2017年中考数学《勾股定理》专题训练含答案解析

勾股定理 一认真选一选，你一定能行！ 1下列说法正确的是（ ） A若 a、 b、 c 是 三边，则 a2+b2=若 a、 b、 c 是 三边，则 a2+b2=若 a、 b、 c 是 三边， A=90，则 a2+b2=若 a， b， c 是 三边， C=90，则 a2+b2=一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（ ） A斜边长为 5 B三角形的周长为 25 C斜边长为 25 D三角形的面积为 20 3已知直角三角形中 30角所 对的直角边长是 另一条直角边的长是（ ） A 4 6 ， 5， 3，高 2，则 周长为（ ） A 42 B 32 C 42 或 32 D 37 或 33 5如图，在 ，三边 a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B c a b C c b a D b a c 6已知直角三角形的一直角边长为 24，斜边长为 25，则另一条直角边长为（ ） A 16 B 12 C 9 D 7 7若等腰三角形两边长分别为 4 和 6，则底边上的高等于（ ） A 或 B 或 C D 8把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的（ ） A 2 倍 B 4 倍 C 3 倍 D 5 倍 9 ，若（ a+b） 2 此三角形应是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 10如图，一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面 15 米，要使梯子顶端离地 24 米，则梯子的底部在水平方向上应滑动（ ） A 11 米 B 12 米 C 13 米 D 14 米 二仔细填一填，小心陷阱约！ 11如图，三个正方形中的两个的面积 5， 44，则另一个的面积 12在 ， C=90， b=6， c=10，则 a= 13如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7正方形 A， B， C， D 的面积之和为 14一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 15小明从家中出发，先向正东前进 200m，接着又朝正南方向前进 150m，则这时小明离家的直线距离为 m 16直角三角形的两直角边之比为 a： b=3： 4，斜边 c=10，则 a= ， b= 17直角三角形的两条直角边长为 5 和 12，则斜边上的高是 18在 ， C=90， 00只蜗牛从 C 点出发，以每分 20A 路径再回到 C 点，需要 分的时间 三解答题 19如图， ， ， 3，求 大小？ 20在 ， C=90， .1 .8 （ 1）求这个三角形的斜边 长和斜边上的高 长； （ 2）求斜边被分成的两部分 长 21如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽 8m，高 6m，长 20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积 22如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？ 23甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8： 00 甲先出发，他以 6 千米 /时的速度向东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 /时的速度向北行进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 24阅读 下面内容后，请回答下面的问题：学习勾股定理有关内容后，老师请同学们交流讨论这样一个问题： “已知直角三角形 两边长分别为 3 和 4，请你求出第三边 ”同学们经片刻的思考与交流后，张雨同学举手说： “第三边长是 5”； 王宁同学说： “第三边长是 ”还有一些同学也提出了不同的看法 假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？ 四、备用题： 25如图，已知长方形 0边 取一点 E，将 叠使点 D 恰好落在 上的点 F，求 长 26如图所示，某人到岛上去探宝，从 A 处登陆后先往东走 4往北走 到障碍后又往西走 2转向北走到 往东一拐，仅走 找到宝藏问登陆点 A 与宝藏埋藏点 B 之间的距离是多少？ 勾股定理 参考答案与试题解析 一认真选一选，你一定能行！ 1下列说法正确的是（ ） A若 a、 b、 c 是 三边，则 a2+b2=若 a、 b、 c 是 三边，则 a2+b2=若 a、 b、 c 是 三边， A=90，则 a2+b2=若 a， b， c 是 三边， C=90，则 a2+b2=考点】勾股定理 【分析】根据勾股定理的内容，即可解答 【解答】解： A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故 A 可排除； B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故 B 可排除； C、在 ，直角所对的边是斜边， C 中的斜边应为 a，得出的表达式应为 b2+c2= C 也排除； D、符合勾股定理，正确 故选 D 【点评】注意：利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边 2一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（ ） A斜边长为 5 B三角形的周长为 25 C斜边长为 25 D三角形的面积为 20 【考点】勾股定理 【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案 【解答】解：两直角边长分别为 3 和 4， 斜边 = =5； 故选 A 【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方 3已知直角 三角形中 30角所对的直角边长是 另一条直角边的长是（ ） A 4 6 考点】含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【专题】计算题 【分析】根据含 30 度角的直角三角形求出 据勾股定理求出 可 【解答】解： C=90， B=30， 由勾股定理得： =6 故选 C 【点评】本题主要考查对含 30 度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键 4 ， 5， 3，高 2，则 周长为（ ） A 42 B 32 C 42 或 32 D 37 或 33 【考点】勾股定理 【分析】本题应分两种情况进行讨论： （ 1）当 锐角三角形时，在 ，运用勾股定理可将 长求出，两者相加即为 长，从而可将 周长求出； （ 2）当 钝角三角形时，在 ，运用勾股定理可将 