221的一个焦点在抛物线1直线 l 与 y 轴的交点 P 到双曲线2 ） A 2 B 3 C 2 D 1 12已知函数 () 上的可导函数，其导函数为 ()命题 :P “12,x x R，且121212( ) ( )| | 2 0 1 7f x f ”是命题 Q ：“ ， | ( ) | 2 0 1 7”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也必要条件 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知向量 ( 1, ) ， (0,1)b ，若向量 a 与 b 的夹角为3，则实数 m 的值为 14已知 1s )33 (0 )2，则 )6 15在区间 0,1 上随机地取两 个数 ,事件“ 5”发生的概率为 16已知在平面四边形 ， 2， 2， D ， D ，则四边形 积的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 已知各项均不相等的等差数列 a，且1 2 5,a a （ 1）求 （ 2）若*11( 1 ) ( )n n ，求数列 前 n 项和 18 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定 80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为 100分） （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据已知条件完成下面 22 列联表，并判断能否有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关 ？ 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 （参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ，其中 n a b c d ） 2 0()P K k 0 40 0 25 0 15 0 10 0 05 0 025 0780 1 323 2 072 2 706 3 841 5 024 （ 3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4人进行约谈，记这 4人中晋级失败的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望 () 19 如图 1，四边形 ， D ， 2 2 2 2C E A E B E D E ，将四边形着 叠，得到图 2 所示的三棱锥 A ，其中 D （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若 F 为 点，求二面角 C 的余弦值 20 设点 M 到坐标原点的距离和它到直线 : ( 0 )l x m m 的距离之比是一个常数 22 （ 1）求点 M 的轨迹； （ 2）若 1m 时得到的曲线是 C ，将曲线 C 向左平移一个单位长度后得到曲线 E ，过点( 2,0)P 的直线 1l 与曲线 E 交于不同的两点 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，过 ( 1, 0 )F 的直线 , 于点 , D ， Q ， , R ，求 的取值范围 21 设函数 ( ) l n ( 1 ) ( 2 )f x x x a x （ 1）若 2017a ，求曲线 ()x 处的切线方程； （ 2）若当 2x 时， ( ) 0，求 的取值范围 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 选修 4标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程是222 422 （ t 是参数），圆 C 的极坐标方程为4 c o s ( )4 （ 1）求圆心 C 的直角坐标； （ 2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值 23 选修 4等式选讲 已知函数 ( ) | 2 |f x x a a （ 1）若不等式 ( ) 6的解集为 | 2 3 ，求实数 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，若存在实数 n 使 ( ) ( )f n m f n 成立，求实数 m 的取值范围 试卷答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C B D C B D C A A D B 解析】 因为 3 1 6 ,xA x x N 0,1,2 ， 2 5 4 0B x x x 14 ， 故 14B x x x R 或，故 0 ,1I ，故 的真子集个数为 3，故选B. 解析】 设 z a ， ( , )a b R ，则 z a ，又 2z z z i ， 22 2 2 1a b a b i ， 1, 1, 故 1 . 【解析】 61( 2 )，展开式中的第 1 61 6 61( ) ( 2 ) 2r r r r r x C ， 令 2 6 0r可得 3，故展开式中的常数项为 160 解析 】1 0 0110 ( ) ( ) 122 ， 即 01a， 同理 1b ， 而 0c ， 因此 5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求 几何体的表面积为3 3 4 3 2 4 4 6 1 0 5 1 2 2S ，故选 C. 6. B【 解析】开始 a =675, b =125;第一次循环： c =50, a =125, b =75;第二次循环： c =50, a =75, b =50;第三次循环： c =25, a =50, b =25; 第四次循环： c =0, a =25, b =出 a =25. 