高中学生数学归纳法学习中常见错误及对策

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 高中学生数学归纳法学习中常见错 误及对策 中图分类号：G633.6 文献标识码： B 文章编号：1672-1578（2018）19- 0124-01 中国论文网 /1/view-13042135.htm 在高中数学的学习中，数学归纳 法是一种比较常用的数学方法，在解决 某些结论是自然数的函数命题时，运用 数学归纳法对问题加以证明能够起到事 半功倍的效果。但是在长期对学生进行 教学的过程中发现，很多学生在利用数 学归纳法解决数学问题时，经常会出现 一些比较常见的错误，对学生数学的学 习造成了一定的障碍，本文主要对学生 运用数学归纳法的常见错误进行了研究， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 并提出了一些解决策略。 1.高中生学习数学归纳法中的常 见错误 1.1 机械套用，不认真验算。 例 1：证明等式 2+4+6+2n=n2+n+1（nN+）是否成 立。 错误解法：（1）当 n=1 时，等 式两边都等于 2，此时等式成立。 （2）当 n=k 时， 2+4+6+2k=k2+k+1，等式两边同时 加上 2（k+1） 2+4+2k+2（k+1）= k2+k+1+2（k+1） 也就是 2+4+2（ k+1） =（k+1）2+ （ k+1）+1 所以当 n=k+1 时，原等式也成立。 由题目可知，当 n=1 时，原等式 实际上是不成立的，学生在解题时忽略 了第一步的重要作用，对数学归纳法进 行机械的套用，造成解题的错误。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 1.2 存在多余验证。 例 2：如果 nN+，证明 n2+5n 能够被 6 整除。 很多学生在对这道题进行第一步 的证明时，会对 n=1、n=2，n=3 的情况 分别进行验证，如当 n=1 时，12+51=6 能够被 6 整除，当 n=2 时，22+52=18 能够被 6 整除，当 n=3 时，32+53=24 能够被 6 整除。很多学生在初学数学归 纳法时都会存在多余验证的问题，实际 上是一种出力不讨好的现象。 1.3 自以为是，蒙混过关。 例 2：当 nN+，证明（3n+1） 7n-1 能够被 9 整除。 证明：（1）如果 n=1，47-1=27 能够被 9 整除。 （2）如果 n=k 时， （3k+1） 7n- 1 能够被 9 整除，那么3（k+1）+1 7k+1-1=3k+1+3 7k+1-1+3 7k+1 能够被 9 整除，所以当 n=k+1 时， （3n+1） 7n-1 也能够被 9 整除。 学生在第二步的证明中，令 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 p（n）=（3n+1） 7n-1，很难找到 p（k+1）与 p（k）之间的内在联系， 所以在解题时草草收场。 2.高中生运用数学归纳法常见错 误的解决方法 2.1 利用学生熟悉的内容，突破 概念中的重难点理解问题。 教师在对学生进行数学归纳法的 教学或者讲解时，可以以学生比较熟悉 的事例来导入课堂学习内容，让学生更 加深刻的了解数学归纳法的本质，更好 的掌握数学归纳法的概念和用法。比如 教师在对学生进行数学归纳法教学时可 以利用击鼓传花的游戏来导入课堂教学 内容，让班级的学生排好队围成一圈， 当学生听到鼓声时，就把花传到下一位 同学手中，鼓声停止，传花过程终止。 游戏过后，教师可以给学生提出问题， 为什么每位同学都能够在游戏中拿到花 呢？原因就在于传花的规则，在第一位 同学拿到花时，听到鼓声就要把花传到 下一位同学手中，只要鼓声不停，就能 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 够保证花的无限传递，这样就能够保证 每位同学都能够拿到花。我们可以假设 每位同学都能够拿到花的命题是 p（n） ， 要想使 p（n）真正实现首先要保证第一 位同学能够拿到花，也就是保证 p（1） 时，命题为真命题，根据传花的规则再 得到 p（k+1）为真命题，这样就能够 保证每一位同学在游戏中都能够拿到花， 不用再进行一一验证。学生在传花的过 程中就能够体会到命题真正的传递过程， 对数学归纳法的两步运算程序进行深刻 的理解，从中领悟数学归纳法的内涵， 促进学生关于数学归纳法知识结构的构 建。 2.2 提炼要点，加深学生的印象。 在学生理解了数学归纳法的用法 之后，教师可以带领学生对数学归纳法 的使用要点进行提炼，最好能够形成口 诀，帮助学生加深对数学归纳法知识的 记忆。可以把数学归纳法的使用归纳为 一表示“使用 p（k）表示 p（k+1） ”、二 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 使用“使用归纳假设法进行验证” 、三变 形“运算变形，得到结论 ”。这样就能够 帮助学生更好地掌握数学归纳法的正确 使用方式和使用步骤，防止学生在进行 第二步的论证时，不使用归纳假设法， 而使用其他验证方式的错误做法。 2.3 利用数学归纳法的变式拓宽 学生的视野。 设 p（n）是关于 nN+的命题。 （1）使用第二数学归纳法来解 决， （1）p（1）为真命题， （2）如果 mk，p（m ）为真命题，p（m+1）为 真命题，所以 p（n）对于一切 nN+都 是真命题。 （2）使用双击归纳法来解决， （1）p（1） 、p（2）为真命题， （2） p（k-1 ）和 p（k）均为真命题，那么 p（n）对于一切 nN+都是真命题。 （3）使用跳跃式数学归纳法来 解决， （1）p（1） 、p（2） 、p（m） 都是真命题， （2）p（k）为真命题，那 么 p（n）对于一切 nN+都是真命题。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 2.4 让学生打好基础，掌握数学 归纳法的变形能力。 扎实的数学基础是高中生学好数 学的根本方法，在对学生进行教学时， 教师要着重培养学生对于基本知识的掌 握，引导学生对数学归纳法进行牢固的 掌握，对于学生在解题中容易出现的错 误，教师可以通过为学生讲解典型例题 的方式进行解决。对于那些难以进行变 形的问题，教师也可以通过为学生讲解 典型例题，让学生对解题的规律和技巧 进行深刻的掌握。 结语 学生在学习数学