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-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 高中学生数学归纳法学习中常见错 误及对策 中图分类号:G633.6 文献标识码: B 文章编号:1672-1578(2018)19- 0124-01 中国论文网 /1/view-13042135.htm 在高中数学的学习中,数学归纳 法是一种比较常用的数学方法,在解决 某些结论是自然数的函数命题时,运用 数学归纳法对问题加以证明能够起到事 半功倍的效果。但是在长期对学生进行 教学的过程中发现,很多学生在利用数 学归纳法解决数学问题时,经常会出现 一些比较常见的错误,对学生数学的学 习造成了一定的障碍,本文主要对学生 运用数学归纳法的常见错误进行了研究, -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 并提出了一些解决策略。 1.高中生学习数学归纳法中的常 见错误 1.1 机械套用,不认真验算。 例 1:证明等式 2+4+6+2n=n2+n+1(nN+)是否成 立。 错误解法:(1)当 n=1 时,等 式两边都等于 2,此时等式成立。 (2)当 n=k 时, 2+4+6+2k=k2+k+1,等式两边同时 加上 2(k+1) 2+4+2k+2(k+1)= k2+k+1+2(k+1) 也就是 2+4+2( k+1) =(k+1)2+ ( k+1)+1 所以当 n=k+1 时,原等式也成立。 由题目可知,当 n=1 时,原等式 实际上是不成立的,学生在解题时忽略 了第一步的重要作用,对数学归纳法进 行机械的套用,造成解题的错误。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 1.2 存在多余验证。 例 2:如果 nN+,证明 n2+5n 能够被 6 整除。 很多学生在对这道题进行第一步 的证明时,会对 n=1、n=2,n=3 的情况 分别进行验证,如当 n=1 时,12+51=6 能够被 6 整除,当 n=2 时,22+52=18 能够被 6 整除,当 n=3 时,32+53=24 能够被 6 整除。很多学生在初学数学归 纳法时都会存在多余验证的问题,实际 上是一种出力不讨好的现象。 1.3 自以为是,蒙混过关。 例 2:当 nN+,证明(3n+1) 7n-1 能够被 9 整除。 证明:(1)如果 n=1,47-1=27 能够被 9 整除。 (2)如果 n=k 时, (3k+1) 7n- 1 能够被 9 整除,那么3(k+1)+1 7k+1-1=3k+1+3 7k+1-1+3 7k+1 能够被 9 整除,所以当 n=k+1 时, (3n+1) 7n-1 也能够被 9 整除。 学生在第二步的证明中,令 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 p(n)=(3n+1) 7n-1,很难找到 p(k+1)与 p(k)之间的内在联系, 所以在解题时草草收场。 2.高中生运用数学归纳法常见错 误的解决方法 2.1 利用学生熟悉的内容,突破 概念中的重难点理解问题。 教师在对学生进行数学归纳法的 教学或者讲解时,可以以学生比较熟悉 的事例来导入课堂学习内容,让学生更 加深刻的了解数学归纳法的本质,更好 的掌握数学归纳法的概念和用法。比如 教师在对学生进行数学归纳法教学时可 以利用击鼓传花的游戏来导入课堂教学 内容,让班级的学生排好队围成一圈, 当学生听到鼓声时,就把花传到下一位 同学手中,鼓声停止,传花过程终止。 游戏过后,教师可以给学生提出问题, 为什么每位同学都能够在游戏中拿到花 呢?原因就在于传花的规则,在第一位 同学拿到花时,听到鼓声就要把花传到 下一位同学手中,只要鼓声不停,就能 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 够保证花的无限传递,这样就能够保证 每位同学都能够拿到花。我们可以假设 每位同学都能够拿到花的命题是 p(n) , 要想使 p(n)真正实现首先要保证第一 位同学能够拿到花,也就是保证 p(1) 时,命题为真命题,根据传花的规则再 得到 p(k+1)为真命题,这样就能够 保证每一位同学在游戏中都能够拿到花, 不用再进行一一验证。学生在传花的过 程中就能够体会到命题真正的传递过程, 对数学归纳法的两步运算程序进行深刻 的理解,从中领悟数学归纳法的内涵, 促进学生关于数学归纳法知识结构的构 建。 2.2 提炼要点,加深学生的印象。 在学生理解了数学归纳法的用法 之后,教师可以带领学生对数学归纳法 的使用要点进行提炼,最好能够形成口 诀,帮助学生加深对数学归纳法知识的 记忆。可以把数学归纳法的使用归纳为 一表示“使用 p(k)表示 p(k+1) ”、二 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 使用“使用归纳假设法进行验证” 、三变 形“运算变形,得到结论 ”。这样就能够 帮助学生更好地掌握数学归纳法的正确 使用方式和使用步骤,防止学生在进行 第二步的论证时,不使用归纳假设法, 而使用其他验证方式的错误做法。 2.3 利用数学归纳法的变式拓宽 学生的视野。 设 p(n)是关于 nN+的命题。 (1)使用第二数学归纳法来解 决, (1)p(1)为真命题, (2)如果 mk,p(m )为真命题,p(m+1)为 真命题,所以 p(n)对于一切 nN+都 是真命题。 (2)使用双击归纳法来解决, (1)p(1) 、p(2)为真命题, (2) p(k-1 )和 p(k)均为真命题,那么 p(n)对于一切 nN+都是真命题。 (3)使用跳跃式数学归纳法来 解决, (1)p(1) 、p(2) 、p(m) 都是真命题, (2)p(k)为真命题,那 么 p(n)对于一切 nN+都是真命题。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 2.4 让学生打好基础,掌握数学 归纳法的变形能力。 扎实的数学基础是高中生学好数 学的根本方法,在对学生进行教学时, 教师要着重培养学生对于基本知识的掌 握,引导学生对数学归纳法进行牢固的 掌握,对于学生在解题中容易出现的错 误,教师可以通过为学生讲解典型例题 的方式进行解决。对于那些难以进行变 形的问题,教师也可以通过为学生讲解 典型例题,让学生对解题的规律和技巧 进行深刻的掌握。 结语 学生在学习数学
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