7. D 【 解析 】 ( ) 3 c o s 2 s i n 2 2 c o s ( 2 )6f x x x x 图象向左平移 ( 0)个单位得到( ) 2 c o s ( 2 2 )6f x x t 为奇函数，所以 2t 最小值 3 , 6t . 析】由分层抽样方法知抽样比例为 25:1，故从高一、高三抽取 40,24，故 a=40,b=24, 直线 80ax 为 4 0 2 4 8 0 ，化简为 5 3 1 0 ，圆心 (1, 1)A 到直线 l 的距离为225 3 1 3 3 43453d， 所 求 的 半 径 为 2 3 3434R ， 所 求 的 圆 的 方 程 为2218( 1 ) ( 1 ) 17 . 解析】 不等式组 202 3 0 表示的平面区域如图中直线 2 3 0 与直线 20 所夹的点 A 的左边部分，由于目标函数 23z x y的最大值是 2，作出直线 2 3 2见图中虚线，可知点 C 是直线 20 与 2 3 2的交点，从而知点 C 是不等式组 2042 3 0表示的平面区域的最下方的一个点，直线 4ax y 过定点 (0,4)B 又过点 (4,2)C ，所以得12a . 解析】易知正三棱锥 A 中对棱互相垂直，则有 D ，因为5B，所以 /C ，而 Q ，所以 C ，所以 平面 又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥 A 的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥 A 补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故 23R ，由正方体的性质可知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，所以高为 33. 11 D 【解析】 由题意得直线 l 的 方程是 2y x a ，由228y x ay 得 2212 4 0x ax a ，又由直线 l 被抛物线16，得 812 162，得 1a ，从而知抛物线1x ，由题意可以得双曲线的一个焦点是 ( 2,0) ，即有 2c ， 2 2 2 4 1 3b c a ， 双曲线2 0, 2)P ，从而有 | 0 2 |131d ，故选 D. 解析】 因为12,x x R，且12所以不妨设12则由1212( ) ( )| | 2 0 1 7f x f 可得1 2 2 1| ( ) ( ) | 2 0 1 7 2 0 1 7f x f x x x ，于是 1 2 2 11 2 1 2( ) ( ) 2 0 1 7 2 0 1 7( ) ( ) 2 0 1 7 2 0 1 7f x f x x xf x f x x x ， 即 1 1 2 21 1 2 2( ) 2 0 1 7 ( ) 2 0 1 7( ) 2 0 1 7 ( ) 2 0 1 7f x x f x xf x x f x x ) ( ) 2 0 1g x f x x，则由单调性的定义可知 () R 上单调递增，所以 ( ) ( ) 2 0 1 7 0g x f x 在 R 上恒成立， 即( ) 2 0 1 7 在 R 上恒成立，同理可证 ( ) 2017 在 R 上恒成立，所以 P 等价于“ | ( ) | 2 0 1 7 ”，显然 Q 是 P 的真子集，所以 P 推不出 Q ，而 Q 可以推出 P ，所以 P 是 Q 的必要不充分条件 . 13. 33【解析】 由co s , | | | 21co s 321 ，从而解得 33m 或 33m （舍去） . 14. 223【解析】 因为 1c o s ( ) c o s ( ) s i n ( )6 2 3 3 3 ，且 为锐角，所以 21 2 2s i n ( ) 1 ( )6 3 3 . 【解析】在区间 0,上随机地取两个数x、 y 构成的区 域的面积为 1，事件“5 发生构成的区域的面积为 1 5 6 100 11|66x d x x，所以所求概率为 1616. 3 10 【解析】设 , ( 0 , ) ，则在 中，由余弦定理可得2 2 2 2 c o s 6 4 2 c o A B B C A B B C ，从而四边形 面积1 ( s i n )2A B C A C S A B B C A C C D ，化简 得 1 ( 2 2 s i n 6 4 2 c o s )2S 3 2 ( s i n 2 c o s ) 3 1 0 s i n ( ) ，其中 ，当 ) 1时， S 取得最大值 3 10 . 17.【解析】 （ ） 设等差 数列 d ，由题意得 22 1 5a 即 2(1 ) 1 4 ， 解得 2d 或 0d （舍），所以 21. （ ） 由 21，可得 114 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1n n nb a a n n n n ， 当 n 为偶数 时， 1 1 1 1 1 1 1 1 2( 1 ) ( ) ( ) ( ) 13 3 5 5 7 2 1 2 1 2 1 2 1n nS n n n n . 当 n 为奇数时， 1n 为偶数，于是 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( ) 13 3 5 5 7 2 1 2 1 2 1 2 1n nS n n n n . 18.【解析】 ( )由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知 ( 2 0 . 0 2 0 0 . 0 3 0 0 . 