云南省昆明市2017届高三第二次统测数学试题（理）含答案

云南省昆明市 2017 届高三下学期第二次统测数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 设复数 z 满足 21i 1，则 z （ ） A 1i B 1i C 1i D 1i 2. 已知双曲线 22 1 0 , 0xy 的离心率为 53，则其渐近线方程为（ ） A 20 B 20 C 3 4 0 D 4 3 0 3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ） A若输入 ,2,3 ，则输出的值为 5 B若输入 ,2,3 ，则 输出的值为 7 C若输入 ,3,4 ，则输出的值为 8 D若输入 ,3,4 ，则输出的值为 10 4. 如图，网格纸上 小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 24 B 30 D 60 5. 已知数列 n 项和为 2, ,17S （ ） A 0 B 2 C. 2 D 34 6. 341 2 2的展开式中 x 的系数是（ ） A 96 B 64 D 16 7. 在 中， C 于 H ，点 D 满足 2C ， 若 2，则 D （ ） A 2 B 2 D 4 8. 已知函数 s i n 0 26f x x 满足条件： 1 02f ，为了得到 y f x 的图象，可将函数 x x 的图象向右平移 m 个单位 ( 0)m ，则 m 的最小值为（ ） A 1 B 29. 圆的任何一对平行切线 间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线” . 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯 名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线 图 1） : 画一个等边三角形 分别以 ,圆心，边长为半径，作圆弧 ,A 这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形 . 它的宽度等于原来等边三角形的边长 图 2） . 图 1 图 2 在图 2 中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（ ） A8B 2 3 34 C. 22D 3210. 已知抛物线 2 20y px p上的点到焦点的距离的最小值为 2 ，过点 0,1 的直线 焦点到直线 l 的距离为（ ） A 1 或 2 或 2 B 1 或 2 或 5 C. 2 或 2 D 2 或 5 11. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 0x 时， xf x e ，若存在 ，对任意 1, 1, Nx m m m ，都有 f x t , 则 m 的最大值为 （ ） A 2 B 3 D 5 12. 定义“函数 y f x 是 D 上的 a 级类周期函数” 如下 : 函数 ,Dy f x x，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 D 内的任意实数 x 都有 af x f x T恒成立，此时 T 为 若 y f x 是 1, 上的 a 级类周期函数，且 1T ，当 1, 2x 时， 2 2 1xf x x,且 y f x 是 1, 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为（ ） A 5,6B 2, C. 10,3D 10, 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若 ,0103 3 0 ，则 2z x y的最大值为 14. 若函数 2 c o x x 在 0x 处的切线方程为 31 ，则 15. 表面积为 16 的球面上有四个点 ,P A B C ，且 是边长为 23的等边三角形，若平面 平面 则棱锥 P 体积的最大值为 16. 某小区一号楼共有 7 层，每层只有 1 家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这 7 家住户有无快递的可能情况共有 种 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在平面四边形 ， , 2 , 5 , 2 ,A B B C A B B D B C D A B D A B D 的面积为 2 . （ 1）求 长； （ 2）求 的面积 . 18. 根据“ 2015 年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据，从 2011 年到 2015 年，我国的 第三产业在 的比重如下 : 年份 2011 2012 2013 2014 2015 年份代码 x 1 2 3 4 5 第三产业比重 （ 1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图； （ 2）建立第三产业在 的比重 y 关于年份代码 x 的回归方程； （ 3）按照当前的变化趋势，预测 2017 年我国第三产业在 的比重 . 附注 : 回归直线方程 y a 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 : 112 2 2( ) ( )( ) ( )i i y n x y x x y n x x x , a y . 19. 如图所示，在三棱柱1 1 1 B C中，已知 平面1 1 1, 1 , 2B C C B A C B C B B ， 1 60B . （ 1）证明 :1B； （ 2）已知点 E 在棱1面角1A 为 45 ，求1值 . 20. 在直角坐 标系 ， 动圆 M 与圆 221 : 2 0O x x y 外切，同时与圆222 : 2 2 4 0O x y x 内切 . （ 1）求动圆圆心 M 的轨迹方程； （ 2）设动圆圆心 M 的轨迹为曲线 C ，设 , 上两点，点 A 关于 x 轴的对称点为B (异于点 P )，若直线 ,P 分别交 x 轴于点 ,明 : T 为定值 . 21. 已知函数 1l n 1 1 . （ 1）求 （ 2）设 2 3 2 g x x x f x (其中 ，证明 : 1x 时， 2 1g x e. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为122 (32 为参数 ) ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1 . （ 1）写出直线 l 的普通方程和曲线1 （ 2）若将曲线16倍，纵坐标缩短为原来的 22倍，得到曲线2C，设点 P 是曲线2点 P 到直线 l 距离的最小值 . 