北京市海淀区2017届高三期中考试（一模）数学理试题含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理科） 第 卷（共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 有一项是符合题目要求的 . | ( 1 ) 0A x x x ，集合 |0B x x，则 （ ） A |1 B |1 C |0 D |0 )z i a （ a ， ），则“ z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A 220 B 0 C 0a ， 0b D 0a ， 0b 出的 x 值为（ ） A 0 B 3 C 6 D 8 4.设 a ， ，若 ，则（ ） A 11 22 C lg D 0a ， 1 20b x ， 10c ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A B a c b C D c a b ：2222a t （ t 为参数）， ( 1,0)A ， (1,0)B ，若曲线 C 上存在点 P 满足 0P，则实数 a 的取值范围为（ ） A 22,22B 1,1 C 2, 2 D 2,2 、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A 12 B 40 C 60 D 80 如图检查项目： 项目：折叠状态下（如图 1），检查四条桌腿长相等； 项目：打开过程中（如图 2），检查 O M O N O M O N ； 项目：打开过程中（如图 2），检查 O K O L O K O L ； 项目：打开后（如图 3），检查 1 2 3 4 9 0 ； 项目：打开后（如图 3），检查 A B A B C D C D 在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A B C D 第 卷（共 110 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 5a a a，4 8a ，则公比 q ，前 n 项和 2,0)F ，2(2,0)F，满足12| | | | 2P F P F的动点 P 的轨迹方程为 中， a B A ；若 1则)B a ， b 满足 ( ) 0a a b ， 2 | | | |，则向量 a ， b 夹角的大小为 1 , 0 ,()c o s , 0 若关于 x 的方程 ( ) 0f x a在 (0, ) 内有唯一实根，则实数 a 的最小值是 u ， v ， x ， y 满足 221， 1 0 ,2 2 0 ,2, 则 z ux 的最大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步 骤 .） 函数 2( ) 2 c o s s i n 2 1f x x a x 的一个零点 （）求实数 a 的值； （）求 () 基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航 10 万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国 平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约 340 亿美元，公路投资约 59 亿美元，铁路投资约 38 亿美元，高架铁路投资约 16 亿美元，瓜达尔港投资约 美元，光纤通讯投资约为 美元 有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和表格记录了 2015 年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）： 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10月 11月 12月 天津 24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26 上海 32 27 33 31 30 31 32 33 30 32 30 30 （）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点； （）从表中 12 个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过 55 百万吨的概率； （）将（）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过 55 百万吨的概率，设 2 个月的月货物吞吐量超过 55 百万吨的个数，写出 X 的数学期望（不需要计算过程） ，由直三棱柱1 1 1 B C和四棱锥11D C构成的几何体中， 90 ，1， 1 2B， 1 5C D C D，平面 1平面 11 （）求证：1C； （）若 M 为1证： /面1 （）在线段 是否存在点 P ，使直线 平面1若存在，求值，若不存在，说明理由 ( ) 2 4 ( 1 ) l n ( 1 )f x x a x a x ，其中实数 3a （）判断 1x 是否为函数 ()说明理由； （）若 ( ) 0在区间 0,1 上恒成立，求 a 的取值范围 ： 2 2 12x y，与 x 轴不重合的直线 l 经过左焦点1F，且与椭圆 G 相交于 A ，B 两点，弦 中点为 M ，直线 椭圆 G 相交于 C ， D 两点 （）若直线 l 的斜率为 1，求直线 斜率； （）是否存在直线 l ，使得 2| | | | | |A M C M D M成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 n 个元素的正整数集 12, , , nA a a a （12 na a a ， 3n ）具有性质P ：对任意不大于 ()中 12() a a a ）的正整数 k ，存在数集 A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于 k （）写出1a，2 （）证明：“1a，2a，充要条件是“ ( 1)()2”； （）若 ( ) 2017，求当 n 取最小值时 海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 答案 一、选择题 1 6 二、填空题 21n 10. 22 1313 13. 12、解答题 ）由题意可知 ( ) 03f ，即 2 2( ) 2 c o s s i n 1 03 3 3 ， 即 213( ) 2 ( ) 1 03 2 2 ，解得 3a （）由（）可得2( ) 2 c o s 3 s i n 2 1f x x x c o s 2 3 s i n 2 2 52 s i n ( 2 ) 26x ， 函数 的递增区间为 2 , 222， 由 52 2 22 6 2k x k ， ， 得 236k x k ， ， 所以， () ,36， ）本次协议的投资重点为能源， 因为能源投资为 340 亿，占总投资 460 亿的 50% 以上，所占比重大 （）设事件 A ：从 12 个月中任选一个月，该月超过 55 百万吨 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56， 其中超过 55 百万吨的月份有 8 个， 所以， 82()1 2 3 （） X 的数学期望 8 17.