陕西省西安市高新2017届高考一模考试数学试题（理）含答案

数学试题（理） 一、 选择题 ：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 . 1. 已知复数 z 满足 2z i i ， i 为虚数单位， 则 z （ ） A 12i B 12i D 12i 2 已知 ,则“ 01”是“指数函数 在 R 上 为减函数”的（ ） A. 充分不必 要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某程序框图如右 图所示，该程序运行后输出 S 的值是 （ ） A. 10 B 12 C. 100 D 102 ) s i n ( ) , ( 0 )f x M x 在区间 ,是增函数， 且 ( ) , ( )f a M f b M ，则函数 ( ) c o s ( )g x M x在 ,上（ ） A. 是增函数 M 5某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长 与圆的直径均为 2，则该几何体的体积为 ( ) A 3 34B 3 3832C 3 332D 3 3346已知点 P 在曲线 41xy e 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的范围是 ( ) A 0,4) B , )42C 3( , 24D 3 , )4 7抛物线 2 4的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ， AB l ，垂足为 B ，则四边形 面积等于 ( ) A 33 B 43 C 63 D 83 8 11 3 2 dx)值为 ( ) 正视图 侧视图 俯视图 （第 5题） 54D. 659 如图，三行三列的方阵有 9个数 ( 1 , 2 , 3 ; 1 , 2 , 3 )i j从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ( ) A 4C. 141D. 14131 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a10 已知定义在 R 上的函数 ()( ) ( )2f x f x， ( 2) 3f ，数列足 1 1a ，且 2a n，（其中 前 n 项和）。则 56( ) ( )f a f a （ ） A 3 B 2 C 3 D 2 11设 )0(25)(,12)(2 对于任意 1,01 x ，总存在 1,00 x，使得 )()(10 成立，则 a 的取值范围是 ( ) A. ),4 B 25,0(C. 4,25D ),25 12在 中，角 ,对边分别记为 , , ( 1)a b c b ，且o g l o g ( 4 4 )bb 的根，则 （ ） A是等腰三角形，但不是直角三角形 B是直角三角形，但不是等腰三角形 C是等腰直角三角形 D不是等腰三角形，也不是直角三角形 二、 填空题（ 本大题共 4个小题 ,每小题 5分 ,共 20分 ） 13 设集合 062 则满足 6,3,2,1 ,则 m 的取值范围是 14 已知 , 40y t ，记目标函数 2z x y的最大值为 7，则 t 15 正方体1 1 1 1A B C D A B C D的棱长为 1 ， 正方体内切球的直径， P 为正方体表面上的动点，则 N 的最大值为 _ 16. 已知函数 2( ) 2 l n f x x x a x, 当 1t 时，不等式 ( 2 1 ) 2 ( ) 3 f t f 则实数 a 的取值范围为 答题 （本大题共 6小题， 共 70分 明过程或演算步骤 .） 17（本题满分 12分） 在 中，角 ,对边分别是 ,知 .c o sc o sc o （ ）求 值； （ ）若 22 31 , c o s c o s 12 2 4 ，求边 c 的值 18. (本小题满分 12分 ) 如图，在三棱锥 中，直线 面 且 90又点 Q ， M ，N 分别是线段 中点，且点 K 是线段 的动点 . ( )证明：直线 /面 ( )若 =8，且二面角 的平面角的 余弦值为 39，试求 长度 . 19. (本小题满分 12分 ) 在一个盒子中，放有标号分别为 1 ， 2 ， 3 的三张卡片，现从这个盒子中， 有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ，记 2 （）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率； （）求随机变量 的分布列和数学期望 20.(本小题 满分 12分 ) 如图，曲线 C ： 22 1 ( 0 , 0 )xy 与正方形 L ： 4| 边界相切 . ( )求 的值； ( )设直线 l ： 交曲线 C 于 A ， B ，交 L 于 C ， D ， 是否存在 这样的曲线 C ，使得 | | |等差数 列？若存在，求 出实数 b 的取值范围；若不存在，请说明理由。 21 (本小题满分 12分 )设函数 2( ) l n 2f x x x x （ ）求 () （ ）若存在区间 1 , , )2 ，使 (), 的值域是 ( 2 ) , ( 2 ) k a k b，求 k 的取值范围 . 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答 能做所选定的题目 按所做的第一个题目计分 22（本小题满分 10分）选修 4 1：几何证明选讲 如图， O 的直径， 是 O 上的点， 的平分线，过点 C 作F ，交 延长线于点 D 。 (1)求证： O 的切线。 (2)过 C 点作 B ，垂足为 M ，求证： A M M B D F D A 。 