2017年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年天津市部分区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1已知集合 A=x|0 x 3， x N， B=x|y= ，则集合 A B 为（ ） A 1， 2 B 1， 2， 3 C 0， 1， 2 D 0， 1， 2， 3 2从区间 1， 1内随机取出一个数 a，使 3a+1 0 的概率为（ ） A B C D 3底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（ ） A +2 B + C D +2 4已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的实轴长为 2，离心率为 ，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D 1 5已知 p： |x 1| 2， q： f（ x） = 的最小值为 2，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B充要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 6设函数 f（ x） = （ R），若对任意的 a R 都有 f（ f（ a） =2f（ a） 成立，则 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B 0， 2 C 2， + ） D（ ， 2） 7在 ， ， 20， O 是 中点， M 是 一点，且 =3 ，则 的值是（ ） A B C D 8已知函数 f（ x） =2x+ ），若存在 x n 满足 0 4，且 |f（ f（ |+|f（ 2） f（ |+ +|f（ 1） f（ |=16（ n 2， n N*），则 n 的最小值为（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9已知 i 为虚数单位 ，复数 z 满足 z（ 1+i） =3 i，则 z 的实部为 10阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 11已知函数 f（ x） = ， f（ x）为 f（ x）的导函数，则 f（ 0）的值为 12已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆位于 y 轴右侧，且截直线 x+2y=0 所得弦的长为 2，则圆的方程为 13已知 x 0， y 0， x+，则 最大值为 14已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ x） =x+m（ m R）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 B=60， b=7， （ ）求 a； （ ）求 2A B）的值 16某人欲投资 A， B 两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测， A， B 两支股票可能的最大盈利率分别为 40%和 80%，可能的最大亏损率分别为 10%和 30%若投资金额不超过 15 万元根据投资意向， A 股的投资额不大于 B 股投资额的 3 倍，且确保可能的资金亏损不超过 该人分 别用 x 万元， y 万元投资 A， B 两支股票 （ ）用 x， y 列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （ ）问该人对 A， B 两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润 17如图，在几何体中，四边形 菱形，对角线 交点为 O，四边形 梯形， B （ ）若 证： 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）若 B=2， ， 0，求 平面 成角 18已知正项数列 ， ， ，前 n 项和 满足 + = 2（ n 2， n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）记 ，数列 前 n 项和为 证： 19已知椭圆 C： =1（ a b 0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若点 M（ ， ）在椭圆 C 上，直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，与直线 交于点 N，且 N 是线段 中点，求 |最大值 20已知函数 f（ x） = 2+a） a 1） x，（ a R） （ ）当 a= 2 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）定义若函数 H（ x）有三个零点，分别记为 ， ， ，且 ，则称 为 H（ x）的中间零点，设 x=t 是函数 g（ x） =（ x t） f（ x）的中间零点 （ i）当 t=1 时，求 a 的取值范围； （ t=a 时，设 函数 g（ x） =（ x a） f（ x）的 3 个零点，是否存在实数 b，使 b 的某种排列成等差数列，若存在求出 b 的值，若不存在，请说明理由 2017 年天津市部分区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择 题（每小题 5 分，共 40 分） 1已知集合 A=x|0 x 3， x N， B=x|y= ，则集合 A B 为（ ） A 