（）证明：在直三棱柱1 1 1 B C中，1面 故1C， 由平面1面11平面1 1 A C C， 所以 平面1 又1面1 所以1C （）证明：在直三棱柱1 1 1 B C中，1面 所以1B，1C， 又 90 ， 所以，如图建立空间直角坐标系 A ， 依据已知条件可得 (0,0,0)A ， (0, 3, 0)C ，1(2, 3, 0)C， (0,0,1)B ，1(2,0,1)B，(1, 3, 2)D ， 所以1 (2, 0, 0)， (1, 3 ,1) ， 设平面1 , , )n x y z ， 由 1 0,0,n D 即 2 0 ,3 0 ,xx y z 令 1y ，则 3z ， 0x ，于是 (0 ,1, 3 )n ， 因为 M 为1以 3( , 3,1)2M，所以 3( , 3 ,1)2， 由 3( , 3 , 1 ) ( 0 , 1 , 3 ) 02A M n ，可得 AM n ， 所以 平面1， 即 /面1 （）解：由（）可知平面10 ,1, 3 )n 设 C ， 0,1 ， 则 ( 0 , 3 ,1 )P ， ( 1 , 3 3 , 1 ) 若直线 平面1则 2| | | 2 3 | 3| c o s , |2| | | | 2 4 4 5n D P ， 解得 5 0,14 ， 故不存在这样的点 ）由 2( ) 2 4 ( 1 ) l n ( 1 )f x x a x a x 可得函数 () 1, ) 4 ( 1 )( ) 2 2 1af x x a x 22 ( 1 ) ( 2 )1x a x ， 令 2( ) ( 1 ) ( 2 )g x x a x a ，经验证 (1) 0g ， 因为 3a ，所以 ( ) 0的判别式 2 2 2( 1 ) 4 ( 2 ) 6 9 ( 3 ) 0a a a a a ， 由二次函数性质可得， 1 是函数 ()异号零点， 所以 1 是 () 所以 1x 是函数 () （）已知 (0) 0f ， 因为 2 ( 1 ) ( 2 )( )1x x ， 又因为 3a ，所以 21a， 所以当 2a 时，在区间 0,1 上 ( ) 0，所以函数 ()减，所以有 ( ) 0恒成立； 当 23a时，在区间 0, 2a 上 ( ) 0，所以函数 () 所以 ( 2 ) ( 0 ) 0f a f ，所以不等式不能恒成立； 所以 2a 时，有 ( ) 0在区间 0,1 恒成立 ）由已知可知1( 1,0)F ，又直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 1， 设11( , )A x y，22( , )B x y， 由 221,1,2y 解 得 110,1,224 ,31 所以 点 21( , )33M ， 于是直线 斜率为1132 23 （）假设存在直线 l ，使得 2| | | | | |A M C M D M成立 当直线 l 的斜率不存在时， 中点 ( 1,0)M ， 所以 2|2， | | | | ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1C M D M ，矛盾； 故可设直线 l 的方程为 ( 1 ) ( 0 )y k x k ，联立椭圆 G 的方程， 得 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 ( 1 ) 0k x k x k ， 设11( , )A x y，22( , )B x y，则 212 2421k ， 212 22 ( 1)21k ， 于是 21 2 1 2222( 1 ) ( 1 )2 2 2 1 2 1y y x x ， 点 M 的坐标为 2222( , )2 1 2 1， 2 2 22 2 2 212 2 2 24 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 )| | ( 1 ) ( ) 1 ( ) 42 1 2 1 2 1k k k x x kk k k . 直线 方程为 12 ，联立椭圆 G 的方程，得 222421kx k ， 设00( , )C x y，则 22 2 2 20 0 0221 4 1| | ( 1 )4 2 1 x y ， 由题知，2 2 2| | 4 | | | | 4 ( | | | | ) ( | | | | ) 4 ( | | | | )A B C M D M C O O M C O O M C O O M ， 即 2 2 2 2 22 2 2 2 28 ( 1 ) 4 1 ( 4 1 )4 ( )( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 )k k k kk k k ， 化简，得 2 12k ，故 22k ， 所以直线 l 的方程为 2 ( 1)2， 2 ( 1)2 . ）1 1a，2 2a . （）先证必要性： 因为1 1a，2 2a ，又1a，2a，所以 ( 1)()2； 再证充分性： 因为12 na a a ，1a，2a，数数列，故有 1 1a，2 2a ，3 3a ，4 4a ， 所以12 ( 1 )( ) 1 2 2n a a a n ， 又 ( 1)()2，故 1m ， 2 ， n ），故1a，2a， （）先证明 12（ 1m ， 2 ， n ） 假设存在 12，且 p 为最小的正整数 依题意 3p ，则1 2 1pa a a 211 2 2 2 1 ，又因为12 na a a ， 故当 1( 2 1, )时， k 不能等于 集合 A 的任何一个子集所有元素的和 故假设不成立，即 12（ 1m ， 2 ， n ）成立 因此 1122 0 1 7 1 2 2 2 1a a ， 即 2 2018n ，所以 11n 因为 2017S ，则1 2 1 2017a a a ， 若 2 0 1 7 1 时，则当 ( 2 0 1 7 , )a a时，集合 A 中不可能存在若干不同元素的和为 k ， 故 2 0 1 7 1 ，即 1009. 此时可构造集合 1, 2 , 4 , 8 , 1 6 , 3 2 , 6 4 , 1 2 8 , 2 5 6 , 4 9 7 , 1 0 0 9A . 因为当 2, 2 1k 时， k 可以等于集合 1,2 中若干个元素的和； 故当 2 2 2 22 , 2 1 , 2 2 , 2 3k 时， k 可以等于集合 21,2,2 中若干不同元素的和； 故当 8 8 8 82 , 2 1 , 2 2 , , 2 2 5 5k 时， k 可以等于集合 81, 2, , 2 中若干不同元素的和； 故当 4 9