2017年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）含答案解析

2017 年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=R，集合 M=x|x| 1， N=y|y=2x， x R，则集合 U（ MN）等于（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2） C（ ， 1 2， + ） D 2， + ） 2若 z（ 1 i） =|1 i|+i（ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A B C 1 D 3如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x=1 及曲线 y=1 围成，现向矩形区域 随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ） A B C D 4 “m=0”是 “直线 x+y m=0 与圆 （ x 1） 2+（ y 1） 2=2 相切 ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5双曲线 =1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 6函数 f（ x） =（ 2x） 图象大致是（ ） A B C D 7执行如 图所示的程序框图，如果运行结果为 720，那么判断框中应填入（ ） A k 6？ B k 7？ C k 6？ D k 7？ 8某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A 6 B 7 C 8 D 12 9已知 数列 的前 n 项和，若 n 013 恒成立，则整数 n 的最小值为（ ） A 1026 B 1025 C 1024 D 1023 10中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设 a，b， m（ m 0）为整数，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 a=b（ 若， a=b（ 则 b 的值可以是（ ） A 2011 B 2012 C 2013 D 2014 11如图， 椭圆 长轴的左、右端点， O 为坐标原点， S， Q，T 为椭圆上不同于 三点，直线 成一个平行四边形 |+|=（ ） A 14 B 12 C 9 D 7 12已知函数 f（ x） =x+1） 对 p， q （ 0， 1），且 p q，有恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A （ ， 18） B（ ， 18 C 18， + ） D（ 18， + ） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若（ 1+2x） 5=a0+ a0+a2+ 14已知点 M（ 1， m）（ m 1），若点 N（ x， y）在不等式组 表示的平面区域内，且 （ O 为 坐标原点）的最大值为 2，则 m= 15将函数 f（ x） =图象沿 x 轴向右平移 （ 0）个单位长度后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）的图象关于 y 轴对称，则当 取最小的值时， g（ 0） = 16数列 足 a1+a2+a n=2n n N+）数列 足 ，则 的最大项的值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ， 2=4 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a=2，求 周长 l 的取值范围 18在四边形 ，对角线 直相交于点 O，且 B=， 将 到 位置，使得二面 角 E A 的大小为 90（如图）已知 Q 为 中点，点 P 在线段 ，且 （ ）证明：直线 平面 （ ）求直线 平面 成角 的正弦值 19某届奥运会上，中国队以 26 金 18 银 26 铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三 年级一班至六班进行了 “本届奥运会中国队表现 ”的满意度调查（结果只有 “满意 ”和 “不满意 ”两种），从被调查的学生中随机抽取了 50 人，具体的调查结果如表： 班号 一班 二班 三班 四班 五班 六班 频数 5 9 11 9 7 9 满意人数 4 7 8 5 6 6 （ 1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （ 2）若从一班至二班的调查对象中随机选取 4 人进行追踪调查，记选中的 4 人中对 “本届奥运会中国队表现 ”不满意的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 20已知点 F（ 1， 0），点 A 是直线 x= 1 上的动点，过 A 作直线 段 垂直平分线与 于点 P （ ）求点 P 的轨迹 C 的方程； （ ）若点 M， N 是直线 两个不同的点，且 内切圆方程为 x2+，直线 斜率为 k，求 的取值范围 21已知函数 f（ x） =2） + 2a R） （ 1）若 x=2 为 f（ x）的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若 y=f（ x）在 3， + ）上为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）当 a= 时，方程 f（ 1 x） = 有实根，求实数 b 的最大值 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）若直线 l 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C 的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q求线段 长 