0 4 0 ) 1 0 1a ，故 . ( )由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 0 0 0 ， 故晋级成功的人数为 1 0 0 0 2 5（人）， 故填表如下 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设 “ 晋级成功 ” 与性别无关， 根据上表数据代入公式可得 22 1 0 0 ( 1 6 4 1 3 4 9 ) 2 . 6 1 3 2 . 0 7 22 5 7 5 5 0 5 0K ，所以有超过 85%的把握认为 “ 晋级成功 ” 与性别有关 （ 频率分布直方图知晋级失败的频率为 1 ，将频率视 为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1人进行约谈，这人晋级失败的概率为 故 X 可视为服从二项分布， 即 3(4, )4 44 31( ) ( ) ( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 )44k k k C k ， 故 0 0 44 3 1 1( 0 ) ( ) ( )4 4 2 5 6P X C ， 1 1 34 3 1 3( 1 ) ( ) ( )4 4 6 4P X C ， 2224 3 1 5 4( 2 ) ( ) ( )4 4 2 5 6P X C ， 3 3 14 3 1 1 0 8( 3 ) ( ) ( )4 4 2 5 6P X C ， 4 4 04 3 1 8 1( 4 ) ( ) ( )4 4 2 5 6P X C ， 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 ()P X k1256 364 54256 108256 81256 3( ) 4 34 或（ 1 3 5 4 1 0 8 8 1( ) 0 1 2 3 4 32 5 6 6 4 2 5 6 2 5 6 2 5 6 . 19.【解析】 （ ）因为 D 且 E ， 可得 为等腰直角三角形， 则 D ，又 D ，且 D 、 平面 D D ， 故 平面 又 平面 所以 平面 平面 （ ）以 E 为原点，以 方向为 x 轴 正方向 ， 方向为 y 轴 正方向 ，建立如图所示的空间直角坐标系 . 过 A 点作平面 垂线，垂足为 G ，根据对称性，显然 G 点在 x 轴上，设 AG h (0,0,0)E ， (2,0,0)C ， (0, 1,0)B ， (0,1,0)D ， 2( 1 , 0, )A h h ， 1(1, ,0)2F . 2( 1 , 1 , )B A h h ， ( 2 , 1, 0 ) ，由于 D ，所以22 1 1 0B A D C h ，解得 32h，则 A 点坐标为 13( , 0, )22A. 由于13( ,1, )22 ， 3(1, , 0)2，设平面 法向量 ( , , )u a b c ， 由 0u 及 0u 得130,223 0,2a b 令 9a ，由此可得 ( 9 , 6 , 3 )u . 由于 B ， C ，则 2 (1 , 2 , 3 ) 为平面 一个法向量， 则 ( 2 ) 9 1 2 3 1 5c o s , 251 2 0 82u D A ， 因为二面角 C 为锐角， 则二面角 C 的余弦值为 155. 20.【解析】 （ ） 过点 M 作 MH l ， H 为垂足， 设点 M 的坐标为 ( , )则 22| | , | | | |O M x y M H x m ， 又 2| | | |2O M M H，所以 22 2 |2x y x m ， 故点 M 的轨迹方程为2 2 211 022x y m x m . 可化为 22() 12x m ，显然点 M 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆 . （ ） 1m 时，得到的曲线 C 的方程是 22( 1) 12x y ， 故曲线 E 的方程是 22 12x y. 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y,33( , )D x y，则1 1 3 3( 1 , ) , ( 1, )A F x y F D x y ， 由 D ，得13，即13 . 当 x 轴不垂直时，直线 方程为11( 1)1，即111( 1)x y yx y ，代入曲线 21 1 12x y， 整理可得 221 1 1 1( 3 2 ) 2 ( 1 ) 0x y y x y y ， 则 2113132x ，即 113 32y ，于是132x . 当 x 轴垂直时， A 点的横坐标为1 1x， 1 ，显然132x 也成立 . 同理可得232x . 设直线1 2)y k x，联立22( 2)12y k xx y ， 消去 2 2 2( 2 1 ) 8 8 2 0k x k x k ， 由 0k 及 2 2 2 2( 8 ) 4 ( 2 1 ) ( 8 2 ) 0k k k ，解得2 10 2k. 又 212 2821k ， 则1 2 1 2 283 2 3 2 6 2 ( ) 1 4 ( 6 , 1 0 )21x x x x k . 故求 的取值范围是 (6,10) . 21.【解析】 （ ） 当 2017a 时， ( ) l n ( 1 ) 2 0 1 7 ( 2 )f x x x x ， 则 ( ) l n ( 1 ) 2 0 1 71xf x x x ，所以 ( 2 ) 2 2 0 1 7 2 0 1 5f ， 又 ( 2 ) 0 0 0f ，所以曲线 ()x 处的切线方程为 0 2 0 1 5 ( 2 ) .，即2 0 1 5 4 0 3 0 0 . （ ） 由 ( ) 0得 l n ( 1 ) ( 2 ) 0x x a x ，而 2x ， 所以 ( 2 )l n ( 1 ) 0 ，设函数 ( 2 )( ) l n ( 1 ) ( 2 )x x ， 于是问题 转化为 ( ) 0，对任意的 2x 恒成立 . 注意到 (2) 0g ，所以若 ( ) 0 ，则