2012_佛山一模_理科数学

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数 学 (理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1已知 是虚数单位， 、 ，且 ，则 imnRi1inim A B C D 11 i 2下列函数中既是奇函数，又在区间 上是增函数的为, A B C D yxsinyxxye3yx 3设 na是公差不为 0 的等差数列， 12a且 136,a成等比数列，则 na的前 项5 和 5S A B C D1500 4 “关于 的不等式 的解集为 ”是“ ”x2xR1 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5一个体积为 的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为123 A. 6 B 8 C 3 D 12 2 6已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到该P24xyP(2,0)MP 抛物线准线的距离之和的最小值为 A B C D17259 7某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出 100 名司机，已知 抽到的司机年龄都在 岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分0,4 布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数 大约是 A 岁 31.6 B 岁 2 C 岁 . D 岁36 8对于非空集合 ，定义运算： ，,A|,ABxxAB且 已知 ，其中 满足 ，|,|dcNbxaM dcba、 abcd ，则0bcd A. B. C. D.(,),(,)a(,)(,), 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分，满分 30 分） (一)必做题(913 题) 9某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 人，结果合唱社被抽出 人，则 _.3012a 10函数 的最小正周期是 _.sin()yx 11已知不等式组 所表示的平面区域的面积为 ，则 的值为 0,2ykx 4k _. 合唱社 粤曲社 书法社 高一 45 30 a 高二 15 10 20 第 3 页 共 13 页 12已知向量 ， ，其中 .若 ，则 的最小值a(,2)xb(1,)y0,xy4:ab12xy 为 . 13对任意实数 ，函数 ，如果函数, |)|(2),(baF2()3,f ，那么函数 的最大值等于 .()1gx,Gxfgx (二)选做题(1415 题,考生只能从中选做一题) 14 （坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线 的方程为 ，则l 21)3cos( 点 到直线 的距离为_. )2,1(Ml 15.（几何证明选讲）如图， 为圆 外一点，由 引圆POPO 的切线 与圆 切于 点，引圆 的割线 与圆 交于PAB 点.已知 ， .则圆 的面积为 .CB1,2CA 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （本题满分 12 分） 在 中，角 、 、 的对边分别为 ，满足 ，且ABCCabc、 、 2ACB .14)cos( （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积.5a 17 （本题满分 14 分） 如图，三棱锥 中， 底面 ， ，ABCPABC90 ， 为 的中点，点 在 上，且 .2BPEFPFA2 （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成的二面角的平面角 （锐角）的余弦值. C AP B 4 18 （本题满分 13 分） 佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命 （单位：月）服从正态分布 ，且使用寿命不少于 个月的概率为 ，使2(,)N120.8 用寿命不少于 个月的概率为 .240 （1）求这种灯管的平均使用寿命 ； （2）假设一间功能室一次性换上 支这种新灯管，使用 个月时进行一次检查，将4 已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率. 19 （本题满分 12 分） 已知圆 ，圆 ，动点 到圆 , 上点的21:(4)1Cxy22:()1CxyP1C2 距离的最小值相等. （1）求点 的轨迹方程；P （2）点 的轨迹上是否存在点 ，使得点 到点 的距离减去点 到点Q(,0)AQ 的距离的差为 ，如果存在求出 点坐标，如果不存在说明理由.(,0)B4 20 （本题满分 14 分） 设 ,函数 .aR()lnfxa (1) 若 ，求曲线 在 处的切线方程；2()yf1,2P (2) 若 无零点,求实数 的取值范围；fx (3) 若 有两个相异零点 ,求证: .()12x21xe 21 （本题满分 14 分） 设 ，圆 ： 与 轴正半轴的交点为 ，与曲线*NnnC22(0)nxyRyM 的交点为 ，直线 与 轴的交点为 .yx1(,)MNx(,0)nAa (1)用 表示 和 ;nRa (2)求证: ;12 (3)设 , ,求证: .123nnSaa 123Tn 2735nST 第 5 页 共 13 页 2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（理科）参考答案和评分标准 一、选择题：（每题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D B B A A B C C 二、填空题（每题 5 分，共 30 分） 9 10 11 12 13 14 1530219432149 三、解答题:本大题共 6 小题 ,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本题满分 12 分） 解：（1） ，且 ， ACBC3B 1 分 , 14)cos(145)(cos1)sin(2 3 分 scos()sin()siCBBCBC 7123451 6 分 （2）由（1）可得 7cos1sin2C 8 分 在 中，由正弦定理 ABCAaBbsinisin , 8sinac5ab 10 分 三角形面积 . 