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知函数 f（ x） =|x a|+2|x+b|（ a 0， b 0）的最小值为 1 （ 1）求 a+b 的值； （ 2）若 恒成立，求实数 m 的最大值 2017 年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=R，集合 M=x|x| 1， N=y|y=2x， x R，则集合 U（ MN）等于（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2） C（ ， 1 2， + ） D 2， + ） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 分别求出集合 M， N，由此求出 M N，从而能求出 M N） 【解答】 解： M=x|x| 1=x| 1 x 1， N=y|y=2x， x R=y|y 0 又 U=R， M N=x|x 1， M N） =（ ， 1 故选： A 2若 z（ 1 i） =|1 i|+i（ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A B C 1 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： ， ， 则 z 的虚部为 ， 故选： D 3如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x=1 及曲线 y=1 围成，现向矩形区域 随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论 【解答】 解：由题意，阴影部分的面积为 = =e 2， 矩形区域 面积为 e 1， 该点落在阴影部分的概率是 故选 D 4 “m=0”是 “直线 x+y m=0 与圆 （ x 1） 2+（ y 1） 2=2 相切 ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 求出 “m=0”是 “直线 x+y m=0 与圆 （ x 1） 2+（ y 1） 2=2 相切 ”的充要条件，结 合集合的包含关系判断即可 【解答】 解：若直线 x+y m=0 与圆 （ x 1） 2+（ y 1） 2=2 相切， 则（ 1， 1）到 x+y m=0 的距离是 ， 故 = ， 故 |2 m|=2， 2 m= 2， 解得： m=0 或 m=4， 故 “m=0”是 “直线 x+y m=0 与圆 （ x 1） 2+（ y 1） 2=2 相切 ” 的充分不必要条件， 故选： B 5双曲线 =1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线， 由 a=b， c= a，可求出该双曲线的离心率 【解答】 解： 双曲线 的两条渐近线互相垂直， 双曲线 是等轴双曲线， a=b， c= a， e= = = 故选 D 6函数 f（ x） =（ 2x） 图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象 【解答】 解：由 f（ x） =0，解得 2x=0，即 x=0 或 x=2， 函数 f（ x）有两个零点， A， C 不正确 f（ x） =（ 2） 由 f（ x） =（ 2） 0，解得 x 或 x 由 f（ x） =（ 2） 0，解得， x 即 x= 是函数的一个极大值点， D 不成立，排除 D 故选： B 7执行如图所示的程序框图，如果运行结果为 720，那么判断框中应填入（ ） A k 6？ B k 7？ C k 6？ D k 7？ 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么 【解答】 解：由题意可知，输出结果为 S=720， 通过第 1 次循环得到 S=1 2=2， k=3； 通过第 2 次循环得到 S=1 2 3=6， k=4； 通过第 3 次循环得到 S=1 2 3 4=24， k=5； 通过第 4 次循环得到 S=1 2 3 4 5=120， k=6； 通过第 6 次循环得到 S=1 2 3 4 5 6=720， k=7； 此时执行输出 S=720，结束循环， 所以判断框中的条件为 k 6？ 故选： C 8某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A 6 B 7 C 8 D 12 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求 出表面积 【解答】 解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为 故选 B 9已知 数列 的前 n 项和，若 n 013 恒成立，则整数 n 的最小值为（ ） A 1026 B 1025 C 1024 D 1023 【考点】 数列的求和 【分析】 利用等比数列的求和公式可得 可得出 【解答】 解： ， ， 013=11 +1013=1024 ， 又 n 013， 整数 n 最小值为 1024 故选 C 10中国南北朝时期的著作孙 子算经中，对同余除法有较深的研究设 a，b， m（ m 0）为整数，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 a=b（ 若， a=b（ 则 b 的值可以是（ ） A 2011 B 2012 C 2013 D 2014 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由题意 a=（ 10 1） 10，按照二项式定理展开，可得它除以 10 的余数，再结合 a=b（ 可得 b 的值 【解答】 解： =（ 1+2） 20=320=910=（ 10 1）10= 1010 109+ 108+ 10+ ， a 被 10 除得的余数为 1，而 2011 被 10 除得的余数是 1， 故选： A 11如图， 椭圆 长轴的左、右端点， O 为坐标原点， S， Q，T 为椭圆上不同于 三点，直线 成一个平行四边形 |+|=（ ） A 14 B 12 C 9 D 7 