1， 2 B 1， 2， 3 C 0， 1， 2 D 0， 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出集合 A 和 B，由此利用交集定义能求出集合 A B 【解答】 解： 集合 A=x|0 x 3， x N=1， 2， 3， B=x|y= =x|x 1 或 x 1， 集合 A B=1， 2， 3 故选： B 2从区间 1， 1内随机取出一个数 a，使 3a+1 0 的概率为 （ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间 1， 1的长度，求比值即得 【解答】 解：由 3a+1 0，解得： a ， 故满足条件的概率 p= = ， 故选： C 3底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（ ） A +2 B + C D +2 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的 四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体， 棱柱的体积为： 1 1 2=2， 圆锥的底面半径为 1，高为 1，体积为： ， 故组合体的体积 V= +2， 故选： A 4已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的实轴长为 2，离心率为 ，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的简单性质，求出 a， b，即可得到双曲线 方程 【解答】 解：双曲线 =1（ a b 0）的实轴长为 2，可得 a=1，离心率为 ，可得 ，可得 c= ， 则 b= =2 则双曲线的方程为： =1 故选： B 5已知 p： |x 1| 2， q： f（ x） = 的最小值为 2，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B充要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可 【解答】 解：由 |x 1| 2，解得： 1 x 3， 故 p： 1 x 3； f（ x） = =x+ 的最小值为 2，得 x 0， 故 q： x 0， 故 p 是 q 的既不充分也不必要条件， 故选： D 6设函数 f（ x） = （ R），若对任意的 a R 都有 f（ f（ a） =2f（ a） 成立，则 的取值范围是（ ） A（ 0， 2 B 0， 2 C 2， + ） D（ ， 2） 【考点】 分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数 f（ x）的值域，再求出f（ f（ a）和 2f（ a） 成立，即可求出 的取值范围 【解答】 解：方法一： 函数 f（ x） = （ R）， 任意的 a R 都有 f（ f（ a） =2f（ a） 成立， f（ a） 1 恒成立 1 1 即可， 2， 方法二：当 x 1 时， f（ x） f（ 1） = 1， 当 x 1 时， f（ x） =2x， f（ x） 21=2， 当 1 2 时，即 3 时， f（ x） 2， 当 1 2 时，即 3 时， f（ x） 1， 当 3 时， 2f（ a） 4， + ）， f（ f（ a） 22=4 f（ f（ a） =2f（ a） 恒成立 当 3 时， 2f（ a） 2 1， + ）， 当 2 3 时， f（ f（ a） 2 1， f（ f（ a） =2f（ a） 恒成立， 当 2 时， f（ f（ a） =（ 1） +=1， f（ f（ a） =2f（ a） 不恒成立， 综上所述 2， 故选： C 7在 ， ， 20， O 是 中点， M 是 一点，且 =3 ，则 的值是（ ） A B C D 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积 【解答】 解：建立如图所示的直角坐标系： 在 ， ， 20， O 是 中点， M 是 一点，且 =3 ， 则 A（ 0， 0）， B（ 1， 0）， C（ 1， ）， O（ 0， ）， M（ 0， ）， =（ 1， ）， =（ 1， ） = 1 = 故选： D 8已知函数 f（ x） =2x+ ），若存在 x n 满足 0 4，且 |f（ f（ |+|f（ 2） f（ |+ +|f（ 1） f（ |=16（ n 2， n N*），则 n 的最小值为（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 【考点】 数列与函数的综 合 【分析】 由正弦函数的有界性可得，对任意 i， j=1， 2， 3， ， n），都有 |f（ f（ | f（ x） f（ x） ，要使 n 取得最小值，尽可能多让i=1， 2， 3， ， n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小 n 值 【解答】 解： f（ x） =2x+ ）对任意 i， j=1， 2， 3， ， n）， 都有 |f（ f（ | f（ x） f（ x） ， 要使 n 取得最小值，尽可能多让 i=1， 2， 3， ， n）取得最高点， 考虑 0 4， |f（ f（ |+|f（ f（ |+ +|f（ 1） f（ |=16， 按下图取值即可满足条件， 即有 |1+ |+2 7+|1 |=16 则 n 的最小值为 10 故选： C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（ 1+i） =3 i，则 z 的实部为 