13i1022SB 12 分 17 （本题满分 14 分） （1）证明： 底面 ，且 底面 ， PACABCACPB 6 1 分 由 ，可得 90BCACB 2 分 又 ， 平面 P ACPB 3 分 注意到 平面 ， BEC E 4 分 , 为 中点， PBEP 5 分 ， 平面 CA BEPAC 6 分 而 平面 ， BEFBEFPAC平 面平 面 7 分 （2）方法一、如图，以 为原点、 所在直线为 轴、 为 轴建立空间直角坐标BCxBPz 系. 则 )1,0(2,()0,(),(EPAC 8 分 . 4(,)33BFB 10 分 设平面 的法向量 . E(,)mxyz 由 得 ，0,BF 0342 即 （1）2zyx 第 7 页 共 13 页 （2）0zx 取 ，则 ， . 11,zy(,1)m 12 分 取平面 的法向量为ABC),0(n 则 ，3cos,|m 故平面 与平面 所成角的二面角（锐角）的余弦值为 . ABCPEF3 14 分 方法二、取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，GM,CG ， ， . 的 中 点为 PCEAF2/E 8 分 ， . BEB平 面平 面 , /CGBEF平 面 9 分 同理可证： . 又 ， FGM平 面/ M .10 分CBE平 面 平 面 则 与平面 所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面 与平面平 面 ACABC 所成的二面角的平面角（锐角）BEF 已知 ， ， 平面BP底 面2M ， 11 分CMA 又 ， 平面APB 由于 平面 ， GCG 8 而 为 与平面 的交线，CMG平 面 ABC 又 底面 ， 平面AMG 为二面角 的平面角 12 分 根据条件可得 ，2AM321PA 在 中，PB6cosBG 在 中，由余弦定理求得 A3 13 分 32cos2GMA 故平面 与平面 所成角的二面角（锐角）的余弦值为 . BCPEF3 14 分 18 （本题满分 13 分） 解：（1） ， ， ，2(,)N:(1)0.8P(24)0.P ，显然 (2)0.P 3 分 由正态分布密度函数的对称性可知， ， 1248 即每支这种灯管的平均使用寿命是 个月； 8 5 分 （2）每支灯管使用 个月时已经损坏的概率为 ， 1210.2 6 分 第 9 页 共 13 页 假设使用 个月时该功能室需要更换的灯管数量为 支，则 ， 12(4,0.2)B: 10 分 故至少两支灯管需要更换的概率 1(0)(1)PP （写成 也可以）. 041311.8.0265C8 13 分 19 （本题满分 13 分） 解：（1）设动点 的坐标为 ，P(,)xy 圆 的圆心 坐标为 ，圆 的圆心 坐标为 ， C1402C2(0,) 2 分 因为动点 到圆 , 上的点距离最小值相等，所以 , P12 12|PC 3 分 即 ，化简得 ， 222(4)()xyxy23yx 4 分 因此点 的轨迹方程是 ； P3 5 分 （2）假设这样的 点存在，Q 因为 点到 点的距离减去 点到 点的距离的差为 4，(2,0)AQ(2,0)B 所以 点在以 和 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支上， (2,0)4 即 点在曲线 上， Q214xyx 9 分 10 又 点在直线 上， 点的坐标是方程组 的解，Q:23lyxQ2314yx 11 分 消元得 ， ，方程组无解，2310x21430 所以点 的轨迹上不存在满足条件的点 . PQ 13 分 20 （本题满分 14 分） 解：方法一在区间 上, . 01()axfx 1 分 （1）当 时， ，则切线方程为 ，即2a(1)2f(2)1)yx 3 分0xy （2）若 ,则 , 是区间 上的增函数, ()0fx()f0 , ,(1)faQ1)aaaee ,函数 在区间 有唯一零点. ()fx, 6 分 若 , 有唯一零点 . 0a()lnfx1 7 分 若 ,令 得: .()fxa 在区间 上, ,函数 是增函数;10a0()f 在区间 上, ,函数 是减函数;()()fxx 故在区间 上, 的极大值为 .1()lnl1faa 由 即 ,解得: .1()0faln10ae 第 11 页 共 13 页 故所求实数 a 的取值范围是 . 1(,)e 9 分 方法二、函数 无零点 方程 即 在 上无实数解 ()fxlnxalnx0, 4 分 令 ，则ln()g21l()g 由 即 得： 0x2l0xe 6 分 在区间 上, ,函数 是增函数;()e()g()gx 在区间 上, ,函数 是减函数;0x 故在区间 上, 的极大值为 . 0 ()gx1()ge 7 分 注意到 时， ； 时 ； 时，(,1)x(),0gx1x()01,)0,ge 故方程 在 上无实数解 .lnxa,1ae 即所求实数 a 的取值范围是 . 1(,)e 9 分 注:解法二只说明了 的值域是 ,但并没有证明.()gxe (3) 设 120,x12,()0,ffQ12ln0,ln0xaxa ,2ln()ax2ln) 原不等式 1212xe 12 12()ax1212lnxx122()lnx 令 ,则 ,于是 . 12t122()()lltx 12 分 设函数 ,()()ln1tgt 求导得: 2240()()ttt 故函数 是 上的增函数, ()gt1(1)gt 即不等式 成立,故所证不等式 成立. )lnt2xe 14 分 21 （本题满分 14 分） 解： (1)由点 在曲线 上可得 , Nyx1()Nn 1 分 又点在圆 上，则 , nC2211(),nnRR 2 分 从而直线 的方程为 , MNnxya