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出 【解答】 解：设 Q（ x， y）， T（ S（ 率分别为 k1， 则 斜率为 ， 所以 ，同理 ， 因此= 故选： A 12已知函数 f（ x） =x+1） 对 p， q （ 0， 1），且 p q，有恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， 18） B（ ， 18 C 18， + ） D（ 18， + ） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 恒成立 恒成立 f（ x+1） 2恒成立，即 恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：因为 f（ x） =x+1） 以 f（ x+1） = x+1） +1（ x+1）2， 所以 因为 p， q （ 0， 1），且 p q，所以 恒成立恒成立 f（ x+1） 2 恒成立，即 恒成立， 所以 a 2（ x+2） 2（ 0 x 1）恒成立， 又因为 x （ 0， 1）时， 8 2（ x+2） 2 18，所以 a 18 故选： C 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若（ 1+2x） 5=a0+ a0+a2+121 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在所给的式子中，分别令 x=1、 x= 1，可得则 a0+a2+值 【解答】 解：令 x=1，则 ； 再令 x= 1，则 a1+a3+ 1， ， 故答案为： 121 14已知点 M（ 1， m）（ m 1），若点 N（ x， y）在不等式组 表示的平面区域内，且 （ O 为 坐标原点）的最大值为 2，则 m= 【考点】 简单线性规划 【分析】 利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可 【解答】 解： ，令 x+my=z， 作出不等式组 表示的可行域，由 解得 A（ ， ）， 当 m 0 时，目标函数在 A 处取得最大值 2 分析知当 时， 所以 ，解之得 或 （舍去）， 所以 故答案为： 15将函数 f（ x） =图象沿 x 轴向右平移 （ 0）个单位长度后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）的图象关于 y 轴对称，则当 取最小的值时， g（ 0） = 1 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得 g（ x）的解析式，从而求得 g（ 0）的值 【解 答】 解：将函数 f（ x） =图象沿 x 轴向右平移 （ 0）个单位长度后得到函数 g（ x） =2x 2）的图象， 若函数 g（ x）的图象关于 y 轴对称，则 2=2， k Z， 的最小值为 ， g（ x） =2x 2） =2x ） = g（ 0） = 1， 故答案为： 1 16数列 足 a1+a2+a n=2n n N+）数列 足 ，则 的最大项的值是 【考点】 数列递推式 【分析】 由已知数列递推式可得，数列 2构成以 为公比的等比数列，求出其通项公式后代入 ，再由数列的函数特性求得 的最大项的值 【解答】 解：由 a1+a2+a n=2n n 取 n=1，求得 ； 由 n 1=2（ n 1） 1（ n 2）， 两式作差得 an+1，即 （ n 2）， 又 2= 1 0， 数列 2构成以 为公比的等比数列， 则 ， 则 = ， 当 n=1 时， ，当 n=2 时， ，当 n=3 时， ， 而当 n 3 时， ， 的最大项的值是 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ， 2=4 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a=2，求 周长 l 的取值范围 【考点】 正弦定理的应用 【分析】 （ 1）由 2=4用倍角公式可得 ，化简解出即可得出 （ 2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出 【解答】 解：（ 1）因为 2=4以 ， 所以 44=0， 所以 又因为 0 A ，所以 （ 2）因为 ， ， a=2， 所以 ， 所以 因为 ， 所以 又因为 ，所以 ，所以 l （ 4， 6 18在四边形 ，对角线 直相交于点 O，且 B=， 将 到 位置，使得二面角 E A 的大小为 90（如图）已知 Q 为 中点，点 P 在线段 ，且 （ ）证明：直线 平面 （ ）求直线 平面 成角 的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的 判定 【分析】 （ ）证明 平面 平面 得平面 平面 可证明：直线 平面 （ ）由等体积法可得点 O 到平面 距离，即可求直线 平面 的正弦值 【解答】 （ ）证明：如图，取 中点 R，连接 由题知 ，又 ，故 ： 1=此 因为 面 且 面 平面 平面 又 ， 故平面 平面 而 平面 6 分 （ ）解：由题 D=5， ，设点 O 到平面 距离为 d， 则由等体积法可得 ， 故 ，因此 12 分 19某届奥运会上，中国队以 26 金 18 银 26 铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三 年级一班至六班进行了 “本届奥运会中国队表现 ”的满意度调查（结果只有 “满意 ”和 “不满意 ”两种），从被调查的学生中随机抽取了 50 人，具体的调查结果如表： 班号 一班 二班 三班 四班 五班 六班 频数 5 9 11 9 7 9 满意人数 4 7 8 5 6 6 （ 1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （ 2）若从一班至二班的调查对象中随机选取 4 人进行追踪调查，记选中的 4 人中对 “本届奥运会中国队表现 ”不满意的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）因为在被抽取的 50 人中，持满意态度的学生共 36 人，即可得出持满意态度的频率 （ 2） 的所有可能取值为 O， 1， 2， 3利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算 公式即可得出 【解答】 解：（ 1）因为在被抽取的 50 人中，持满意态度的学生共 36 人， 所以持满意态度的频率为 ， 据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为 （ 2 ） 的 所 有 可 能 取 值 为 O ， 1 ， 2 ， 3. ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 P 20已知点 F（ 1， 0），点 A 是直线 x= 1 上的动点，过 A 作直线 段 垂直平分线与 于点 P （ ）求点 P 的轨迹 C 的方程； （ ）若点 M， N 是直线 两个不同的点，且 内切圆方程为 x2+，直线 斜率为 k，求 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）点 P 到点 F（ 1， 0）的距离等于它到直线 距离，从而点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 x= 1 为准线的抛物线，由此能求出曲线 C 的方程 （ ）设 P（ 点 M（ 1， m），点 N（ 1， n），直线 方程为（ m） x（ ） y+（ m） +m（ ） =0， 内切圆的方程为 x2+，圆心（ 0， 0）到直线 距离为 1，由 1，得（ 1） ）=0，同理， ，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出 的取值范围 【解答】 解：（ ） 点 F（ 1， 0），点 A 是直线 x= 1 上的动点，过 A 作直线 段 垂直平分线与 于点 P， 点 P 到点 F（ 1， 0）的距离等于它到直线 距离， 点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 x= 1 为准线的抛物线， 曲线 C 的方程为 x （ ）设 P（ 点 M（ 1， m），点 N（ 1， n）， 直线 方程为： y m= （ x+1）， 化简，得（ m） x（ ） y+（ m） +m（ ） =0， 内切圆的方程为 x2+， 圆心（ 0， 0）到直线 距离为 1，即 =1， = ， 由题意得 1， 上式化简，得（ 1） ） =0， 同理，有 ， m， n 是关于 t 的方程（ 1） y t（ ） =0 的两根， m+n= ， ， |m n|= = ， ， |2 ， | =2 ， 直线 斜率 ，则 k=| |= ， = = ， 函数 y=x 在（ 1， + ）上单调递增， ， ， 0 的取值范围是（ 0， ） 21已知函数 f（ x） =2） + 2a R） （ 1）若 x=2 为 f（ x）的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若 y=f（ x）在 3， + ）上为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）当 a= 时，方程 f（ 1 x） = 有实根，求实数 b 的最大值 【考点】 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）先对函数求导，由 x=2 为 f（ x）的极值点，可得 f（ 2） =0，代入可求 a （ 2）由题意可得 在区间 3， + ）上恒成立， 当 a=0 时，容易检验是否符合题意， 当 a 0 时，由题意可得必须有2 0 对 x 3 恒成立，则 a 0，从而 2 1 4a） x（ 4） 0 对 x 3， + 0 上恒成立考查函数 g（ x） =2 1 4a） x（ 4），结合二次函数的性质可求 （ 3）由题意可得 问题转化为 b=x（ 1 x） 2+x（ 1 x） =（ 0， + ）上有解，即求函数 g（ x） =值域 方法 1：构造函数 g（ x） =x（ x 令 h（ x） =x x 0），对函数h（ x）求导，利用导数判断函数 h（ x）的单调性，进而可求 方法 2：对函数 g（ x） =x（ x 导可得 g（ x） =+2x 3导数知识研究函数 p（ x） =+2x 3单调性可求函数 g（ x）的零点，即g （ =0 ，从而可得函数 g （ x ）的单调性，结合，可知 x0 时， 0，则 g（ x） 0，又 g（ 1） =0 可求 b 的最大值 【解答】 解：（ 1） = 因为 x=2 为 f（ x）的极值点，所以 f（ 2） =0 即 ，解得 a=0 又当 a=0 时， f（ x） =x（ x 2），从而 x=2 为 f（ x）的极值点成立 （ 2）因为 f（ x）在区间 3， + ）上为增函数， 所以 在区间 3， + ）上恒成立 当 a=0 时， f（ x） =x（ x 2） 0 在 3， + ）上恒成立，所以 f（ x）在 3， + ）上为增函数，故 a=0 符合题意 当 a 0 时，由函数 f（ x）的定义域可知，必须有 2 0 对 x 3 恒成立，故只能 a 0， 所以 2 1 4a） x（ 4） 0 对 x 3， + ）上恒成立 令 g（ x） =2 1 4a） x（ 4），其对称轴为 ， 因为 a 0 所以 ，从而 g（ x） 0 在 3， + ）上恒成立，只要 g（ 3） 0 即可， 因为 g（ 3） = 4a+1 0， 解得 因为 a 0，所以 由 可得， a=0 时，符合题意； 综上所述， a 的取值范围为 0， （ 3）若 时，方程 x 0 可化为， 问题转化为 b=x（ 1 x） 2+x（ 1 x） =（ 0， + ）上有解， 即求函数 g（ x） =值域 以下给出两种求函数 g（ x）值域的方法： 方法 1： 因为 g（ x） =x（ x 令 h（ x） =x x 0）， 则 ， 所以当 0 x 1， h（ x） 0，从而 h（ x）在（ 0， 1）上为增函数， 当 x 1， h（ x） 0，从而 h（ x）在（ 1， + 上为减函数， 因此 h（ x） h（ 1） =0 而 x 1，故 b=xh（ x） 0， 因此当 x=1 时， b 取得最大值 0 方法 2：