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则 【解答】 解：由 z（ 1+i） =3 i， 得 ， 则 z 的实部为： 1 故答案为： 1 10阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 5 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=6 时，满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值即可 【解答】 解： s= 2， i=0 6 第一次循环， s= 1， i=2， 第二次循环， i=2 6， s=1， i=4， 第三次循环， i=4 6， s=5， i=6 6， 输出 s=5， 故答案为： 5 11已知函数 f（ x） = ， f（ x）为 f（ x）的导函数，则 f（ 0）的值为 2 【考点】 导数的运算 【分析】 先求导函数 f（ x），然后将 x=0 代入导函数即可求出 f（ 0）的值 【解答】 解： = ； 故答案为： 2 12已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆位于 y 轴右侧，且截直线 x+2y=0 所得弦的长为 2，则圆的方程为 （ x 2 ） 2+ 【考点】 圆的标准方程 【分析】 根据题意，设圆的圆心的坐标为（ a， 0），则圆的方程为（ x a） 2+，（ a 0），由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线 x+2y=0 的距离，由此可得1+（ a） 2=5，解可得 a 的值，将 a 的值代入圆的方程可得答案 【解答】 解：根据题意，设圆的圆心坐标为（ a， 0），则其标准方程为（ x a）2+，（ a 0）， 则圆心到直线 x+2y=0 的距离 d= = a， 又由该圆截直线 x+2y=0 所得弦的长为 2， 则有 1+（ a） 2=5， 解可得 a= 2 ， 又由 a 0，则 a=2 ， 故要求圆的方程为（ x 2 ） 2+， 故答案为：（ x 2 ） 2+ 13已知 x 0， y 0， x+，则 最大值为 2 【考点】 基本不等式 【分析】 利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出 【解答】 解： 实数 x， y 0， x+， 4=x+2 ，化为 4，当且仅当 x=2， y= 时取等号 则 因此 最大值是 2 故答案为： 2 14已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ x） =x+m（ m R）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是 （ ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 方程 f（ x） =x+m（ m R）恰有三个不相等的 实数解 方程 f（ x） x=m（ m R）恰有三个不相等的实数解令 g（ x） =f（ x） x= 画出函数 g（ x）的图象，由图求解 【解答】 解：方程 f（ x） =x+m（ m R）恰有三个不相等的实数解 方程 f（ x） x=m（ m R）恰有三个不相等的实数解 令 g（ x） =f（ x） x= 当 x 0 时，函数 h（ x） =x+1） x， h（ x） = ，可知函数 h（ x）在（ 0， + ）递减， 函数 g（ x）的图象如下， 由图可知 g（ ） m 0， ， 故答案为：（ ， 0） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 ） 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 B=60， b=7， （ ）求 a； （ ）求 2A B）的值 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 （ ）利用正弦定理和余弦定理，解方程组求得 a 的值； （ ）利用余弦定理求得 值，可得 值，利用二倍角公式求得 值，再利用两角和差的三角公式求得 2A B）的值 【解答】 解：（ ） ， B=60， b=7， ， 由正弦定理可得 = = ，即 = = ， a c= （ = =3 再由余弦定理可得 9=a2+2ac 即 a2+9=（ a c） 2+ 0 由 求得 a=8， c=5 （ ）由于 = ， ， ， 1= ， 2A B） = + = 16某人欲投资 A， B 两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且 要考虑可能出现的亏损，根据预测， A， B 两支股票可能的最大盈利率分别为 40%和 80%，可能的最大亏损率分别为 10%和 30%若投资金额不超过 15 万元根据投资意向， A 股的投资额不大于 B 股投资额的 3 倍，且确保可能的资金亏损不超过 该人分别用 x 万元， y 万元投资 A， B 两支股票 （ ）用 x， y 列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （ ）问该人对 A， B 两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润 【考点】 简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用 【分析】 （ ）根据条件 建立约束条件，画出约束条件的可行域如图， （ ）利用数形结合，结合线性规划的应用即可得到结论 【解答】 解：（ ）由题意可知，约束条件为 ，画出约束条件的可行域如图： （ ）设利润为 z，则 z= y= x+ z 平移直线 y= x+ z， 由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大， 由 ，解得 x=9， y=6， 此时 Z=9+6= 故对 A 股票投资 9 万元， B 股票投资 6 万元，才能使可能的盈利最大盈利的最大值为 元 17如图， 在几何体中，四边形 菱形，对角线 交点为 O，四边形 梯形， B （ ）若 证： 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）若 B=2， ， 0，求 平面 成角 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 中点 G，连接 明 平行四边形，可得 可证明： 平面 （ ）证明 平面 可证明 ：平面 平面 （ ）做 H， 平面 成角，即可求 平面 成角 【解答】 （ ）证明：取 中点 G，连接 对角线 交点为 O， ， F， 平行四边形， 面 面 平面 （ ）证明： 四边形 菱形， B， O 是 中点， ， 平面 P平面 平面 平面 （ ）解：作 H 平面 平面 平面 平面 成角， 由题意， 正三角形， ， B=2， B=2， 正三角形， ，由余弦定理可得 = ， 20， 0， 平面 成角为 30 18已知正项数列 ， ， ，前 n 项和 满足 + = 2（ n 2， n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）记 ，数列 前 n 项和为 证： 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ ）由 + = 2（ n 2， n N*）整理得（ +1）2=（ 22，结合题意，得 +1=2判断出数列 等差数列，继而可得 n 1，从而可求数列 通项公式； （ ）利用裂项法可得 = （ ），从而可求得数列 前 n 项和为 可证得： 【解答】 解：（本小题满分 13 分） （ ）由 + = 2（ n 2， n N*）得 +21+ =4 ， 即（ +1） 2=（ 22，由数列 各项为正数，得 +1=23 分 所以数列 等差数列， 4 分 由 ， ，得 S1=， S2=a1+，则数列 公差为 d=， 所以 +（ n 1） 2=2n 16 分 当 n 2 时， n 1=（ 2n 1）（ 2n 3） =2， 而 不适合上式，所以数列 通项公式为 7 分 （ ）由（ ）得 = = （ ） 8 分 则 Tn=c1+c2+ + （ 1 ） +（ ） +（ ） + +（ ） =（ 1 ） 11 分 另一方面， （ 1 ）是关于 n 的增函数，则 ， 因此， 13 分 19已知椭圆 C： =1（ a b 0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若点 M（ ， ）在椭圆 C 上，直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，与直线 交于点 N，且 N 是线段 中点，求 |最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由椭圆的性质可在： a c= b，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆 C 的离心率； （ ）将 M 代入椭圆方程，求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得 k 的值，利用弦长公式即可求得 |最大值 【解答】 解：（ ）由 a c= b，则（ a c） 2= 由 b2=理得： 23ac+，由 e= ， 23e+1=0， 解得： e=1 或 e= ， 由 0 e 1， 椭圆得离心率 e= ， （ ）由（ ）可知 a=2c，则 将 M（ ， ）代入椭圆方程，则 ，解得： c=1， 椭圆的方程为： ， 直线 方程为 y= x， 当直线 l 的不存在时， 中点不在直线 y= x，故直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y=kx+m，则 ， 整理得：（ 3+412=0， 则 =644（ 3+4 412） =48（ 3+4 0， 设 A（ B（ 则 x1+ ， ， 则 y1+y2=k（ x1+2m= ， 则 中点 N（ ， ）， 由 N 在直线 y= x，则 =2 ，解得： k= ， 则 =48（ 12 0，解得： 2 m 2 ， 则丨 = = ， = ， 当 m=0，则丨 最大，且丨 ， |最大值 20已知函数 f（ x） = 2+a） a 1） x，（ a R） （ ）当 a= 2 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）定义若函数 H（ x）有三个零点，分别记为 ， ， ，且 ，则 称 为 H（ x）的中间零点，设 x=t 是函数 g（ x） =（ x t） f（ x）的中间零点 （ i）当 t=1 时，求 a 的取值范围； （ t=a 时，设 函数 g（ x） =（ x a） f（ x）的 3 个零点，是否存在实数 b，使 b 的某种排列成等差数列，若存在求出 b 的值，若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断 【分析】 （ ）当 a= 2 时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间； （ ）（ i）当 t=1 时，求得 g（ x），当 x=1 是 g（ x） =（ x t） f（ x）的中间零点，令 h（ x） = a+2