长求出，两者相减即为 长，从而可将 周长求出 【解答】解：此题应分两种情况说明： （ 1）当 锐角三角形时，在 ， = =9， 在 ， = =5 +9=14 周长为： 15+13+14=42； （ 2）当 钝角三角形时， 在 ， = =9， 在 ， = =5， 5=4 周长为： 15+13+4=32 当 锐角三角形时， 周长为 42；当 钝角三角形时， 周长为 32 故选 C 【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度 5如图，在 ，三边 a， b， c 的大 小关系是（ ） A a b c B c a b C c b a D b a c 【考点】实数大小比较；勾股定理 【专题】网格型 【分析】先分析出 a、 b、 c 三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可 【解答】解：根据勾股定理，得 a= = ； b= = ； c= = 5 10 13， b a c 故选 D 【点评】本题考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目 6已知直角三角形的一直角边长为 24，斜边长为 25，则另一条直角边长为（ ） A 16 B 12 C 9 D 7 【考点】勾股定理 【分析】本题直接根据勾股定理求解即可 【解答】解：由勾股定理的变形公式可得：另一直角边长 = =7 故答案为： D 【点评】本题考查勾股定理的应用，较为简单 7若等腰三角形两边长分别为 4 和 6，则底边上的高等于（ ） A 或 B 或 C D 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【专题】分类讨论 【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论， 当 4 为腰时，此时等腰三角形的边长为 4、 4、 6； 当 6 为腰时，此时等腰三角形的边长为 4、 6、 6；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用解直角三角形的知识求出高 【解答】解： C， D， 边长为 4、 6 的等腰三角形有 4、 4、 6 与 4、 6、 6 两种情况， 当是 4、 4、 6 时，底边上的高 = = ； 当是 4、 6、 6 时，同理求出底边上的高 = 故选 A 【点评】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质，解答本题需要掌握三点， 等腰三角形的高垂直平分底边； 勾股定理的表达式； 三角形的三边关系 8把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的（ ） A 2 倍 B 4 倍 C 3 倍 D 5 倍 【考点】勾股定理 【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的 2 倍 【解答】解：设一直角三角形直角边为 a、 b，斜边为 c则 a2+b2= 另一直角三角形直角边为 2a、 2b，则根据勾股定理知斜边为 =2c 即直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的 2 倍 故选 A 【点评】熟 练运用勾股定理对式子进行变形 9 ，若（ a+b） 2 此三角形应是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定 【解答】解： （ a+b） 2 a2+b2= 直角三角形 故选 B 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 10如图，一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面 15 米，要使梯子顶端离地 24 米，则梯子的底部在水平方向上应滑动（ ） A 11 米 B 12 米 C 13 米 D 14 米 【考点】勾股定理的应用 【分析】顶端离地面 15 米，梯子长 25 米，运用勾股定理可以得出梯子在水平距离的长度，再利用要使梯子顶端离地 24 米，求出梯子底端水平距离，进而求出梯子方向上滑行的距离 【解答】解： 一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面 15 米， 梯子水平距离为： =20 米， 要使梯子顶端离地 24 米， 梯子水平滑动距离为： =7 米， 梯子的底部在水平方向上应滑动： 20 7=13 米 故选： C 【点评】此题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，结合图形利用勾股定理求出是解决问题的关键 二仔细填一填，小心陷阱约！ 11如图，三个正方形中的两个的面积 5， 44，则另一个的面积 169 【考点】勾股定理 【分析】根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现： 2=69 【解答】解：由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为 25 和 144，所以斜边的平方为 144+25=169，即面积 69 【点评】注意能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明： 2= 12在 ， C=90， b=6， c=10，则 a= 8 【考点】勾股定理 【分析】由题意知道 c 为斜边，已知两边根据勾股定理即可求得第三边的长 【解答】解： ， C=90， b=6， c=10 a= =8 【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用 13（ 2003吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7正方形 A， B， C， D 的面积之和为 49 【考点】勾股定理 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积 【 解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形 A， B， C， D 的面积之和 =49 故答案为： 49 【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换 14一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 6， 8， 10 【考点】勾股定理 【分析】根据连续偶数相差是 2，设中间的偶数是 x，则另外两个是 x 2， x+2 根据勾股定理即可解答 【解答】解：根据连续偶数相差是 2，设中间的偶数是 x，则另外两个是 x 2， x+2 根据勾股定理，得 （ x 2） 2+ x+2） 2， 4x+4+x2=x+4， 8x=0， x（ x 8） =0， 解得 x=8 或 0（ 0 不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是 