23（本小题满分 10分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知直线 s in:c o sx a b t（ t 为参数） （ 1）当3时，求直线 l 的斜率； （ 2）若 ( , )P a b 是圆 O ： 224内部一点， l 与圆 O 交于 两点，且 | |, | |, | |P 成等比数列，求动点 P 的轨迹方程 24（本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 设不等式112 , 且 ,. () 试比较1 () 设中的最大数 , 且 2求 数学（理） 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A B B C A D C D D C C B 二、填空题 13、 5m 或 7m 或 )62,62(m 14、 15、 1216、 （ - ， 2 三、解答题 17、 （本题满分 12分） 解： （）由及正弦定理得 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o C B B C 即 2 s i n c o s s i B C 又 , 所以有 ,s 即 .s 而 0A ，所以 A（）由21 A ，得3A 因此 23B C A 由条件得 1 c o s 1 c o s 312 2 4 ， 即 ,23co s 2332c 得 B 由 ,3A 知 6 36 326 B，或 62中， ，解 ;3322中， ,13c解得 33c或 33c18、 解： ( )连结 为点 Q ， M ， N 分别是线段 中点 所以 而 面 面 因为 ,所以平面 面 而 平面 以 面 ( )以 x轴 则 A（ 0,8,0）， M（ 0,4,0）， N（ 4,0,0）， P(0,8,8)， Q(0,4,4) ， 设 K（ a,b,0） ,则 a+b=4, (0,)， )0,4,( 记 ( , , )n x y z A Q K 为 平 面 的 一 个 法 向 量，则(00 取 则 4 ，则 ),4( ， 又平面 0, 0,1)m ， 设二面角 的平面角为 则|=9 32)4(| | 22 aa 得 1a ， 所以所以 长度为 2 。 19、 解： （） x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ， 12 x ， 2 3 ，且当 3,1 1,3 ， 3 因此，随机变量 的最大值为 3 有放回抽两张卡片的所有情况有 933 种，92)3( P 答：随机变量 的最大值为 3 ，事件“ 取得最大值”的概率为92 （） 的 所有取值为 3,2,1,0 0 时，只有 2,2 一种情况， 1 时，有 1,1 1,2 3,2 3,3 种情况， 2 时，有 2,1 2,3 种情况 91)0( P，94)1( P，92)2( P 则随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P 91 94 92 92 因此，数学期望914923922941910 E 20、 解： ( )由题 2214，得 2( ) 8 1 6 0n m x m x m m n ， 有 = 26 4 4 ( ) ( 1 6 ) 0m m n m m n ，化简 的 4 ( ) 6 4 0m n n m n 又 0, 0，所以 0 从而有 16 ； ( )由 2 A B C A B D， 3 4 2得 ，即 423 221x b ， 22( ) 2 0n m x b m x m b m n 得 由 2 2 24 4 4 0n m b n m m n 可得 2 16b m n 且12 2，212m b m 所以 22 4 ( 1 6 ) 4212| | 1 6 3m n k a 可得 2 32(1 6 )3b m n， 从而23 2 1 83216 所以 2 1289b ， 即有 8 2 8 233b ，符合2 16b m n ， 故当实数 b 的取值范围是 8 2 8 233b 时，存在直线 l 和曲线 C ，使得| | |等差数列。 21、 解：令 ( ) ( ) 2 l n 1 ( 0 )g x f x x x x ，则10,211( ) 2 0 ,210,2xg x ，所以 ()1(0, )2 单调递减，在 1( , )2 单调递增，则 ()最小值为 1( ) 02g 。所以1( ) ( ) ( ) 02f x g x g ，所以 ()0, ) 另解： l n 1, 0 , ( ) 2 l n 1 ( 1 ) l n 0x x x f x x x x x x x ， 所以 ()0, ) （ ）由（ ）得 ()间 1 , , )2递增， () , 的值域是 ( 2 ), ( 2 )k a k b 所以 1( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 ) , a k a f b k b a b 则 ( ) ( 2)f x k x 在 1 , )2 上至少有两个不同的正根， ()2x ，令 2( ) l n 2 1( ) ( )2 2 2f x x x xF x 求导，得 2 23 2 l n 4 1( ) ( )( 2 ) 2x x xF x ，令 2 1( ) 3 2 l n 4 ( )2G x x x x x 则 2 ( 2 1 ) ( 2 )( ) 2 3 0 x x 所以 () , )2 递增， 1( ) 0 , (1 ) 02. 当 1 ,1)2x时， ( ) 0 ( ) 0G x F x ，当 (1, )x 时， ( ) 0 ( ) 0G x F x 所以 () ,1)2上递减，在 (1, ) 上递增，结合图象可得： 1 9 2 l n 2( 1 ) ( ) ( 1 , 0F k F k 22. 解： (1)连 C D D D 圆 线 (2)分 B F M 又根据切割线定理有 F 直角三角形且 B =B B=A