等式选讲 已知函数 2f x x. （ 1）解不等式 2 4 1f x x ； （ 2）已知 1 0 , 0m n m n ，若不等式 11x a f 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 云南省昆明市 2017 届高三下学期第二次统测数学（理） 试题参考答案 一、选择题 1 6 11、填空题 13. 8 14. 3 三、解答题 17. 解： (1)由已知 11s i n 2 5 s i n 222 B B D A B D A B D ，所以25s i n 5，又 0,2，所以 5c o ，在 中，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 5A D A B B D A B B D A B D ，所以 5. (2)由 C ，得2A B D C B D ，所以 5s i n c o D A B D ，又 42 , s i n 2 s i n c o s 5B C D A B D B C D A B D A B D ，222B D C C B D B C D A B D A B D A B D C B D ， 所以 为等腰三角形，即 D ，在 中，由正弦定理得：s i n s i C D C B D， 所以55s i n 5 1 1 5 5 4 55 , s i i n 4 2 2 4 4 5 85C B C B S C B C D B C D . 18. 解： (1)数据对应的散点图如图所示： (2) 3 , 4 7 ， 112 2 2( ) ( ) 151 . 510( ) ( )i i y n x y x x y n x x x , 4 2 a y b x ， 所以回归直线方程为 1 2 . (3)代入 2017 年的年份代码 7x ，得 1 4 2 5 3 y ，所以按照当前的变 化趋势，预计到 2017 年，我国第三产业在 的比重将达到 19. 解： (1)证明：在1，111 , 2 , 6 0B C B B B B C ，则221 1 2 2 1 2 c o s 6 0 3 ，于是 2 2 211B C B C B B，故 1C 平面 11于是 1 C ，又 C C ，故 1平面 所以1B. (2)如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C ，则 10 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1C B B A，由 11C ，得 1 3 , 1, 0C ，设 1B E B B ，则 3 ,1 , 0E ，于是 13 , 1 , 1 , 3 , 1 , 1A E A C ，求得平面 1一个法向量为 2 , 3 3 , 3n ，取平面 1一个法向量为 0, 0,1m ，又二面角1A 为 45 ，则 2 2 233c o s 4 54 1 0 1 02 3 1 3 ，解得 12或 2（舍）， 所以1值为 12 . 20. 解： (1)由圆 221 : 2 0O x x y ，得 2 211 ，所以 1 1,0O ，半径为 1 ；由圆 222 : 2 2 4 0O x y x ，得 2 21 2 5 ，所以 2 1,0O，半径为 5 ，设动圆圆心 ,M x y ，半径为 R ，因为 M 与1以1 ，又因为 M 与2以2 5，将两式相加得1 2 1 26M O M O O O ，由椭圆定义知，圆心 M 的轨迹为椭圆，且 2 6, 1，则 229, 8，所以动圆圆心 M 的轨迹方程为22198. (2)设 0 0 1 1, , , , , 0 , , 0x y A x y S x T x，则 11,B x y，由题意知01 ，直线 程为 11y k x x ，令 0y ，得 0 1 1 010Sx y x yx ，同理 0 1 1 0 0 1 1 01 0 1 0T x y x y x y x yx y y y y ，于是2 2 2 20 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0221 0 1 0 1 0y x y x y x y x y x O T x xy y y y y y ， 又 00,P x 11,A x 2198上，故 2 22201018 1 , 8 199x ，则 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2011 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 18 , 8 1 8 1 89 9 9y x x x y x y x x x x . 所以 222 2 2 2010 1 1 0222210018989y x O T . 21. 解： (1)函数 11 1 l n 111 , , e ，由于 1 0 0 , 1 l n 11f y 在 1, 上是减函数，所以当 10x 时， 0；当 0x 时， 0 1,0 ，单调递减区间为 0, . (2)由 2 1 g x x x f x ，当 0x 时，由 (1) 知 0，所以 201g x e . 当 10x 时， 111 1 l n 1 2 1 l n 1121x x x x x x 212 1 l n 1x x ，构造函数 1 2xh x e x ，则 1 1 0xh x e ，则当 10x 时， 1 122 1 0 , 0 1x x e x h e ， 易知当 10x 时， 1 l n 1 0x x x ， 2212 1 l n 1 1 l n 1x e x x x e x x . 要证 2 1g x e，只需证 21 l n 1 1x x x e ，设 1 p x x x x ，得 2 l n 1p x x ，由 2 l n 1 0p x x ，得 2 1，当 21, 1 时， 0，则 2 1, 0时， 0，则 10x 时， 221 l n 1 1 1p x x x x p e e ，所以当 10x 时， 2 1g x e成立 可知：当 1x 时， 2 1g x e. 22. 解： (1)直线 l 的普通方程为 3 2 3 0 ，曲线1c o s (6 s i 为参数） . (2)由题意知，曲线2c o s (3 s 为参数），可设点 c o s , 3 s i ，故点 P 到直线 l 的距离为 3 2 s i n 23 c o s 3 s i n 2 3 4231d ，所以m i 62d ，即点 P 到直线 l 的