6， 8， 10 【点评】注意连续偶数的特点，能够熟练解方程 15小明从家中出发，先向正东前进 200m，接着又朝正南方向前进 150m，则这时小明离家的直线距离为 250 m 【考点】勾股定理的应用 【分析】根据正东和正南可知道，开始走的两段路可看为直角三角形的直角边，然后这时小明离家的直线距离为可知道求的是斜边的长 【解答】解： 先向正东前进 200m，接着又朝正 南方向前进 150m， 这时小明离家的直线距离为 =250 这时小明离家的直线距离为 250m 故答案为： 250 【点评】本题考查勾股定理的应用，关键是知道所走的路和小明离家的直线距离可构成直角三角形 16直角三角形的两直角边之比为 a： b=3： 4，斜边 c=10，则 a= 6 ， b= 8 【考点】勾股定理 【分析】设直角边为 3x 和 4x，根据勾股定理列出方程：（ 3x） 2+（ 4x） 2=102解答即可 【解答】解： a： b=3： 4， （ 3x） 2+（ 4x） 2=102， 9600， 即 2500， ， x= 2 x= 2（舍去） 则 a=3 2=6， b=4 2=8 故答案为 6， 8 【点评】本题考查了勾股定理，根据题意设出个边的长，利用勾股定理列出方程是解题的基本思路 17直角三角形的两条直角边长为 5 和 12，则斜边上的高是 【考点】勾股定理；三角形的面积 【专题】计算题 【分析】在直角三角形中，已知两直角边长为 5， 12，根据勾股定理可以计算斜 边的长，根据三角形面积的不同方法计算可以求得斜边的高的长度 【解答】解：在直角三角形中，已知两直角边为 5， 12， 则斜边长为 =13， 根据面积法，直角三角形面积可以根据两直角边求值，也可以根据斜边和斜边上的高求值， 即可求得两直角边的乘积 =斜边长 斜边上高线长， 斜边上的高线长 = = ， 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形面积的计算，根据面积法求斜边的高是解题的关键 18在 ， C=90， 00只蜗牛从 C 点出发，以每分 20A 路径再回到 C 点，需要 12 分的时间 【考点】勾股定理 【专题】计算题 【分析】运用勾股定理可求出斜边 长，然后可求出直角三角形的周长即蜗牛所走的总路程，再除以蜗牛的行走速度即可求出所需的时间 【解答】解：由题意得， = =100 00 B+0+80+100=240 240 20=12（分） 故答案为 12 【点评】本题考查了速度、时间、路程之间的关系式及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力 三解答题 19如图， ， ， 3，求 大小？ 【考点】勾股定理 【专题】计算题 【分析】 ，利用勾股定理先求出 长，然后求出 长 【解答】解： 直角三角形 根据勾股定理得： 32+42= ； 同理在 ， 即： 32 52=144， 2 【点评】本题考查勾股定理的知识，属于基础题，比较容易解答，关键是利用勾股定理先求出 长 20在 ， C=90， .1 .8 （ 1）求这个三角形的斜边 长和斜边上的高 长； （ 2）求斜边被分成的两部分 长 【考点】勾股定理 【分析】（ 1）根据勾股定理求得该直角三角形的斜边，根据直角三角形的面积，求得斜边上的高等于斜边的乘积 斜边； （ 2）在（ 1）的基础上根据勾股定理进行求解 【解答】解：（ 1） ， C=90， S C= D， C=D， = = （ 2）在 ，由勾股定理得： （ =2 2 22 9 3 B 【点评】此题考查了勾股定理的熟练运用，注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积 斜边 21如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽 8m，高 6m，长 20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积 【考点】勾股定理的应用 【专题】计算题 【分析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽再根 据矩形的面积公式计算 【解答】解：根据勾股定理得，蔬菜大棚的斜面的宽度即直角三角形的斜边长为：m， 所以蔬菜大棚的斜面面积为： 10 20=200 答：阳光透过的最大面积为 200 平方米 【点评】此题考查勾股定理的实际应用，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面积 22如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？ 【考点】勾股定理的应用 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 和，在直角 据勾股定理即可求得 长，地毯的长与宽的积就是面积 【解答】解：由勾股定理， = =12（ m） 则地毯总长为 12+5=17（ m）， 则地毯的总面积为 17 2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要 34 18=612 元 【点评】正确理解地毯的长 度的计算是解题的关键 23甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8： 00 甲先出发，他以 6 千米 /时的速度向东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 /时的速度向北行进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 【考点】勾股定理的应用；方向角 【专题】应用题 【分析】要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程 ，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离 【解答】解：如图，甲从上午 8： 00 到上午 10： 00 一共走了 2 小时， 走了 12 千米，即 2 乙从上午 9： 00 到上午 10： 00 一共走了 1 小时， 走了 5 千米，即 在 ， 22 十 52=169， 3， 因此，上午 10： 00 时，甲、乙两人相距 13 千米 15 13， 甲、乙两人还能保持联系 答：上午 10： 00 甲、乙两人相距 13 千米，两人还能保持联系 【点评】本题考查正 确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 24阅读下面内容后，请回答下面的问题：学习勾股定理有关内容后，老师请同学们交流讨论这样一个问题： “已知直角三角形 两边长分别为 3 和 4，请你求出第三边 ”同学们经片刻的思考与交流后，张雨同学举手说： “第三边长是 5”； 王宁同学说： “第三边长是 ”还有一些同学也提出了不同的看法 假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？ 【考点】勾股定理 【分析】本题中虽然给出了直角三角